江苏省扬州市届高三第一次模拟考试数学试题.docx
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江苏省扬州市届高三第一次模拟考试数学试题
【市级联考】江苏省扬州市2019届高三第一次模拟考试数学
试题
学校:
姓名:
班级:
考号:
一.填空题
■
1.已知集合Af={-2,-1,0},N=
I丄丿
2.已知i是虚数单位,且复数z满足(l+i)Z=2,贝i]|z|=.
3.底而半径为1,母线长为3的圆锥的体积是.
4.某学校选修网球课程的学生中,高一、高二、高三年级分别有50需、40划、40轲•现
用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本,已知在高二年级学生中抽取了8名,则在高一年级学生中应抽取的人数为.
5.根据如图所示的伪代码,已知输出值>'为3,则输入值兀为.
Readx
If龙》0Then
y*~sinx
Else
EndIf
Printy
6.甲乙两人各有三张卡片,甲的卡片分别标有数字1、2、3,乙的卡片分别标有数字0、
1、3•两人各自随机抽岀一张,甲抽出的卡片上的数字记为乙抽出的卡片上的数字
记为b,则a与Z?
的积为奇数的概率为・
7.若直线lt:
x-2y+4=0与/2:
g-4y+3=O平行,则两平行直线/),12间的距离
为.
&已知等比数列{。
”}的前n项和为S”,若£=7,56=63,则山=.
.22
9.已知双曲线二一二=i(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x-2y=0,则该双曲线
的离心率为・
10.已知直线1:
y=-x+4与圆c:
Cr—2)2+()D—1相交于P,Q两点,则CPCQ
11・已知正实数x,)'满足x+4y—«yy=0,若x+y>/n恒成立,则实数加的取值范
围为.
«sin—+/?
cos—]().
12•设/b是非零实数,且满足——1=tan——,则上=.
^cos—-Z?
sin—Ja
77
4
13.已知函数f(x)=a+3+--\x+a\有且仅有三个零点,并且这三个零点构成等差数
列,则实数3的值为
14-若存在正实如y,z满足3mow,且⑴-吸哼则『最小值
为■二.解答题
15.已知函数/(X)=cosx+2>/3sinxco5vV-sin2x,xeR・
(1)求函数/(X)的单调增区间;
(2)求方程f(x)=0在(0,兀]内的所有解.
16.如图,在三棱柱ABC-A^C.中,四边形AAQB为矩形,平而AA^B丄平而
ABC,E,F分别是侧而AA{B}B9BB"对角线的交点.求证:
直角三角形•拟修建两条小路AC,BD(路的宽度忽略不讣),设ZBAD=/兀)・
(1)当cos^=-—时,求小路AC的长度:
5
(2)当草坪ABCD的面积最大时,求此时小路BD的长度.
18.在平而直角坐标系xOy中,椭圆二+=_=l(G>b>0)的离心率为丄,左、a2
右顶点分别为A、B,线段AB的长为4•点P在椭圆M上且位于第一象限,过点人,
(2)直线厶与椭圆M的另一交点为且AC=AAQt求兄的取值范用.
19.已知函数f(x)=(3—x)e=»g(x)=x+a(aGR)(e是自然对数的底数,e~2.718…).
(1)求函数f(x)的极值:
(2)若函数y=f(x)g(x)在区间[1,2]上单调递增,求实数a的取值范围;
(3)若函数h(x)=7(-V)+-(-V)在区间(0,+8)上既存在极大值又存在极小值,并且函数h(x)的极大值小于整数b,求b的最小值.
20.记无穷数列匕}的前n项中最大值为M”,最小值为耳,令bn=M^m",数列
{%}的前n项和为儿,数列{hn}的前n项和为弘.
(1)若数列{色}是首项为2,公比为2的等比数列,求
(2)若数列{$}是等差数列,试问数列{务}是否也一泄是等差数列?
若是,请证明;
若不是,请举例说明:
(3)若饥=2"—100—求A”.
