人教版数学七年级下册《不等式与不等式组》单元复习教案.docx
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人教版数学七年级下册《不等式与不等式组》单元复习教案
《不等式与不等式组》单元复习教案
1.明确不等式、不等式组的相关概念.
2.会解不等式、不等式组,并能够在数轴上表示其解集.
3.能够通过列不等式、不等式组解决一些实际问题.
1.通过知识整合构建单元知识体系.
2.通过列不等式(组)、解不等式(组)等活动,进一步体验数学与生活的密切联系.
培养学生良好的学习习惯和与他人交流、合作、分享的意识.
【重点】 解不等式和不等式组;列不等式(组)解决实际问题.
【难点】 列不等式(组)解决实际问题.
专题一 一元一次不等式的定义与性质
【专题分析】
本专题的知识是不等式的基础内容,在中考中,单独考查时以选择题或填空题为主,常以综合性题目为载体综合考查.
下列式子中,一元一次不等式有( )
①3x-1≥4;②2+x>6;③3-<6;④>0;⑤<3;⑥x+xy≥y2;⑦x>0.
A.5个B.4个C.6个D.3个
〔解析〕 此题考查的是本章最基础的知识,所以一定要掌握好一元一次不等式的定义和性质.一元一次不等式首先含未知数的项的次数为一次且只含有一个未知数,再次必须是不等号连接的代数式,最后未知数不能做分母.故①②④⑤⑦为一元一次不等式.故选A.
一元一次不等式的概念含几个要点:
(1)用不等号连接;
(2)含有一个未知数,(3)关于未知数的式子是整式;(4)含有未知数的项的最高次数为1.
【针对训练1】 已知ab<0,ab2>0,a+b<0,则下列正确的是( )
A.>-1B.<-1
C.>1D.>1
〔解析〕 应先从已知条件入手,由ab<0可知a,b异号,又ab2>0,显然b2>0,故可知a>0,从而b<0,再从a+b<0,可得b的绝对值大于a的绝对值.故选B.
专题二 解一元一次不等式
【专题分析】
本专题知识是中考命题的重点之一,主要考查一元一次不等式的解法和在数轴上表示一元一次不等式的解集.一般以选择题和填空题的形式出现,有时也与方程知识综合起来考查,命题以中等难度的解答题为主,题型在设计的时候会不断追求创新.
解下列不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来.
(1)3>x-3(x-2);
(2)2(y+1)+>y-1.
〔解析〕 解不等式首先利用不等式的性质对不等式进行化简,在化简过程中需注意:
移项变号;去括号时,括号前为负号,各项要变号;把不等式整理成axb(a≠0)的形式后,不等号两边同除以a时,注意按性质看不等号的方向是否改变.
解:
(1)去括号,得3x-6x+12>x-3x+6,
移项、合并同类项,得-x>-6,
系数化为1,得x<6.
不等式的解集在数轴上表示如图所示.
(2)2(y+1)+>y-1.
y>-1+-2,
-y>-,y<2.
不等式的解集在数轴上表示如图所示.
解不等式一定要把握好基础:
不等式的性质;移项变号;去括号、添括号法则.熟练掌握并利用这些基础解题,保证准确率.
【针对训练2】 解不等式≤,并把解集在数轴上表示出来.
〔解析〕 解一元一次不等式时要注意:
去分母时不要漏乘其中某一项,尤其是没有分母的项;移项时不要忘了改变所移那一项的符号;运用不等式的性质时,不要忘了是否需要改变不等号的方向.在数轴上表示不等式的解集时,要记住“大于向右画,小于向左画,有等号用实心点,无等号用空圈”.
解:
≤,
去分母,得2(2x-5)≤3(3x+1)-8,
去括号,得4x-10≤9x+3-8,
移项,得4x-9x≤3-8+10,
合并同类项,得-5x≤5,
系数化为1,得x≥-1.
