专题05 二次函数与线段和角的数量关系问题宿迁28题盐城27题常州28题苏州28题等原卷版.docx
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专题05二次函数与线段和角的数量关系问题宿迁28题盐城27题常州28题苏州28题等原卷版
2020年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练(江苏专用)
专题05二次函数与线段和角的数量关系问题
【真题再现】
1.(2019年宿迁28题)如图,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点,其中点A坐标为(1,0),与y轴交于点C(0,﹣3).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图①,连接AC,点P在抛物线上,且满足∠PAB=2∠ACO.求点P的坐标;
(3)如图②,点Q为x轴下方抛物线上任意一点,点D是抛物线对称轴与x轴的交点,直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N.请问DM+DN是否为定值?
如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.
2.(2019年盐城27题)如图所示,二次函数y=k(x﹣1)2+2的图象与一次函数y=kx﹣k+2的图象交于A、B两点,点B在点A的右侧,直线AB分别与x、y轴交于C、D两点,其中k<0.
(1)求A、B两点的横坐标;
(2)若△OAB是以OA为腰的等腰三角形,求k的值;
(3)二次函数图象的对称轴与x轴交于点E,是否存在实数k,使得∠ODC=2∠BEC,若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
3.(2018年常州28题)如图,二次函数y
bx+2的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点A的坐标为(﹣4,0),P是抛物线上一点(点P与点A、B、C不重合).
(1)b= ,点B的坐标是 ;
(2)设直线PB与直线AC相交于点M,是否存在这样的点P,使得PM:
MB=1:
2?
若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接AC、BC,判断∠CAB和∠CBA的数量关系,并说明理由.
4.(2019年苏州28题)如图①,抛物线y=﹣x2+(a+1)x﹣a与x轴交于A,B两点(点A位于点B的左侧),与y轴交于点C.已知△ABC的面积是6.
(1)求a的值;
(2)求△ABC外接圆圆心的坐标;
(3)如图②,P是抛物线上一点,Q为射线CA上一点,且P、Q两点均在第三象限内,Q、A是位于直线BP同侧的不同两点,若点P到x轴的距离为d,△QPB的面积为2d,且∠PAQ=∠AQB,求点Q的坐标.
5.(2018年无锡28题)已知:
如图,一次函数y=kx﹣1的图象经过点A(3
,m)(m>0),与y轴交于点B.点C在线段AB上,且BC=2AC,过点C作x轴的垂线,垂足为点D.若AC=CD.
(1)求这个一次函数的表达式;
(2)已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A,它的顶点为P,若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q(
,0),求这条抛物线的函数表达式.
6.(2017年苏州28题)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC.点D在函数图象上,CD∥x轴,且CD=2,直线l是抛物线的对称轴,E是抛物线的顶点.
(1)求b、c的值;
(2)如图①,连接BE,线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上,求点F的坐标;
(3)如图②,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.试问:
抛物线上是否存在点Q,使得△PQN与△APM的面积相等,且线段NQ的长度最小?
如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,说明理由.
【专项突破】
【题组一】
1.(2020•无锡模拟)如图,已知二次函数y=ax2﹣2ax+c(a<0)的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C.过点A的直线y=kx+2k(k≠0)与这个二次函数的图象的另一个交点为F,与该图象的对称轴交于点E,与y轴交于点D,且DE=EF.
(1)求点A的坐标;
(2)若△BDF的面积为12,求这个二次函数的关系式;
(3)设二次函数的顶点为P,连接PF,PC,若∠CPF=2∠DAB,求此时二次函数的表达式.
2.(2020•镇江模拟)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y
x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B,抛物线y=x2+bx+c经过点A、B,点P为第四象限内抛物线上的一个动点.
(1)求此抛物线对应的函数表达式;
(2)如图1所示,过点P作PM∥y轴,分别交直线AB、x轴于点C、D,若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似,求点P的坐标;
(3)如图2所示,过点P作PQ⊥AB于点Q,连接PB,当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时,请直接写出点P的横坐标.