21.已知矩阵人=,
b
求矩阵A的特征值.
x=2t
22.在直角坐标系xOy中,直线1的参数方程为 卜=-2-/ 中(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,极轴与x轴的非负半轴 重合),圆C的方程为p=4a/2cos(6>+-),求直线1被圆C截得的弦长. 4 23.将边长为2的正方形ABCD沿对角线折叠,使得平面ABD丄平面CBD,又AE丄 平而ABD. (1)若AE=迈,求证: DE丄BC; (2)若二面角A-BE-D的大小为扌,求线段AE的长. 24.已知直线x=-2上有一动点0.过点0作直线厶垂直于V轴,动点P在厶上,且满足页•负=0(O为坐标原点),记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程: (1A1 (2)已知泄点M-亍0,N-,0,A为曲线C上一点,直线册交曲线C于另 一点、B,且点人在线段M3上,直线4N交曲线C于另一点D,求⑷加的内切圆半 径,•的取值范用. 参考答案 1. 【分析】 /[ 解指数不等式->2可得出集合再利用集合的交集运算可得出集合McN・12丿 【详解】由于指数函数在R上为减函数, ->2=(-,得xv-l,•••N={x|xv-1},.•.Mr)N={_2}, 2)\2/ 故答案为{-2}. 【点睹】 本题考査集合的交集运算,考查指数不等式的求解,一般要化为同底数的指数幫,结合指数函数的单调性进行求解,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题. 2.近; 【解析】 解: 由题意可知: 乙=二,贝妝|=上・=壬=血. 1+1|卩+”V2 32届 '3 【分析】 先求得圆锥的髙,再根据圆锥的体积公式,计算即可. 【详解】 如图, OA=1,PA=3,则0P=船,=2迈. 又圆锥的底而积S=nXf=n, 体积K=—x^x25/2=. 33 故答案为警. 本题考査圆锥的体积求法,是基础的计算题. 4.10 【解析】 【分析】 根据分层抽样的左义建立比例关系即可得到结论. 【详解】•••髙一、高二、髙三年级分别有50名、40名、40名 •••若在髙二年级学生中抽取了8名,则在髙一年级学生中应抽取的人数为⑦ n_8 50"40 即力=10, 故答案为: 10. 【点睛】本题主要考查分层抽样的应用,根据条件建立比例关系是解决本题的关键•比较基础. 5.-2 【解析】 【分析】 sinx.x>0 由题意可得算法的功能是求y=\x2_{x<0的值,根拯输岀)‘的值为3,分别求岀当x>o时和当x<0时的x值,即可得解. 【详解】 由程序语句知: 算法的功能是求y=i2,门的值, ■ 当x>0时,y=sinx=3,无解: 当x<0时,y=x2-\=3^>x=-2或2(舍去), 综上所述,%的值为-2,故答案为-2. 【点睛】 本题考查了条件结构的程序语句,以及分段函数的解析式,属于基础题.算法是新课标高考的一大热点,英中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮,这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然,很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力,解决算法的交汇性问题的方: (1)读懂程序框图、明确交汇知识, (2)根拯给岀问题与程序框图处理问题即可. 4 6.- 9 【解析】 【分析】 基本事件总数n=3X3=9,a与b的积为奇数包含的基本事件个数^=2X2=4,由此能求出日与b的积为奇数的概率. 【详解】 甲乙两人各有三张卡片,甲的卡片分别标有数字1、2、3,乙的卡片分别标有数字0、1、3.两人各自随机抽出一张,甲抽出卡片的数字记为a,乙抽岀卡片的数字记为b, 基本事件总数n=3X3=9,.乂因为奇数X奇数二奇数, 所以a与b的积为奇数包含的基本事件个数20=2X2=4, m4 •••&与b的积为奇数的概率为p=-=-・ n9 4 故答案为§・ 【点睛】 本题考査概率的求法,考査古典槪型等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 7.