所以这个不等式的解集为x≥-1.
解集在数轴上的表示如图所示.
专题三 一元一次不等式的实际应用
【专题分析】
用一元一次不等式解决实际问题是中考的热点之一,中考中经常将其与函数、方程等知识结合在一起综合考查,考题的难度差异较大.
某城市平均每天产生垃圾700t,由甲、乙两个垃圾处理厂处理,已知甲厂每小时可处理垃圾55t,需要费用550元;乙厂每小时可处理垃圾45t,需要费用495元.如果规定该城市每天用于垃圾处理的费用不得超过7370元,那么甲厂每天处理垃圾至少需要多少小时?
〔解析〕 “不超过”即为“小于或等于”,因此解决此题所用的不等关系为“每天处理垃圾的费用≤7370元”.
解:
设甲厂每天处理垃圾xt,由已知可得甲、乙两厂处理每吨垃圾的费用分别为10元,11元,根据题意,得10x+11(700-x)≤7370,解得x≥330.
所以甲厂每天处理垃圾至少需要330÷55=6(h).
答:
甲厂每天处理垃圾至少需要6h.
不等式的应用情况很多,但解所有的题目关键在于:
在理解题意的基础之上找准表示不等关系的语句,并能够列出不等式,再利用不等式的性质解不等式,这样问题就得以解决.
【针对训练3】 某公司为了扩大经营,决定购进6台机器用于生产某种活塞,现有甲、乙两种机器供选择,其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示,经过预算,本次购买机器所耗资金不能超过34万元,则按该公司的要求可以有几种购买方案?
甲
乙
价格(万元/台)
7
5
每台日产量(个)
100
60
〔解析〕 本题主要考查对不等式知识的应用能力.解决本题的关键是理解题中的条件和要求,并给出符合题意的解答.
解:
设购买甲种机器x台(0≤x≤6),则购买乙种机器(6-x)台.
根据题意得7x+5(6-x)≤34,解得x≤2.
由题意知x是整数,且x≥0,所以x可取0,1,2.
故该公司按要求可以有三种购买方案,即:
方案一:
不购买甲种机器,购买乙种机器6台;
方案二:
购买甲种机器1台,购买乙种机器5台;
方案三:
购买甲种机器2台,购买乙种机器4台.
专题四 一元一次不等式组的定义和解法
【专题分析】
本专题是一元一次不等式解法的延伸,解题的关键的正确找到相关不等式解集的公共部分,中考中单独考查其解法主要集中在选择题题型上,更多是结合不定式的应用综合考查.
下列式子中,一元一次不等式组的个数为( )
①②③
④⑤
A.1个B.2个C.3个D.4个
〔解析〕 利用一元一次不等式组的定义解决问题.一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式组合在一起,就组成了一元一次不等式组.故①②是一元一次不等式组.故选B.
【针对训练4】 填空.
(1)不等式组的解集是 ;
(2)不等式组的解集是 .
〔解析〕 上述填空题均是简单的一元一次不等式组的求解,注意先将不等式组中的每个不等式的解集求出来,然后在数轴上找出它们解集的公共部分.
