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完整版等差数列专题
等差数列专题、等差数列知识点回顾与技巧点拨1.
=p.
3.
q∈N).
d,则ak,ak+m,ak+2m,⋯(k,m∈N*)是公差为md的等
⋯也是等差数列.
等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.
2.
等差数列的通项公式
若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d=(n-m)d
等差中项
如果三个数x,A,y组成等差数列,那么A叫做x和y的等差中项,如果A是x和y的等差中项,则A=x+2y.
4.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:
an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,
(3)若{an}是等差数列,公差为差数列.
(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,
(5)S2n-1=(2n-1)an.
(6)若n为偶数,则S偶-S
nd
奇=2;
若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).5.等差数列的前n项和公式
na1+an
2,或等差数列{an}的首项是a1,公差是d,
若已知首项a1和末项an,则Sn=1n
则其前n项和公式为Sn=na1+nn2-1d.
6.等差数列的前n项和公式与函数的关系dd
Sn=2n2+a1-2n,数列{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn(A,B为常数).
7.最值问题在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值,若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.
一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式:
Sn=a1+a2+a3+⋯+an,①
a1+an
Sn=an+an-1+⋯+a1,②
①+②得:
Sn=n
两个技巧
已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善于设元.
(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为⋯,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,⋯.
(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为⋯,a-3d,a-d,a+d,a+3d,⋯,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.
四种方法
等差数列的判断方法
(1)定义法:
对于n≥2的任意自然数,验证an-an-1为同一常数;
(2)等差中项法:
验证2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)都成立;
(3)通项公式法:
验证an=pn+q;
(4)前n项和公式法:
验证Sn=An2+Bn.
注:
后两种方法只能用来判断是否为等差数列,而不能用来证明等差数列.
回顾:
1.已知等差数列{an}中,a3=9,a9=3,则公差d的值为()
A.
B.1
C.
D.﹣1
2.已知数列{an}的通项公式是an=2n+5,则此数列是()
A.以7为首项,公差为2的等差数列B.以7为首项,公差为5的等差数列
C.以5为首项,公差为2的等差数列D.不是等差数列
3.在等差数列{an}中,a1=13,a3=12,若an=2,则n等于()
A.23B.24C.25D.26
4.两个数1与5的等差中项是()
A.1B.3C.2D.
5.(2005?
黑龙江)如果数列{an}是等差数列,则()
A.a1+a8>a4+a5B.a1+a8=a4+a5C.a1+a8 考点1: 等差数列的通项与前n项和 题型1: 已知等差数列的某些项,求某项 【解题思路】给项求项问题,先考虑利用等差数列的性质,再考虑基本量法 为第4项. a75a60d120424 题型2: 已知前n项和Sn及其某项,求项数 【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式ana1(n1)d求出a1及d,代入Sn可求项数n; ⑵利用等差数列的前 4项和及后4项和求出 a1an ,代入Sn可求项数n. 例2】已知Sn为等差数列 an的前n项和,a4 9,a9 6,Sn63,求n a 13d 9 解: 设等差数列的首项为 a1,公差为d,则 a118,d3 a 18d 61 Sn18n3 n(n1)63n1 6,n2 7 n2 对应练习: 3、若一个等差数列的前4项和为36,后4项和为124,且所有项的和为780,求这个数列的项数n. 4.已知Sn为等差数列an的前n项和,a11,a47,Sn100,则 n.题型3: 求等差数列的前n项和 【解题思路】 (1)利用Sn求出an,把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题 例3】已知Sn为等差数列an的前n项和,Sn12nn2. 解: Sn12nn2, 当n1时,a1 S1 121 11, 当 n 2 时 anSnSn1(12nn2)12(n1) (n 1)2 132n, ⑵ a1 a2 a3 a10 a1 a2 a3 a6 (a7 a8 a9 a10) 2S6 S10 2(12 6 62) (12 10 10 2)52; ( 3 ) 1 n 6 时 a1 a2 a3 an a1 a2 a3 an 12n 2n, 当 n 7 时 a1 a2 a3 an a1 a2 a3 a6 (a7 a8 an) 2S6 Sn 2(12 6 62) (12n 2n ) n212n 对应练习: 5、已知Sn为等差数列an的前n项和,S10100,S10010,求S110. 