3.(2020•滨湖区模拟)已知二次函数y=ax2+4amx(m>0)的对称轴与x轴交于点B,与直线l:
y
交于点C,点A是该二次函数图象与直线l在第二象限的交点,点D是抛物线的顶点,已知AC:
CO=1:
2,∠DOB=45°,△ACD的面积为2.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)若点P为抛物线对称轴上的一个点,且∠POC=45°,求点P坐标.
4.(2020•营口模拟)如图1,抛物线y=﹣x2+mx+n交x轴于点A(﹣2,0)和点B,交y轴于点C(0,2).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点M在抛物线上,且S△AOM=2S△BOC,求点M的坐标;
(3)如图2,设点N是线段AC上的一动点,作DN⊥x轴,交抛物线于点D,求线段DN长度的最大值.
【题组二】
5.(2019•梁溪区校级二模)已知,在平面直角坐标系中,直线l与y轴相交于点A(0,m),其中m<0,与x轴相交于点B(4,0).抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点B,它与直线l相交于另一点C.
(1)若AC:
BC=1:
3,求a的值(用含m的代数式表示);
(2)在
(1)的条件下,若抛物线的顶点为F,其对称轴与直线l和x轴分别相交于点D、E,当以F、C、D为顶点的三角形与△BED相似时,求抛物线的函数表达式.
6.(2019•邗江区校级二模)如图,抛物线y=ax2+3x+c(a<0)与x轴交于点A和点B(点A在原点的左侧,点B在原点的右侧),与y轴交于点C,OB=OC=4.
(1)求该抛物线的函数解析式.
(2)如图1,连接BC,点D是直线BC上方抛物线上的点,连接OD,CD.OD交BC于点F,当S△COF:
S△CDF=4:
3时,求点D的坐标.
(3)如图2,点E的坐标为(0,﹣2),点P是抛物线上的点,连接EB,PB,PE形成的△PBE中,是否存在点P,使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE?
若存在,请直接写出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
7.(2019•靖江市校级一模)如图,抛物线y=mx2﹣16mx+48m(m>0)与x轴交于A,B两点(点B在点A左侧),与y轴交于点C,点D是抛物线上的一个动点,且位于第四象限,连接OD、BD、AC、AD,延长AD交y轴于点E.
(1)若△OAC为等腰直角三角形,求m的值;
(2)若对任意m>0,C、E两点总关于原点对称,求点D的坐标(用含m的式子表示);
(3)当点D运动到某一位置时,恰好使得∠ODB=∠OAD,且点D为线段AE的中点.
①求m的值;
②此时对于该抛物线上任意一点P(x0,y0)总有n
4
my
12
50成立,求实数n的最小值.
8.(2019•姑苏区校级二模)已知抛物线经过点A(﹣1,0)、点B(3,0)、点C(0,3),点D为抛物线在第一象限内图象上一动点,连接AD,交y轴于点E,将点C关于线段AD作轴对称,对称点为C',连接AC'.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1如果点C'落在x轴,求点E坐标;
(3)如图2,连接AC、BC,BC与AD交于点F,拖动点D,点C'落在第四象限,作FG∥AC,交x轴于点M,交AC'于点G,若∠AGF=90°,求点M的横坐标.
【题组三】
9.(2019•宿豫区模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0)、B(3,0)两点,且抛物线经过点D(2,3).
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)将该抛物线向下平移,使得新抛物线的顶点G在x轴上.原抛物线上一点M平移后的对应点为点N,如果△AMN是以MN为底边的等腰三角形,求点N的坐标;
(3)若点P为抛物线上第一象限内的动点,过点B作BE⊥OP,垂足为E,点Q为y轴上的一个动点,连接QE、QD,试求QE+QD的最小值.
10.(2019•灌南县二模)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx
的图象经过点A(﹣1,0)、C(2,0),与y轴交于点B,其对称轴与x轴交于点D
(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标;
(2)M(s,t)为抛物线对称轴上的一个动点,
①若平面内存在点N,使得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形,直接写出点M的坐标;
②连接MA、MB,若∠AMB不小于60°,求t的取值范围.
11.(2019•润州区二模)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与直线AB相交,与x轴、y轴交于A(2,0)、B
.