迺 2 【解析】 【分析】 利用两条直线平行的性质求得加的值,再利用两条平行宜线间的距离公式.求得结果. 【详解】 )]彳3 若直线21: x"2j+l=0"jIztmx"4尸3=0丫•行,则右—=―—H—,求得m=2、 1-24 两直线即71: 2*-4严8=0与厶: 2x-4尸3=0 J8-3|」 屈+(~4$2, 则两平行直线厶,厶间的距离为故答案为週. 2 【点睛】 本题主要考查两条直线平行的性质,两条平行直线间的距离公式的应用,注意未知数的系 数必需相同,属于基础题. 8.1 【解析】 【分析】 由题意可得,公比qHl,则)=7,)=63,相除可得公比q,即得5的 \—q\—q 值. 【详解】 由题意可得,公比qHl,)=7,"」T".)=63, \—q\—q 相除可得l+q'=9,q=2,=1. 故答案为: 1. 【点睛】 本题考査等比数列的前n项和公式,求得<7值是解题的关键,属于基础题. 9.逻 2 【解析】 【分析】 根据题意,由双曲线的渐近线方程可得匕=\,即a=2b.进而由双曲线的几何性质可得c a2 11・m<9 【分析】 41,41 由等式对4厂刃=0,变形得一+—=1,将代数式对y与代数式一+—相乘并展开,利用 xyxy 基本不等式可求岀时y的最小值,从而可求岀m的取值范围. 【详解】 41 由于a+4厂砂=0,即对4y=xy,等式两边同时除以xy得,一—=1, vy +5=9, 41 由基本不等式可得x+y=(x+y)-+-lxy丿 4vx 当且仅当——=一,即当x=2尸6时,等号成立, x>' 所以,Wy的最小值为9. 因此,mW9. 故答案为mW9. 【点睛】 本题考査基本不等式及英应用,解决本题的关键在于对代数式进行合理配凑,考查讣算能力与变形能力,属于中等题. 12.VJ 【分析】 兀b ]O*r"m———(托、 先把已知条件转化为tan—=一=tan-+0\.利用正切函数的周期性求出 21\如£(7丿 a7 e=即可求得结论. 【详解】 7Fb Iqtcin—+—*. 因为f初一=——J—=tan—+0,(tan0=-) 211—2⑷兰17丿" a7 7t门.10龙 721 .・.&十+亍.tanO=tan(An+y)=羽. 故答案为 【点睛】 本题主要考查三角函数中的恒等变换应用,考査了两角和的正切公式,属于中档题. 【分析】 利用函数与方程之间的关系,转化为两个函数交点问题,结合分段函数的性质进行转化求解 即可. 【详解】 4 函数/(x)=d+3+__|x+a|=0, A 4 得x^a———a=3, x 4 设g(-v)=I^+a———a,A(-v)=3» X 4 -x2a,x<-a 则函数ga)=4\, 4、 x——,x>一a 不妨设f(x)=0的3个根为X”x: Kxi 4 当兄>・&时,由f(x)=0,得g(-y)=3,即x——=3, x 得Y-3x-4=0,得(对1)(jv-4)=0, 解得-Y=-1,或-¥=4: 若①-a£-l,即此时拓=-1,及=4,由等差数列的性质可得-6, 411 由/(-6)=0,即g(-6)=3得6+—-2a=3,解得a=—,满足f(x)=0在(・8, 66 -a]上有一解. 若②-1<-即-4WaVl,则f(-v)=0在(-8,-a]上有两个不同的解,不妨设 心圧,其中及=4, 所以-Yu圧是—2a=3的两个解,即出,龙是才+(2a+3)对4=0的两个解. x 得到羽+龙=-(2a+3),及反=4, 又由设fa)=0的3个根为和疋,及成差数列,且爼V疋V及,得到2好=加+4,解得: &=-1+仝5(舍去)或尸-1_也. 22 ③-曰>4,即a<-4时,f(x)=0最多只有两个解,不满足题意: 综上所述,曰==或-1-NL 62 【点睛】 本题主要考查函数与方程的应用,结合函数零点个数,转化为分段函数,利用分段函数零点个数进行讨论是解决本题的关键.综合性较强,难度极大. 【分析】 由2+3专丿上,3|,又宀沐zy3z 八Zyy )=In—Zn—=e・—In—♦令 yzz Xvv 贝IjIn—=e・—In—=et-lnt>yZZ, re[3,3],f(t)=et~lnt,利用 函数求导求最值. 