数学模型与数学软件综合训练降落伞的选择问题.docx
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数学模型与数学软件综合训练降落伞的选择问题
数学模型与数学软件综合训练降落伞的选择问题
《数学模型与数学软件综合训练》论文
训练题目,降落伞的选择问题
目录
一前言.......................................................................................................................2二降落伞的选择问题................................................................................................3
1论文摘要...........................................................................................................3
2问题重述与分析...............................................................................................3
3假设与模型.......................................................................................................4
3.1基本假设.................................................................................................4
3.2符号说明..............................................................................................4
3.3模型的建立及求解.................................................................................4
3.4模型结果的解释.....................................................................................9
4模型评价及推广..............................................................................................9四总结.....................................................................................................................11五参考文献.............................................................................................................12六附录.....................................................................................................................13
1
一前言
随着社会的不断发展,数学的应用已由传统的工程技术领域扩展渗透到自然科学和社会科学许多领域,并形成了许多交叉科学,如数理经济学、计量经济学、人口控制论、生物数学等。
而应用数学方法解决实际问题,首要的和关键的一步就是建立实际问题的数学模型,因此掌握数学建模方法也就显得非常重要。
计算机技术及数学软件的飞速发展和普及为数学模型的求解带来了极大的方便,使数学的应用更加广泛和实际可行。
此次课设也是为了对数学建模进行全面的训练,以掌握如何把实际问题抽象为数学模型,学会数学建模的方法以及提高运用数学软件解决数学问题能力。
本篇文章对降落伞选择问题通过数学建模过程及数学软件的运用进行了全面的解答。
2
二降落伞的选择问题
1论文摘要
本文是对降落伞的选择问题的解答,建立了降落伞的运动方程,分析降落伞的速度变化规律,然后运用线性最小二乘法,拟合得出空气的阻力系数为2.9575。
然后根据降落伞在任意时刻的速度是关于载重量的严格增函数及在接近地面处达到20ms的最大允许速度,求出每种半径的降落伞的最大承受质量以及其单价问题可以归结为一个线性整数规划问题。
并结合分枝定界法解出降落伞的最佳选择。
关键字:
速度变化线性拟合空气阻力系数线性规划整数线性规划
2问题重述与分析
(1)问题重述:
为向灾区空投一批救灾物资,共2000kg,需选购一些降落伞。
已知空投高度为500m,要求降落伞落地时的速度不能超过20ms,降落伞的伞面为半径为r的半球面,用每根长L共16根绳索连接的重m位于球心正下方球面处,如下图:
m
(图1)
每个降落伞的价格由三部分组成,伞面费用C1由伞的半径r决定,见表1;绳索费用C2由绳索总长度及
4元米单价决定;固定费用C3为200元
表1
R22.533.54
C1651703506601000
降落伞在降落过程中除受到重力外,受到空气的阻力,可以认为与降落伞的速度和伞的面积的乘积成正比。
为了确定阻力系数,用半径r=3m,载重m=300kg的降落伞从500m高度作降落试验,测得各个时刻t的高度x,见表2。
表2
t(s)036912151821242730
x(m)500470425372317264215160108551
试确定降落伞的选购方案,即共需多少个伞,每个伞的半径多大(在表1中选择),在满足空投要求的条件下,使用费用最低。
如果如果救灾物资以每袋100kg或200kg等包装空投(每降落伞可多包捆扎空投,但不可将一包分开),降落伞的选购方案如何,
(2)问题分析
根据题意,每种伞的价格是确定的。
要确定降落伞的选购方案,即共需多少个伞,每个伞的半径多大(在给定的半径的伞中选),在满足空投要求的条件下,使费用最低。
首先,必须知道每种伞在满足空投的
3
条件最大的载重量M(r),然后就是一个线性整数规划问题了。
意欲得到M(r),必须先求出空气阻力系数k,
然后根据运动方程得出M(r),最后运用分枝定界法求解线性整数规划,得出问题要求的结果。
3假设与模型
3.1基本假设
(1)救灾物资2000kg可以任意分割;
(2)降落伞落地时的速度不超20ms
(3)降落伞以及绳索的质量是可以忽略的;
(4)降落伞在降落过程中,只受到重力和一个可以认为是非重力因素共同作用的合力的空气阻力的作用;
(5)空气阻力的阻力系数k是定值的与其他因素无关;
3.2符号说明
,,Mr?
?
表示半径为r伞在满足空投的条件最大的载重量
k?
?
?
空气阻力系数
,,Ht?
?
降落伞从降落位置到t时刻所下降的距离
m?
?
?
降落伞负重质量
重力加速度g?
?
?
降落伞伞面面积s?
?
?
n?
?
选购的半径为r的降落伞的个数r
3.3模型的建立及求解
(一)首先确定空气阻力系数k
根据题意。
降落伞在下降过程中受到重力和空气阻力的作用。
而且初速度为0
dVtkvs,,,,g,,
(1)?
