版高中数学第三章函数的应用322对数函数一学案苏教版必修1.docx
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版高中数学第三章函数的应用322对数函数一学案苏教版必修1
3.2.2 对数函数
(一)
学习目标
1.理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.
知识点一 对数函数的概念
思考 已知函数y=2x,那么反过来,x是否为关于y的函数?
梳理 一般地,__________________________叫做对数函数,它的定义域是____________.
知识点二 对数函数的图象与性质
思考 y=logax化为指数式是x=ay.你能用指数函数的单调性推导出对数函数的单调性吗?
梳理 类似地,我们可以借助指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质
定义
y=logax(a>0,且a≠1)
底数
a>1
0 图象 定义域 值域 单调性 在(0,+∞)上是单调增函数 在(0,+∞)上是单调减函数 共点性 图象过点__________,即loga1=0 函数值特点 x∈(0,1)时y∈____________; x∈[1,+∞)y∈____________ x∈(0,1)时y∈____________; x∈[1,+∞)时,y∈________ 对称性 函数y=logax与y= x的图象关于________对称 类型一 对数函数的概念 例1 已知对数函数y=f(x)过点(4,2),求f 及f(2lg2). 反思与感悟 一个函数是对数函数必须满足以下条件 (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数. (3)对数的真数仅有自变量x. 跟踪训练1 判断下列函数是不是对数函数? 并说明理由. (1)y=logax2(a>0,且a≠1); (2)y=log2x-1; (3)y=logxa(x>0,且x≠1); (4)y=log5x. 类型二 对数函数的定义域的应用 例2 求下列函数的定义域. (1)y=loga(3-x)+loga(3+x); (2)y=log2(16-4x). 引申探究 1.若将例2 (1)中的函数改为y=loga(x-3)+loga(x+3),求定义域. 2.求函数y=loga[(x+3)(x-3)]的定义域,相比引申探究1,定义域有何变化? 反思与感悟 求含对数式的函数定义域关键是真数大于0,底数大于0且不为1.如需对函数式变形,需注意真数底数的取值范围是否改变. 跟踪训练2 求下列函数的定义域. (1)y= ; (2)y=log(x+1)(16-4x); (3)y=log(3x-1)(2x+3). 类型三 对数函数单调性的应用 命题角度1 比较同底对数值的大小 例3 比较下列各组数中两个值的大小. (1)log23.4,log28.5; (2)log0.31.8,log0.32.7; (3)loga5.1,loga5.9(a>0,且a≠1). 反思与感悟 比较两个同底数的对数大小,首先要根据对数的底数来判断对数函数的增减性;然后比较真数大小,再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.对于底数以字母形式出现的,需要对底数a进行讨论.对于不同底的对数,可以估算范围,如log22 跟踪训练3 设a=log3π,b=log2 ,c=log3 ,则a,b,c的大小关系是________. 命题角度2 求y=logafx型的函数值域 例4 函数f(x)=log2(3x+1)的值域为________. 反思与感悟 在函数三要素中,值域从属于定义域和对应关系.故求y=logaf(x)型函数的值域必先求定义域,进而确定f(x)的范围,再利用对数函数y=logax的单调性求出logaf(x)的取值范围. 跟踪训练4 函数y= 的值域为____________. 类型四 对数函数的图象 命题角度1 画与对数函数有关的函数图象 例5 画出函数y=lg|x-1|的图象. 反思与感悟 现在画图象很少单纯描点,大多是以基本初等函数为原料加工,所以一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论,另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点. 跟踪训练5 画出函数y=|lg(x-1)|的图象. 命题角度2 与对数函数有关的图象变换 例6 函数f(x)=4+loga(x-1)(a>0,a≠1)的图象过一个定点,则这个定点的坐标是__________. 反思与感悟 y=f(x) y=f(x+a),y=f(x) y=f(x)+b.对具体函数(如对数函数)仍然适用. 跟踪训练6 若函数f(x)=ax-1的图象经过点(4,2),则函数g(x)=loga 的图象是________. 1.函数y=log2(x-2)的定义域是________. 2.函数f(x)= +lg(1+x)的定义域是________. 3.函数f(x)=log0.2(2x+1)的值域为________. 4.已知函数y=loga( x+b)(a,b为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图所示,则a+b的值为________. 5.