(1)求点O关于AB的对称点P的坐标;
(2)若点P在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上,求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的关系式.
(3)在
(2)的条件下,在△ABP内存在点M,使得MA+MB+MP的值最小,则相应点M的坐标为 .
12.(2019•洪泽区二模)如图,抛物线y=ax2+bx+5经过A(1,0)和B(5,0),与y轴交于点C点为点D,连接BC,BD.点P是抛物线对称轴上的一个动点
(1)a= ,b ;
(2)若∠CPB=90°,求点P的坐标;
(3)是否存在点P,使得以P、D、B为顶点的三角形中有两个内角的和等于∠ABC?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
(4)如图②,抛物线对称轴交x轴于点E,设∠BDE的度数为a,点M是线段BC上动点,作射线AM,将AM绕A点逆时针旋转2a度,旋转后的射线交直线BC与点N,请直接写出MN的最小值.(直接写出结果)
【题组四】
13.(2019•高港区三模)定义:
两条长度相等,且它们所在的直线互相垂直,我们称这两条线段互为等垂线段.如图①,直线y=2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B.
(1)若线段AB与线段BC互为等垂线段.求A、B、C的坐标.
(2)如图②,点D是反比例函数y
的图象上任意一点,点E(m,1),线段DE与线段AB互为等垂线段,求m的值;
(3)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、B两点.
①用含a的代数式表示b.
②点P为平面直角坐标系内的一点,在抛物线上存在点Q,使得线段PQ与线段AB互为等垂线段,且它们互相平分,请直接写出满足上述条件的a值.
14.(2019•丹阳市一模)如图
(1),二次函数y=ax2﹣bx(a≠0)的图象与x轴、直线y=x的交点分别为点A(4,0)、B(5,5).
(1)a= ,b= ,∠AOB= °;
(2)连接AB,点P是抛物线上一点(异于点A),且∠PBO=∠OBA,求点P的坐标 ;
(3)如图
(2),点C、D是线段OB上的动点,且CD=2
.设点C的横坐标为m.
①过点C、D分别作x轴的垂线,与抛物线相交于点F、E,连接EF.当CF+DE取得最大值时,求m的值并判断四边形CDEF的形状;
②连接AC、AD,求m为何值时,AC+AD取得最小值,并求出这个最小值.
15.(2019•建湖县二模)如图,二次函数y=ax2﹣3ax+c的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C直线y=﹣x+4经过点B、C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)过点A的直线交抛物线于点M,交直线BC于点N.
①点N位于x轴上方时,是否存在这样的点M,使得AM:
NM=5:
3?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角∠ANB等于∠ACB的2倍时,请求出点M的横坐标.
16.(2019•无锡二模)已知,如图,二次函数y=ax2+2ax﹣3a(a>0)图象的顶点为C与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),点C、B关于过点A的直线l:
y=kx
对称.
(1)求A、B两点坐标及直线l的解析式;
(2)求二次函数解析式;
(3)如图2,过点B作直线BD∥AC交直线l于D点,M、N分别为直线AC和直线l上的两动点,连接CN,NM、MD,求D的坐标并直接写出CN+NM+MD的最小值.
【题组五】
17.(2019•兴化市二模)已知,关于x的二次函数y=ax2﹣2ax(a>0)的顶点为C,与x轴交于点O、A,关于x的一次函数y=﹣ax(a>0).
(1)试说明点C在一次函数的图象上;
(2)若两个点(k,y1)、(k+2,y2)(k≠0,±2)都在二次函数的图象上,是否存在整数k,满足
?
如果存在,请求出k的值;如果不存在,请说明理由;
(3)若点E是二次函数图象上一动点,E点的横坐标是n,且﹣1≤n≤1,过点E作y轴的平行线,与一次函数图象交于点F,当0<a≤2时,求线段EF的最大值.
18.(2019•清江浦区一模)如图,抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于点B(﹣3,0)和C(4,0)与y轴交于点A.
(1)a= ,b= ;
(2)点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿AB向B运动,同时,点N从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿BC向C运动,当点M到达B点时,两点停止运动.t为何值时,以B、M、N为顶点的三角形是等腰三角形?