?
?
?
?
?
dtm,
,,V0,0,
解法详见参考文献[1],解得
kst
m,mgmge,,Vt?
?
?
?
?
,
(2)ksks
,,Ht设降落伞从降落位置到t时刻所下将的距离为,则有
t,,,,Ht,Vtdt?
?
?
?
?
(3),0
积分求得
4
kst,22mgtmgmgmH,,te,,,,?
?
?
?
?
?
(4)2222ksksks
2m对给定的m,,取,,有数据m,300kgg,9.8s,2,rr,32s
表3
t(s)036912151821242730x(m)500470425372317264215160108551
,,,,由于处理得Hm,500,xm
表4
t(s)036912151821242730H(m)03075128183236285340392445499作出H(m)~t(s)的系图
图
(2)
一方面,从图一中可以看出H(m)~t(s)在后阶段基本是线性关系,即降落伞是作匀速运动。
从而由
mmg,kvs,可以估算出v,17,k,2.9s
另方面,由
kst
mmgmg,e,,Vt,,ksks
2mm,300kgg,9.8代入米,,取,s,2,r,,作出下图二,从中可以看出r,3k,2.92s
5
mg,,一开始的增长是较快的,但由于负项是成负指数衰减的,所以很快就接近极限值。
Vtks
图(3)
至此,在9秒以后是近似的匀速运动是可以肯定的了。
下面就9秒以后的数据运用最小二乘法进行线性拟合
,,Ht,Vt,b,,设,其中符合正太分布,下面调用Matlab语句进行拟合,拟合详见参考文献,
[2]。
图(4)
m,,V,17.5794从Matlab计算结果可以得出,,s
6
空气阻力系数k=2.9575
(二)第二步求取半径为r伞在满足空投的条件最大的载重量M(r).
由
kst
mmgmg,e,,Vm,,ksks
知:
V(m)是关于m的增函数,证明见附录[1];特别的,在给定从500米的高空空投时,降落伞在落地瞬间的速度在给定g,k,s又有等式约束H(t)=500,即:
kts22mgtmgmgm,,e,,5002222ksksks
,,,,的情况下的速度,Vm是关于m的增函数,反之,其函数mV也是关于V的增函数。
所以,要
,,求取半径为r伞在满足空投的条件最大的载重量Mr,就是要在V取最大值时取得,即取
m,,,求出指定半径r的Mr,即由以下方程组确定V,20s
kts,,mmgmge,,Vt,,,,,ksks(5)?
?
?
?
?
?
,kts22,mmgtmgmg,,,Ht,,,2222ksksks,
有方程组导出
,ksvmv222(6),,,,H,,mg,ln1,ks,?
?
?
?
?
,mgks,,
mHt,500,V,20如以前所述,取,,,得到方程s
,20,ks20,m222(7),,,mg,ln1,ks,,500?
?
?
?
?
,mgks,,
g,9.8,k,2.9575代入参数
20,2.957520,m,,222,9.8,m,ln1,2.9575,s,,500?
?
?
?
?
?
(8),,9.8,m2.9575,s,,
2r,2,r,2.5,r,3.5,r,4由s,2,,,r,分别代入
,,Mr调用Matlab命令solve分别解得半径为r伞在满足空投的条件最大的载重量如下
表5
,,,,,,,,,,M2kgM2.5kgM3kgM3.5kgM4kg
151.6947237.0229341.3130464.5649606.7787
取整)152237341465607
7
(三)计算每种伞的单价如下:
单位元
表6
半径r22.533.54
C1651703506601000
C2181.0193226.2742271.5290316.7838362.0387
C3200200200200200
C4446596.3821.51176.81562
C(取整)44659682211771562
,,(四)现在每种伞的单价和最大的载重量Mr都已经求得,原问题就成了如下一个线性整数规划问题设n为选购的半径为r的降落伞的个数,则有:
r
,min446n,596n,822n,1177n,1562n22.533.54
nnnnn152,237,341,465,607,,2000,22.533.54(9)?
?
?
?
n为非负整数r,,2,2.5,3,3.5,4r,
调用Matlab,运用线性规划法,线性规划详见参考文献[3],求得结果如下图所示:
图(5)
将线性规划取得的结果再配合分枝定界法,分枝定界法详见参考文献[4],
n,0,n,0,n,6,n,0,n,0可得:
22.533.54
总费用为4932
(五)如果救灾物资以每袋100kg包装空投,则线性规划为
8
,min446n,596n,822n,1177n,1562n22.533.54
nnnnn100,200,300,400,600,,2000,22.533.54(10)?
?
?
?
?
