箱子的摆放问题数学建模.docx
- 文档编号:27635656
- 上传时间:2023-07-03
- 格式:DOCX
- 页数:21
- 大小:390.03KB
箱子的摆放问题数学建模.docx
《箱子的摆放问题数学建模.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《箱子的摆放问题数学建模.docx(21页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
箱子的摆放问题数学建模
箱子的摆放问题数学建模
箱子的摆放策略
摘要
本文针对箱子的摆放的优化铺设问题,采用了循环嵌套式算法,建立了利用率最优化的整数规划模型,使用LINGO、MATLAB求解,并用Excel进行画图,实现了箱子最优摆放与评价。
对于问题一,建立在不允许箱子超出底边的情况下,所能摆放最多箱子的数学模型。
借助于循环嵌套式算法,采用改进后的由外至内逐步优化的模型:
首先对各边的外层进行摆放,使其边界利用率最高,再对内层剩余矩形空间进行摆放,一直循环,至内部剩余空间无法放入箱子为止。
用MATLAB编程、求解分析:
以此模型摆放,第一种箱子个数为16、第二种箱子个数为4、第三种箱子个数为20。
对于问题二,建立在允许箱子超出上、左、右边的情况下,所能摆放最多箱子的数学模型。
建立由下至上逐步优化模型:
以底边为基,将其两边各向外扩充半个长边的长度,先对底边进行摆放,使其边界利用率最高,再向上堆叠,使箱子间无空隙,使面积利用率最大,至上侧最多超出半个箱子边长为止。
用lingo编程、求解分析:
以此模型摆放,第一种箱子个数为23、第二种箱子个数为8、第三种箱子个数为28。
对于问题三,我们采用左右对称,箱子横放,向上堆叠,左、右、上边各超出少许的方案。
引入箱子个数、稳定性两个指标,通过线性加权评价的方式,对此方案与模型一进行评价分析。
得出了在在实际情况中,当考虑不同权重的综合指数时,模型一与模型三的摆放方式各有优劣性的结论。
关键词:
利用率最高循环嵌套式算法线性加权评价
.
其中,m、n分别表示小矩形的长边和宽边在大正方形的某边的个数。
利用LINGO程序求解。
(1)第一种箱子:
a=0.3b=0.24L=1.1
利用lingo程序求解,得:
m=2,n=2
摆放示意图如图1所示
图1
(2)第二种箱子:
a=0.6b=0.4L=1.1
利用lingo程序求解,得:
m=1,n=1
摆放示意图如图2所示:
图2
(3)第三种箱子:
a=0.3b=0.2L=1.1
利用lingo程序求解,得:
m=1,n=4
摆放示意图如图3所示:
图3
模型二:
由外至内逐步优化模型改进版
因为模型一过程复杂,不利于推广,我们进行了新模型的构建,即基于循环嵌套式算法
的改进版模型来解决二维矩形排列问题。
在边长为1.1的正方形中,放入
的小矩形(a为长,b为宽),使放入的数量最多。
其等价于,利用a和b的进行各种组合,使得大正方形各个边方向上的利用率尽可能高,即在边上对a和b进行组合优化。
对外层排列完成后,对内部剩余矩形面积进行排放,如此循环,至剩余面积无法放入小矩形。
这种模型不断循环,利于推广。
图4
参照流程图设计MATLAB程序,求解每层小矩形长边、宽边的个数m和n,以及所有小矩形的个数sum。
模型求解:
(1)第一种箱子:
a=0.3b=0.24L=1.1
利用MATLAB程序求解,得:
m=2,n=2,sum=16
因为该算法的思想为:
由外向内的每层都分为对称的4部分,每部分都为相同形状矩形,因此此方案只有一层,摆放示意图如图5所示:
图5
(2)第二种箱子:
a=0.6b=0.4L=1.1
利用MATLAB程序求解,得:
m=1,n=1,sum=4
摆放示意图如图6所示:
图6
(3)第三种箱子:
a=0.3b=0.2L=1.1
利用MATLAB程序求解,得:
m=[11],n=[41],sum=24
摆放示意图如图7所示:
图7
问题二:
模型三:
由下至上逐步优化模型