(3)点P是第一象限抛物线上的一点,若BP恰好平分∠ABC,请直接写出此时点P的坐标.
19.(2019•常州一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l:
y=kx+m交y轴于点C,与抛物线y=ax2+bx交于点A(4,0)、B(
,
).
(1)直线l的表达式为:
,抛物线的表达式为:
;
(2)若点P是二次函数y=ax2+bx在第四象限内的图象上的一点,且2S△APB=S△AOB,求△AOP的面积;
(3)若点Q是二次函数图象上一点,设点Q到直线l的距离为d,到抛物线的对称轴的距离为d1,当|d﹣d1|=2时,请直接写出点Q的坐标.
20.(2019•东台市模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+3的图象经过点A(1,0),B(3,0),交y轴于点C,顶点是D.
(1)求抛物线的表达式和顶点D的坐标;
(2)在x轴上取点F,在抛物线上取点E,使以点C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形,求点E的坐标;
(3)将此抛物线沿着过点(0,2)且垂直于y轴的直线翻折,E为所得新抛物线x轴上方一动点,过E作x轴的垂线,交x轴于G,交直线l:
y
x﹣1于点F,以EF为直径作圆在直线l上截得弦MN,求弦MN长度的最大值.
【题组六】
21.(2019•昆山市二模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于点A(2,0),B(﹣3,0),交y轴于点C,且经过点D(﹣6,﹣6),连接AD,BD.
(1)求该抛物线的函数关系式;
(2)若点M为X轴上方的抛物线上一点,能否在点A左侧的x轴上找到另一点N,使得△AMN与△ABD相似?
若相似,请求出此时点M、点N的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点P是直线AD上方的抛物线上一动点(不与A,D重合),过点P作PQ∥y轴交直线AD于点Q,以PQ为直径作⊙E,则⊙E在直线AD上所截得的线段长度的最大值等于 .(直接写出答案)
22.(2019•泰兴市一模)如图1,抛物线l1:
:
y1=a(x﹣2)2与直线l2:
y2=﹣am(x﹣2)+b(a,m,b为常数,a≠0,m<0)交于A,B两点,直线l2交x轴交于点C.点A的坐标为(m+2,n).
(1)若a=﹣1,m=﹣3,则A的坐标为 ,b= ,点B的坐标为 ;
(2)已知点M(0,﹣4),N(3,﹣4),抛物线l1与线段MN有两个公共点,求a的取值范围;
(3)①如图1,求证:
AB=3AC;
②如图2,设抛物线顶点为F,直线l2交抛物线的对称轴于点D,直线l3:
y3=2am(x﹣2)+d(d为常数,d≠0)经过点A,并交抛物线的对称轴于点E,若∠BFD=p∠AED(p为常数),则p的值是否发生变化?
若不变,请求出p的值;若变化,请说明理由.
23.(2019•铜山区二模)已知,如图,二次函数y=ax2+bx+c图象交x轴于A(﹣1,0),交y轴于点C(0,3),D是抛物线的顶点,对称轴DF经过x轴上的点F(1,0).
(1)求二次函数关系式;
(2)对称轴DF与BC交于点M,点P为对称轴DF上一动点.
①求AP
PD的最小值及取得最小值时点P的坐标;
②在①的条件下,把△APF沿着x轴向右平移t个单位长度(0≤t≤4)时,设△APF与△MBF重叠部分面积记为S,求S与t之间的函数表达式,并求出S的最大值.
24.(2019•靖江市一模)如图1,将抛物线y=ax2(a<0平移到顶点M恰好落在直线y=x+3上,且抛物线过直线与y轴的交点A,设此时抛物线顶点的横坐标为m(m>0).
(1)用含m的代数式表示a;
(2)如图2,Rt△CBT与抛物线交于C、D、T三点,∠B=90°,BC∥x轴,CD=2.BD=t.BT=2t,△TDC的面积为4.
①求抛物线方程;
②如图3,P为抛物线AM段上任一点,Q(0,4),连结QP并延长交线段AM于N,求
的最大值.
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