?
n为非否正整数,r,2,2.5,3,3.5,4r,
调用Matlab,运用线性规划,求得
图(6)
n,0,n,0,n,7,n,0,n,0同理将取得的结果配合分枝定界法可得:
,22.533.54
总费用为57540元。
3.4模型结果的解释
模型的结果表达的意义就是在需要空投2000kg的情况下,需要选购半径为3米的降落伞6把,每个降落伞的承受的质量可以按照333的方式分配。
如果救灾物资以每袋100kg包装空投,需要,4,334,2
,,7,3,100选购半径为3米的降落伞7把,每个降落伞的承受的质量可以按照的方式分配。
4模型评价及推广
(一)在求解空气阻力系数k时,我们分析数据得出在运动后期降落伞作近似的匀速运动,并以此为前
提对数据进行拟合求出了k,下面在问题已经基本获得解决后,运用获得的数据对降落伞的运动情
况进行检验,如下表:
9
表7
r22.533.54
,,Mrkg151.6947237.0229341.3130464.5649606.7787
225.132739.269956.548776.9690100.5310s,2,r
Ms6.0357406.0357396.0357396.0357396.035739
mg,f,kVs阻以看出,Ms几乎是常数,又有阻是降落伞后期运动为匀速运动的充分必要条件,即è
mkV,为常数,而k,个为常数,所以降落伞在运动后期作近似匀速运动,因此,在求空气阻力系数k时sg
假设运动为近似匀速运动是合理的。
(二)由图二可以看出降落伞的大幅度加速过程很快就结束了,对给定的承载质量很快就进入近似匀速运动,而且速度与空气高度基本是无关的,所以空投高度并不十分重要,只要能保证空投位置准确,高一些投放也可以,这样可以降低空投难度。
(三)题目中要求的是空投2000kg的救灾物品,若数据有所变动。
例如3000kg,5000kg,只需要将VIII式的2000改为3000,5000,然后再运用分支定界法解整数规划就可以解出结果。
10
四总结
通过一个多周的对降落伞选择问题题目的数学模型与数学软件的课程设计,使我完全的了解了如何把一个实际问题用数学方法解决。
从拿到题目就开始查阅相关资料,以及后面把实际问题抽象为具体的数学模型,到建立模型后运用学过的数学方法及数学软件解决具体数学问题。
在这个全过程中我学会了如何获取有用的信息,在查阅有关资料的基础上,如何把实际问题建立成为具体的数学模型;如何运用学过的数学知识以及学习运用相关的数学软件解决数学问题。
在此过程中我也遇到了很多难题,其中最主要的是如何解决数学问题以及如何运用数学软件。
通过查阅资料和请教同学才使我顺利的完成此次课程设计。
在此要感谢热心帮助我的同学。
通过此次对降落伞选择实际问题的解决。
使我对数学建模的能力得到了很大的提高,使我提高了从资料中获取有用知识的能力,使我对相关的数学软件的运用有了一定的提高。
同时,通过此次课程设计使我对数学建模有了一个全面的认识。
对运用数学方法解决实际问题的能力有了很大的提高。
11
五参考文献
[1]同济大学数学研究室,高等数学(下册),第四版,高等教育出版社,1996.12[2]萧树铁主编,数学实验,高等教育出版社,1999.6
[3]解可新.韩立兴.林友联,最优化方法,天津大学出版社,1997.1
[4]张智星.MATLAB程序设计与应用,清华大学出版社..2002.4
12
六附录附录[1]
证明:
是关于m的增函数。
(k,s,t为正数)
p
m,,fm,m,m,e,,证明:
Vm是关于m的增函数等价于为增函数,其中P为正数。
p,p,p22,,dfpdfmpmmm,e,0,1,e,e因为:
,所以为严格的减函数23dmmdmm
pp,,,,,,dfmp,,mm,,lim,lim1,e,e,0,m,,,又因为:
,,,1m,,,dmm0,,,,,m
,pp,,dfmpmm,1,e,e,0,m,,,,所以,dmm
p
m,,fm,m,m,e于是为增函数
kst
mmgmg,e,,Vm,,所以是关于m的增函数获证ksks
附录[2]
求解
,min446n,596n,822n,1177n,1562n22.533.54152n237n341n465n607n2000,,,,,,,22.533.54?
?
nr2,2.5,3,3.5,4n?
?
?
?
?
为非负整数rr,
求解一般线性规划的程序示例如下:
Clear,clc
C=[44659682211771562];A=[-152-237-341-465-607];B=[-2000];
lb=[00000];
ub=[infinfinfinfinf];[n,fval]=linprog(C,A,b,Aq,bq,lb,ub)
分枝定界法:
部分
费用4821
(0,0,5.8651,0,0)n3<5n3>6
费用4932费用4852(0,0,6,0,0)(0,1.2447,5,0,0)n2.5>2n2.5<1
费用4871费用4853
(0,2,4.4751,0,0)(0,1,5,0.1247,0)
13
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- 数学模型 数学 软件 综合 训练 降落伞 选择 问题