〔答案〕
(1)0 (2)-4 先求每个不等式的解集,再借助口诀或数轴直观地找到公共部分. 解不等式组 〔解析〕 先解不等式组中的每一个不等式,在解不等式时一定要注意解不等式的那几点注意事项,然后再利用不等式组解集的口诀得到最后结果. 解: 解不等式①,得x≥, 解不等式②,得x≤2. 由此可得不等式组的解集为≤x≤2. 【针对训练5】 若关于x的一元一次不等式组有解,则m的取值范围为( ) A.m>-B.m≤ C.m>D.m≤- 〔解析〕 本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法. 解不等式①,得x<2m,解不等式②,得x>2-m,因为不等式组有解,所以2m>2-m,所以m>.故选C. 专题五 一元一次不等式组的实际应用 【专题分析】 用一元一次不等式组解决生活中的实际问题是中考历年的必考点之一,尤其是利用不等式组确定最佳方案、获得最大收益、确定最优途径等已经成为中考的热点,本专题的知识也与方程、函数等知识综合命题,成为中考的压轴题. 为节约用电,某学校于本学期初制订了详细的用电计划.如果实际每天比计划多用电2kW·h,那么本学期的用电量将会超过2530kW·h;如果实际每天比计划节约用电2kW·h,那么本学期的用电量将不会超过2200kW·h.若本学期学生在校时间按110天计算,则学校每天用电量应控制在什么范围内? 〔解析〕 在能构建不等式组的题目中往往有表示不等关系的词语,如大于、小于、不大于、不小于、超过、不超过等.我们只有先找到这些关键信息,才能列出正确的不等式组.本题不等关系不算复杂,根据题意可直接列出两个不等式构成不等式组. 解: 设学校每天用电量为xkW·h. 依题意,得 解得21 答: 学校每天用电量应控制在大于21kW·h且不超过22kW·h的范围内. 【针对训练6】 光明农场有某种植物10000千克,打算全部用于生产高科技药品和保健食品.若生产高科技药品,1千克该植物可提炼出0.01千克的高科技药品,将产生污染物0.1千克,每1千克高科技药品可获利润5000元;每生产1千克保健食品可获利润100元,1千克该植物可生产0.2千克保健食品,将产生污染物0.04千克.要使总利润不低于410000元,所产生的污染物总量不超过880千克,求用于生产高科技药品的该植物质量的范围. 〔解析〕 由题意很容易发现体现本题不等关系的两个关键词,即“不低于”和“不超过”,因此我们就根据这两个关键词列出不等式组把问题解决. 解: 设用于生产高科技药品的该植物质量为x千克,则用于生产保健食品的该植物质量为(10000-x)千克,根据题意,得: 解得7000≤x≤8000. 所以用于生产高科技药品的该植物质量不低于7000千克且不高于8000千克. 双蓉服装店老板到厂家选购A,B两种型号的服装,若销售一件A型服装可获利18元,销售一件B型服装可获利30元,根据市场需求,服装店老板决定,购进A型服装的数量要比购进B型服装数量的2倍还多4件,且A型服装最多可购进28件,这样服装全部售出后,可使总获利不少于699元,则有几种进货方案? 〔解析〕 由题意,本题不等关系非常明显,由两个表示不等关系的关键词即可看出,即“最多”和“不少于”,因此要解决本题我们可以直接根据这两个关键词列出不等式组. 解: 设B型服装购进x件,则A型服装购进(2x+4)件,根据题意,得: 解得9≤x≤12. 因为x为正整数,所以x=10,11,12. 所以2x+4=24,26,28. 所以有三种进货方案: (1)B型服装购进10件,A型服装购进24件; (2)B型服装购进11件,A型服装购进26件;(3)B型服装购进12件,A型服装购进28件. 【针对训练7】 某园林部门决定利用现有的349盆甲种花卉和295盆乙种花卉搭配A,B两种园艺造型共50个,摆放在迎宾大道两侧.