【详解】 *•*正实数x、y,z满足3严3zW10yz, ・・上+耳巴异€ 3z [14 •: lux一Inz=— z •••ln-=e^丄E ZZ X ln-=In y xZ (—•一) zy Xvv 贝IjIn—=e-——In—=et-lnt^yZZ 可得/(t)在(递减,在(1,3)递增, 3ee 即(In—)审=2, ••冷的最小值必 故答案为『 【点睛】 本题考査了利用函数的思想求范围问题,关键是将所求转化为已知自变量范围的函数解析式,利用求导得到最值,属于难题. 15. (1)[-曽+炕丝+切,«wZ; (2)x=—^x=^^~ 361212 【解析】 【分析】 先将/'(X)进行恒等变换化为正弦型函数, (1)直接利用正弦函数的单调增区间得到 ^-+2k;r<2x+-<-+2k^.keZ,解得x的范围即可. 262 (2)令/(X)=O,解得x的值,对k进行赋值,使得X落在(0,刃内,即得结果. 【详解】 /(x)=cos2x+2>/3siavcoScr一sin2x =x/3sin2x+cos2x=2sin[2x+十 (1)由一-+2k;r<2x+-<-+2k^.keZ,解得: --+k7r 26236 •••函数/(x)的单调增区间为-? +后,$+炽.keZ (2)由/(x)=0得2sin|2x+升=0,解得: +f=k兀,即x=一春+耳,kwZ /ci5兀..11龙 *.*xw(0,龙],x=—或x=. 、」1212 【点睛】 本题考査了三角函数求值的运算问题,考查三角恒等变换,正弦函数的单调性,是基础题. 16. (1)见解析; (2)见解析 【分析】 (1)由已知结合平行四边形的性质可得E,F分别是Ad,的中点,利用中位线左理可得EF//AC,根拯线而平行的判左立理即可证明: (2)由矩形的性质可得3坊丄AB,利用而而垂直的性质可得丄平而ABC,根据线而垂直的性质可求B坊丄AC. 【详解】 (1)因为三棱柱ABC—A/C, 所以四边形AA^B,四边形BB"均为平行四边形. 因为E,F分别是侧而BBQC对角线的交点, 所以E,F分别是ABlfCE的中点, 所以EF//AC. 因为EF(z平而ABC,ACu平而ABC, 所以EF//平面ABC. (2)因为四边形AA.B.B为矩形, 所以B国丄AB. 因为平而AA.B.B丄平而ABC,BB】u平而ABB,A.,平而ABB"c平而ABC=AB,所以BQ丄平而ABC. 因为ACu平而ABC, 所以丄AC. 【点睛】本题主要考查线而平行的判立定理、而面垂直的性质、线面垂直的性质,属于中档题•证明线而平行的常用方法: ①利用线而平行的判启左理,使用这个定理的关键是设法在平而内找到一条与已知直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线泄理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两宜线平行•②利用而而平行的性质,即两平而平行,在其中一平而内的直线平行于另一平而. 17. (1)AC=>/37: ⑵BD=>/26 【解析】 【分析】 (1)在△磁中,由余弦泄理可求加的值,利用同角三角函数基本关系式可求sinO,根据正弦定理可求sin^ADB=~,进而可求cosZADC的值,在△川切中,利用余弦定理可求M的值. (2)由 (1)得: 5Z7=14-6V5cosO,根据三角形面积公式,三角函数恒等变换的应用可求.弘=7+$sin(0-<1>),结合题意当0-e=? 时,四边形月救的而积最大,即 22 /T21 0=<1>+—>此时sin=—j=,从而可求助的值. 【详解】 (1)在AABD中,由BD2=AB2+AD2-2AB-ADcos0•得3£>2=14-6点os&,又cos&=-£,: ・BD=2$ sin&=Jl—cos'。 =11- BDAB2书_3§ 由品方矿兀丽得: 咅siSd解得: sin/AD仁, ・.•ABCD是以£>为直角顶点的等腰直角三角形.•・乙CDB=彳且CD=BD=2^5 : cosZADC=cosZADB+—=-sinZADB=一I2丿 在AACD中,AC2=AD2+DC2-2AD-DCcosZADC =(>/5)~+(2>/5)2-2x>/5x2>/5x 解得: AC=V37 (2)由 (1)得: B£>2=14-6x/5cos<9, Sabcd=S》\bd+S\ho=—x? )xy/sxsin^+—xBD=7——xsin0—3-^5cos0 222 =7+^^(sin&-2cos&)=7+琴sin(&-0),此时sin^=»cos©=,且 当&_。 =彳时,四边形ABCD的而积最大,即0=(/)+—,此时sin&=-鼻,cos&= 22yJ5 : .加2=14—6丘os&=14—6辰 26, 即BD=y/26 答: 当cos0=-f时,小路AC的长度为妬百米;草坪ABCD的面积最大时,小路BD 的长度为癒百米. 【点睛】 本题主要考查了余弦左理,同角三角函数基本关系式,正弦立理,三角形而积公式,三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题. 18.⑴ 3 1,才: (2)壮 2516] 、亦6 【分析】⑴先求出椭圆的方程,设直线AP的方程为y=k(x+2)・分别表示出直线AC与BC的方程,联立方程组,求出点C的坐标,利用点C的横坐标为"求岀q,进而可求出点P 的坐标: (2)联立< 〉一挣+2) 乂+厶1 43 消去儿 整理得(3疋+4)/+16尤+16-12疋=0, ・由AC=AAQ,可得几= ◎+2艺+2_*+3〜Xq+26k~*丄。 3/+4 即可求岀几的取值范围. 【详解】 (1)设直线AP的斜率为卩(砂0)‘ r1 由题意得2d=4,-=-, a2 所以d=2,c=l,b=5/3» 所以椭圆“的方程吟+「】• 因为点P在椭圆M上,且位于第一象限, 所以0<杞<写,菁+牛1,直线AP的方程为y=蚣+2).因为kAP•kBP=-'"c•-;'11=? °.=—r, Xq+2Xq—2Xq—44 3 所以心p=一百> 4k 3“、 所以直线BP的方程为y=-—(x-2)・ 6-肿 A=> 4k2+3nky=4疋+3 y=k(x+2) 3(八,解得'y=(x-2) 4k'7 联立 (6-弘2\2k} 即P—;一,——・ (4疋+3W+3丿 因为厶丄P4,所以忍(・=一;, 则直线AC的方程为y=—;(x+2)・ k 4 因为厶丄PB,所以kBC=-k・ 4, 则直线BC的方程为y=-k(x-2). >f=-T('+2) 联立{/•解得{ 4 y=E心_2) 肿_6 X=; 4疋+3 一16£ •'=4疋+3 」8以一6-16& 即C—一•一,一・ (4疋+34疋+3丿 因为点C的横坐标为-1, 所以害解得心牛 因为。 <卡, 所以V•将T代入P 6-肿\2k I4“+3、4“+3 可得, 点P的坐标为. (2)设Q(勺,九),C(Xc』c),又直线AC的方程为y=-丄(x+2).k y=_: (/+2) 联立彳 消去)',整理得(3*2+4)x,+16x+16—12*2=0, 所以-2廿屮 °3宀4 因为AC=AAQ, 16以(3疋+4)7 12pj4F+3)_1+12F+9 J+2心+2_4£+3Xq+26k~*丄。 、I厶 3S+4 /T 因为0 2 "2516) 帀'6 【点睹】 本题主要考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系以及求范国问题,属于难题.解决圆锥曲线中的范国问题一般有两种方法: 一是几何意义,特别是用圆锥曲线的泄义和平而几何的有关结论来解决,非常巧妙: 二是将圆锥曲线中范围问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解. 19. (1)见解析; (2)«>-3: (3)4 【分析】 (1)对/(X)求导,通过/'(X)的正负,列表分析/'(X)的单调性进而求得极值. (2)先求得f(x)g(x)的解析式,对其求导,原题转化为导函数no在xw[l,2]上恒成立,令in(x)=-x2+(\-a)x+2a+3,求得a的范围.(3)由题意知/i'(x)=0在(0,+qo)上有两个不等实根,即r(x)=ev(-x2+3x—3)—“=0在(0,-hx>)上有两个不等实根,对“X) 上各有一个实根,从而得到极大值/7(吃),将 1£1 力(花)视为关于*2的函数,求导得到力(勺)丘亍以+1疋+1,又因为 3v・+ive+i<4,得到整数b的最小值. 2 【详解】 (1)f(x)=(3-x)extf\x)=(2-x
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