若函数f(x)=2loga(2-x)+3(a>0,且a≠1)过定点P,则点P的坐标是__________. 1.含有对数符号“log”的函数不一定是对数函数. 判断一个函数是否为对数函数,不仅要含有对数符号“log”,还要符合对数函数的概念,即形如y=logax(a>0,且a≠1)的形式.如: y=2log2x,y=log5 都不是对数函数,可称其为对数型函数. 2.研究y=logaf(x)的性质如定义域、值域、比较大小,均需依托对数函数的相应性质. 3.研究与对数函数图象有关的问题,以对数函数图象为基础,加以平移、伸缩、对称或截取一部分. 答案精析 问题导学 知识点一 思考 由于y=2x是单调函数,所以对于任意y∈(0,+∞)都有唯一确定的x与之对应,故x也是关于y的函数,其函数关系式是x=log2y,此处y∈(0,+∞). 梳理 函数y=logax(a>0,a≠1) (0,+∞) 知识点二 思考 当a>1时,若0<x1<x2,则ay1<ay2,解指数不等式,得y1<y2,从而y=logax在(0,+∞)上为单调增函数. 当0<a<1时,同理可得y=logax在(0,+∞)上为单调减函数. 梳理 (0,+∞) R (1,0) (-∞,0) [0,+∞) (0,+∞) (-∞,0] x轴 题型探究 例1 设y=logax(a>0,且a≠1),则2=loga4,故a=2,即y=log2x,因此f =log2 =-1,f(2lg2)=log22lg2=lg2. 跟踪训练1 解 ∵ (1)中真数不是自变量x, ∴不是对数函数; ∵ (2)中对数式后减1,∴不是对数函数; ∵(3)中底数是自变量x,而非常数a, ∴不是对数函数. (4)为对数函数. 例2 解 (1)由 得-3 ∴函数的定义域是{x|-3 (2)由16-4x>0,得4x<16=42, 由指数函数的单调性得x<2, ∴函数y=log2(16-4x)的定义域为 {x|x<2}. 引申探究 1.解 由 得x>3. ∴函数y=loga(x-3)+loga(x+3)的定义域为{x|x>3}. 2.解 (x+3)(x-3)>0, 即 或 解得x<-3或x>3. ∴函数y=loga[(x+3)(x-3)]的定义域为{x|x<-3或x>3}. 相比引申探究1,函数y=loga[(x+3)(x-3)]的定义域多了(-∞,-3)这个区间,原因是对于y=loga[(x+3)·(x-3)],要使对数有意义,只需(x+3)与(x-3)同号,而对于y=loga(x-3)+loga(x+3),要使对数有意义,必须(x-3)与(x+3)同时大于0. 跟踪训练2 解 (1)要使函数有意义,需 即 即-3 故所求函数的定义域为(-3,-2)∪[2,+∞). (2)要使函数有意义,需 即 所以-1 故所求函数的定义域为{x|-1 (3)要使函数有意义,需 即 所以x> 且x≠ , 故所求函数的定义域为 ∪ . 例3 解 (1)考察对数函数y=log2x, 因为它的底数2>1, 所以它在(0,+∞)上是单调增函数, 又3.4<8.5, 于是log23.4 (2)考察对数函数y=log0.3x,因为它的底数0<0.3<1, 所以它在(0,+∞)上是单调减函数, 又1.8<2.7, 于是log0.31.8>log0.32.7. (3)当a>1时,y=logax在(0,+∞)上是单调增函数, 又5.1<5.9, 于是loga5.1 当0 又5.1<5.9, 于是loga5.1>loga5.9. 综上,当a>1时,loga5.1<loga5.9; 当0<a<1时,loga5.1>loga5.9. 跟踪训练3 a>b>c 解析 ∵a=log3π>1,b= log23,则 <b<1,c= log32< ,∴a>b>c. 例4 (0,+∞) 解析 f(x)的定义域为R. ∵3x>0,∴3x+1>1. ∵y=log2x在(0,+∞)上单调递增, ∴log2(3x+1)>log21=0, 即f(x)的值域为(0,+∞). 跟踪训练4 [0,+∞) 解析 ∵当x<-1时, 0<3x<3-1= , 当x≥1时,log2x≥log21=0, ∴函数的值域为 ∪[0,+∞) =[0,+∞). 例5 解 (1)先画出函数y=lgx的图象(如图). (2)再画出函数y=lg|x|的图象(如图). (3)最后画出函数y=lg|x-1|的图象(如图). 跟踪训练5 解 (1)先画出函数y=lgx的图象(如图). (2)再画出函数y=lg(x-1)的图象(如图). (3)再画出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图). 例6 (2,4) 解析 因为函数y=loga(x-1)的图象过定点(2,0),所以函数f(x)=4+loga(x-1)的图象过定点(2,4). 跟踪训练6 ④ 解析 代入(4,2),得2=a4-1,即a3=2, ∴a= >1. g(x)=loga =-loga(x+1). 在(-1,+∞)上为单调减函数且过点(0,0).故填④. 当堂训练 1.(2,+∞) 2.(-1,1)∪(1,+∞) 解析 ∵ ∴ ∴定义域为(-1,1)∪(1,+∞). 3.(-∞,0) 4. 解析 ∵u= x+b为单调增函数, y=logau为单调减函数, ∴0 又由图象过(0,2),(3,0), ∴2=logab,∴a2=b,又0=loga( +b), ∴ +b=1,b= . ∴a= ,∴a+b= + = . 5.(1,3)
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