已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆,乙种花卉4盆;搭配一个B种造型需甲种花卉5盆,乙种花卉9盆. (1)某校九年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计,则符合题意的搭配方案有几种? 请你帮助设计出来; (2)若搭配一个A种造型的成本是200元,搭配一个B种造型的成本是360元,试说明 (1)中哪种方案成本最低,最低成本是多少元? 〔解析〕 本题考查一元一次不等式组的实际应用,比较基础. 解: (1)设搭建A种园艺造型x个,则搭建B种园艺造型(50-x)个. 根据题意,得 解得31≤x≤33, 所以共有三种方案: ①A: 31,B: 19;②A: 32,B: 18;③A: 33,B: 17. (2)由于搭配一个A种造型的成本是200元,搭配一个B种造型的成本是360元,所以搭配同样多的A种园艺造型比B种成本低,所以应该搭配A种33个,B种17个. 最低成本: 33×200+17×360=12720(元). 说明: 也可列出成本和搭配A种造型数量x之间的函数关系,用函数的性质求解;或直接算出三种方案的成本进行比较. 1.利用一元一次不等式组解应用题,关键是找出所有的不等关系,依据相应的不等关系列出相应的不等式,组成不等式组后求出不等式组的解集,然后结合问题的实际背景,从解集中找到符合题意的答案,比如人数或物品的个数、产品的件数等,只能取正整数. 2.列一元一次不等式组解应用题的一般步骤: (1)审: 分析题目中的已知条件和未知条件之间的关系; (2)设: 设未知数;(3)列: 找出能够包含未知数的所有不等关系,组成不等式组;(4)解: 解不等式组,求出解集;(5)答: 先检验解集是否符合题意,再写出答语. 专题六 数形结合思想 【专题分析】 数形结合是一种将代数和几何结合在一起研究,并解决问题的重要的思想方法.在本章的学习中充分体现了这种思想,如在数轴上表示不等式(组)的解集,利用数轴求不等式(组)的解集等. 若关于x的不等式3x-2a≤-2的解集在数轴上的表示如图所示,则a的值是 . 〔解析〕 解不等式3x-2a≤-2得x≤,而由图可知不等式的解集为x≤-1,故=-1,解得a=-.故填-. 本题先把字母a看成常数,求出不等式的解集,再结合数轴给出的不等式的解集,构造出关于a的一元一次方程,求得a的值. 【针对训练8】 不等式组的解集在数轴上表示正确的是(如图所示)( ) 〔解析〕 解原不等式组得-3 用数轴表示不等式(组)的解集体现了数形结合思想的应用. 专题七 求一元一次不等式(组)的特殊值 【专题分析】 在此类问题中,一般给出一个一元一次不等式(组),然后在解集的范围内限定取值,解决的方法通常是先求出不等式(组)的解集,再由题意求出符合条件的数值. 求不等式组的整数解. 〔解析〕 遇到此类问题先解不等式组,再根据不等式组的解集讨论并得到整数结果.其中需要注意的是看题目中要的是整数解还是正整数解等. 解: 解不等式组得x的取值范围为- ∵x为整数,∴x可取-1,0,1,2,3. 【针对训练9】 当m为何值时,关于x的不等式组的解集是x>-1? 〔解析〕 由于m的值未知,所以2m+1与m+2的大小关系未知,因此应对2m+1与m+2的大小关系进行分类讨论. 解: ①若2m+1=m+2, 则得方程组 解这个方程组,无解; ②若2m+1>m+2,则2m+1=-1. 解这个不等式和方程,无解; ③若2m+1 解这个不等式和方程,得m=-3. 综合以上三种情况,可知m=-3. 本章质量评估 (时间: 90分钟 满分: 120分) 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.下列说法正确的是( ) A.x=4是2x>7的一个解 B.x=4不是2x>7的解 C.2x>7的解集是x=4 D.x>4是2x>7的解集 2.下列不等式变形正确的是( ) A.由a>b,得a-2 B.由a>b,得-2a<-2b C.由a>b,得> D.由a>b,得a2>b2 3.