列; 考点2: 证明数列是等差数列 名师指引】 判断或证明数列是等差数列的方法有: 1、定义法: an1an nN,d是常数) an是等差数 、中项法: 2an1 an an 2(nN) an是等差数列; 是等差数列. bn2bn a1 3、通项公式法: an 4、项和公式法: Sn kn k,b是常数) an 是等差数列; An2 Bn(A,B是常数, 0) an 已知Sn为等差数列an的前n项和,bn 求证: 数列bn是等差数列. 解: 方法1: 设等差数列an的公差为 d, bn bn 数列 方法2: bn bn Sn a1 bn a1 12(n 12nd 1)d a1 bn是等差数列. Sn a11(n 2 1nd,bn 2 1(n1)d 2 1 a1(n1)d 2 对应练习: Snn(n n Sn 1)d 2a1nd2bn 数列bn是等差数列. 6、设Sn为数列an 的前n项和,Sn a1 ). na1 (n 1)d, (n 1)d 1 12(n pnan(nN 1)d 常数) ),a1a2. 1)常数p 的值; 2)证: 数列 an是等差数列. 考点3: 等差数列的性质 【解题思路】利用等差数列的有关性质求解 100,则S11 例5】1、已知Sn为等差数列an的前n项和,a6 Smn 方法2: 不妨设 a1amnan1 am 2, S(mn)(a1 amn ) Smn 2 (mn); 方法3: an是等差数列, Sn 为等差数列 n n,Sn,m,Sm,n,,m,, m S n,mn三点共线 mn nm Smn (mn). 对应练习: 7、含2n 1个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为( A.2n1n B.n1 n C.n1 n D.n1 2n 8.设Sn、Tn分别是等差数列an an的前 项和, Sn Tn 7n2,则 n3 a5 b5 考点4: 等差数列与其它知识的综合 解题思路】1、利用an与Sn的关系式及等差数列的通项公式可求; 2、求出Tn后,判断Tn的单调性. bn22bn1bn,其前9项和为153. ⑴数列an、bn的通项公式; k Tn对nN都成立的最大正整数k的值. 57 1211 解: ⑴Snn2n, 22 当n1时, a1 S1 6; 当 n 2 时 aSS1 211 1 2 11 anSnSn1 nn (n 1)2 (n1)n5 2 2 2 2 当 n1时,1 5 6a 1,ann5; bn22bn1bnbn1bnbn2,bn是等差数列,设其公差为 2 d. b12d11 则1b15,d3, 9b136d1531 bn 53(n 1)3n2. ⑵ 6 6 cn n(2an 11)(2bn1) 2(n 5)11 2(3n 2)1 2 1 1 (2n 1)(2n 1)2n12n 1 1 111 1 1 1 1 Tn (1) ()( ) ( )1 3 355 7 2n 12n 12n1 n N,T n是单调递增数列 1 当n 1时,Tn minT11 3 Tn k 对n N都成立 Tn min k 2k k38 57 57 357 所求最大正整数k的值为37. 对应练习: 9.已知Sn 为数列an 的前n项和,a1 3, SnSn1 2an(n 2). ⑴数列an的通项公式; ⑵数列an中是否存在正整数k,使得不等式akak1对任意不小于k的正整数都成立? 若存在,求最小的正整数k,若不存在,说明理由. 课后练习: 1.(2010广雅中学)设数列项和,则 an是等差数列,且a2 8,a155,Sn是数列an的前n .S10S11 C. A.S10 S11 B S9 S10 D.S9S10 2.在等差数列 an 中, a5120,则a2 a4 a6 a8 3.数列an中,an2n49,当数列an的前n项和Sn取得最小值时,n. 4.已知等差数列an共有10项,其奇数项之和为10,偶数项之和为30,则其公差是. 5.设数列an中,a12,an1ann1,则通项an. 6.从正整数数列1,2,3,4,5,中删去所有的平方数,得到一个新数列,则这个新数列的第 1964项是 答案与解析: 对 应 练 习 : 1、 【 解 aman ak an p qak q ap(kn) q(m k) mn k n m nk n ak m n 2、 【解析】 设这 5个数分别 为 a2d,ad,a,a d,a 2d .则 (a 2d)(a d)a(a d) (a 2d) 5 a1 (a 2d)2(a 22d)a (a d)2 (a 2d)2165 5a210d2165 解得 a1,d 4 当a1,d4时,这5个数分别为: 7,3,1,5,9;当a1,d4时,这5个数分别为: 9,5,1,3,7. 4(a1an)160a1an40 a1pa1p1 6、【解析】⑴Snpnan,a1a2, 当 n2 anSnSn1nan(n 1)an1 (n 1)(an an1)0, an an1 0(n 2), 数列an是等差数列 ⑵由⑴知: Snnan, 7 解 析】(本两小题有多种解法) S奇n1.选B. S偶n 8、【解析】anS2n17(2n1) bnT 2n1(2n1) 65. 12 9、【解析】⑴当n 2时,SnSn1 2 14n 5 a5 1455 65 填 3 2n 2 b5 2 52 12 2an SnSn1 2(Sn Sn 1) 11 SnSn1 1,且 2S1 an是以1为公差的等差数列, n2 其首项为1. 3 18 2)0 得2 3 k 5或k8 kk1 (3k 8)(3k 5)(3k 3 3 当k3时, ak ak 1恒成立,所求最小的正整数 k 3. 课后练习: 1、【解析】C.S9 a2 a16 a2 a15 d S10 (a2 d) a15 S9 S10 2 2 2 另法: 由a2 8, a15 5, 得d 5(8) 13 ,a1 a2 d 69 158 7 7 计算知S9S10 2、【解析】480 a2a4 a6a84a5480. 3、【解析】24由an2n 49知an是等差数列,an0n25. n24. 4、【解析】4已知两式相减,得5d20d4. 1 法. 5、【解析】n(n1)1利用迭加法(或迭代法),也可以用归纳—猜想—证明的方2 6、【解析】2008
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