下列不等式中,解集不同的是( ) A.5x>10与3x>6 B.6x-9<3x+6与x<5 C.x<-2与-14x>28 D.x-7<2x+8与x>15 4.(2014·德州中考)不等式组的解集在数轴上可表示为(如图所示)( ) 5.如果一元一次不等式组的解集为x>3,那么a的取值范围是( ) A.a>3B.a≥3C.a≤3D.a<3 6.已知关于x的不等式2x-a>-3的解集在数轴上的表示如图所示,则a的值等于( ) A.0B.1C.-1D.2 7.小明准备用22元钱买笔和笔记本,已知每支笔3元,每本笔记本2元,他买了3本笔记本后,其余的钱用来买笔,那么他最多可以买( ) A.3支笔B.4支笔 C.5支笔D.6支笔 8.若关于x的不等式组的整数解共有4个,则m的取值范围是( ) A.6 C.6≤m≤7D.6 9.某商贩去菜摊买黄瓜,他上午买了30斤,价格为每斤x元;下午,他又买了20斤,价格为每斤y元.后来他以每斤元的价格将50斤黄瓜卖完后,结果发现自己赔了钱,其原因是( ) A.x 10.如图所示的是测量一颗玻璃球体积的过程: (1)将300mL的水倒进一个容量为500mL的杯子中; (2)将四颗相同的玻璃球放入水中,结果水没有满;(3)再把一颗同样的玻璃球放入水中,结果水满溢出. 根据以上过程,推测这样一颗玻璃球的体积在( ) A.20cm3以上,30cm3以下 B.30cm3以上,40cm3以下 C.40cm3以上,50cm3以下 D.50cm3以上,60cm3以下 二、填空题(每小题4分,共32分) 11.当实数a<0时,6+a 6-a(填“<”或“>”). 12.不等式2x+9≥3(x+2)的正整数解是 . 13.一罐饮料净重500克,罐上注有“蛋白质含量≥0.4%”,则这罐饮料中蛋白质的含量至少为 克. 14.编写一个解集为x≥2的一元一次不等式组: . 15.小明在解一个一元一次不等式时,发现不等式的右边的数被墨迹污染了,所以看到的不等式是1-3x<■,他查看练习题的答案后才知道这个不等式的解集是x>5,那么■表示的数是 . 16.小刚想给小军打电话,但忘了电话中的一位数字,只记得号码是284□9456(□表示忘记的数字).若□位置的数字是不等式组的整数解,则□可能表示的数字是 . 17.如图所示,要使输出值y大于100,则输入的最小正整数x是 . 18.某商品的售价是528元,商家出售一件这样的商品可获利润是进价的10%~20%,设进价为x元,则x的取值范围是 . 三、解答题(共58分) 19.(8分) (1)解不等式≤1-,并把它的解集在数轴上表示出来; (2)解不等式组 并写出此不等式组的所有整数解. 20.(8分) (1)已知不等式①x-3<0,②1>3-x,③-1>0,从这3个不等式中任取两个构成不等式组,其中是否存在一个解集中只有一个整数解的不等式组? 若存在,写出不等式组,并求出这个整数解,若不存在,请说明理由; (2)对于数a,b,c,d,符号表示运算ad-bc,已知≥3,求出x的取值范围. 21.(8分)在课外数学兴趣小组的活动课上,小组长李晓要求以刚学习的“一元一次不等式组”为题进行游戏,游戏的规则是: 四个人一组,由其中的三个人各自说出一个不等式组中不等式所满足的条件(不重复),然后由第四个同学回答出一个符合要求的一元一次不等式组,若这个同学回答不正确,则有五分钟的时间向别的同学求援,超过规定的时间就要表演一个文艺节目.下面是甲、乙、丙三名同学的叙述: (要求丁同学回答) 甲: 它的所有解为非负数; 乙: 其中一个不等式的解集为x≤8; 丙: 其中一个不等式在解的过程中需改变不等号的方向. 丁同学听完他们的叙述后,感觉有一定的难度,所以他要求援助,假设他让你帮忙的话,你能帮他得出正确的结论吗? 22.(10分)为支援四川雅安地震灾区,某市民政局组织募捐了240吨救灾物资,现准备租用甲、乙两种货车,将这批救灾物资一次性全部运往灾区,它们的载货量和租金如下表: 甲种货车 乙种货车 载货量(吨/辆) 45 30 租金(元/辆) 400 300 如果计划租用6辆货车,且租车的总费用不超过2300元,求最省钱的租车方案. 23.(12分)儿童节那天,小强去商店买东西,看见每盒饼干的标价都是整数,于是小强拿出10元钱递给商店的阿姨,下面是他俩的对话: 如果每盒饼干和每袋牛奶的标价分别设为x元,y元,请你根据以上信息: (1)找出x与y之间的关系式; (2)请利用不等关系,求出每盒饼干和每袋牛奶的标价. 24.(12分)某体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共100个,付款总额不得超过11815元.已知两种球厂家的批发价和市场的零售价如下表,试解答下列问题: 品名 厂家批发价(元/个) 市场零售价(元/个) 篮球 130 160 排球 100 120 (1)该采购员最多可购进篮球多少个? (2)若该商场把这100个球全部以市场零售价售出,为使商场获得的利润不低于2580元,则采购员至少要购篮球多少个? 该商场最多可盈利多少元? 【答案与解析】 1.A(解析: 根据不等式解的概念可知x=4是2x>7的一个解是正确的.故选A.) 2.B(解析: 本题利用不等式的性质进行不等式变形.B选项不等式两边同时乘(-2),不等号的方向改变,所以正确.故选B.) 3.D 4.D 5.C(解析: 因为不等式组的解集为x>3,所以有a≤3.故选C.) 6.B(解析: 先求出不等式2x-a>-3的解集为x>,又由图可知,不等式的解集为x>-1,因此=-1,解得a=1.) 7.C(解析: 设他可买x支笔,则3×2+3x≤22,解得x≤5,所以最多可以买5支笔.故选C.) 8.D(解析: 解不等式①,得x 9.B(解析: 根据题意得,他买的黄瓜每斤的平均价是元,以每斤元的价格卖完后,结果发现自己赔了钱,则>,解得x>y.所以赔钱的原因是x>y.) 10.C(解析: 设一个玻璃球的体积为xcm3,由题意得不等式组解得40 11.<(解析: 只有符号不同的两个数互为相反数,先根据相反数的性质比较出a和-a的大小,然后利用不等式的性质在不等式的两边同时加上6.因为a<0,所以-a>0,所以a<-a,所以a+6<-a+6,即6+a<6-a.) 12.1,2,3(解析: 先求出不等式的解集,然后再取正整数解.2x+9≥3(x+2),去括号得2x+9≥3x+6,移项得2x-3x≥6-9,合并同类项得-x≥-3,两边同时除以-1,得x≤3.所以正整数解是1,2,3.故填1,2,3.) 13.2(解析: 设蛋白质的含量为x克,依题意得≥0.4%,解得x≥2.) 14. (解析: 答案不唯一,本题为开放性题,按照口诀大大取大列不等式组即可.当解集为x≥2时,构造的不等式组可以为) 15.-14(解析: 不等式1-3x<■的解集为x>(1-■),则有(1-■)=5,■=-14.) 16.6,7,8(解析: 不等式组的解集为5.5 17.21(解析: 若x为偶数,根据题意,得x×4+13>100,解得x>,所以此时x的最小整数值为22;若x为奇数,根据题意,得x×5>100,解得x>20,所以此时x的最小整数值为21.综上,输入的最小正整数x是21.) 18.440≤x≤480 19.解: (1)去分母,得2(2x-1)≤6-3(2x+1),去括号,得4x-2≤6-6x-3,移项,得4x+6x≤6-3+2,合并同类项,得10x≤5,系数化为1,得x≤.解集在数轴上表示如图所示. (2)不等式①的解集是x≤4,不等式②的解集是x>,所以不等式组的解集为 20.解: (1)存在.解各个不等式,得①x<3,②x>2,③x>1.所以由此观察可知①与③组成的不等式组满足条件,解集为1 (2)由≥3,得x-≥3,去分母,得2x-5(x-2)≥30,去括号,得2x-5x+10≥30,移项,得2x-5x≥3
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