(1)允许箱子在正方形底板的上方,左边,右边部分超出底板。
因此,为了追求面积最大化,在正方形底板的左右侧各扩充a/2,使其变成矩形。
(2)正方形底板的下边不可超出。
考虑以下边为基础,优化目标是使其利用率尽可能高,即先在扩充后的底边对a和b进行组合优化。
图8
参照图8设计LINGO程序,将目标函数设为:
得到靠近叉车壁的小矩形长边、宽边的个数m和n,以及长边、宽边向上累加的小矩形的个数c和d。
我们再对剩余的上部进行填充:
以整体面积利用率为优化目标(面积利用率越大,即摆放在扩展后的矩形底板上的小矩形越多),我们采用紧密相连的方案,以下边为基,逐个向上累加。
模型求解:
(1)第一种箱子:
a=0.3b=0.24L=1.1
利用LINGO程序求解,得:
m=3,n=2,c=5,d=4
摆放示意图如图9所示:
图9
注:
最外围实线表示最大可能利用面积。
(2)第二种箱子:
a=0.6b=0.4L=1.1
利用LINGO程序求解,得:
m=2,n=1,c=3,d=2
摆放示意图如图10所示:
图10
(3)第三种箱子:
a=0.3b=0.2L=1.1
利用LINGO程序求解,得:
m=4,n=1,c=6,d=4
摆放示意图如图11所示:
图11
问题三:
1.摆放方式的简述
我们在装箱个数不一定相等的前提下,从叉车底板下方往上使每个小矩形箱按同样的方式摆放进叉车,允许小矩形箱按问题二的要求在允许箱子在正方形底板的上方,左边,右边少部分超出底板但不至于掉落出叉车底板,不允许出现矩形箱旋转情况,使摆放不存在缝隙且左右对称。
以此为我们问题三的摆放方式。
下图图12为问题三型号1矩形箱的摆放方式(4X5),左右对称,两边各超出底板0.05米,上方超出底板0.1米。
下图图13为问题三型号2矩形箱的摆放方式(2X6),左右对称,两边各超出底板0.05米,上方超出底板0.1米。
下图图14为问题三型号3矩形箱的摆放方式(4X6),左右对称,两边各超出底板0.05米,上方超出底板0.1米。
图12图13
图14
2.线性加权综合法的分析
(1)数据的采集和计算
分别以问题一和问题三的三个小矩形箱的摆放方式为研究对象,其测评数据采自这6个摆放方式的摆放个数及摆放方式的稳定性。
经查阅文献及模型简化
,我们认为,叉车的稳定性可以重心偏移量来衡量,即为每个矩形箱重心的位置到叉车底板中心位置距离的平均值。
因此,在六个摆放方式中,我们以叉车底板中心位置为原点建立直角坐标系,在每个矩形箱都是密度均匀的前提下,分别确定每个矩形箱重心(即矩形中点)的坐标,计算求得重心偏移量的值。
第一题的数据汇总见表1;第三题的数据汇总表见表2。
表1
模型一
个数
重心偏移量
图1
16
0.521697
图2
4
0.430116
图3
20
0.416874
表2
模型三
个数
重心偏移量
图1
20
0.558854
图2
6
0.441950
图3
24
0.431873
(2)数据的一致化与无量纲化处理
12
在上表中的评价指标
(摆放个数)属于“极大型指标(总是期望指标的取值越大越好)”,
(重心偏移量)属于“极小型指标(总是期望指标的取值越小越好)”,故首先应通过转化使评价指标类型一致化。
经过考虑,我们此次采用倒数法将极小型化为极大型,即将重心偏移量指标的数据改为其倒数用于计算,得到的数据即为稳定性指标。
倒数法:
。
在上表中的评价指标
(摆放个数)、
(稳定性)之间,存在着各自不同的单位和数量级,使得这些指标之间存在着不可公度性,这就为综合评价带来了困难。
在数学上,我们常常采用数据的无量纲化处理来使指标数据标准化,常用方法有:
标准差方法、极值差方法、功效系数法。
通过比较,此次我们采用标准差方法进行无量纲化处理。
其中
。
显然指标
的均值和均方差分别为0和1,即
是无量纲的指标,称之为
的标准观测值。
第一题的数据处理见表3;第二题的数据处理见表4。
表3
问题一
个数
稳定性
图1
0.134030115
-1.0962202
图2
-1.47433127
0.68481106
图3
0.670150577
1.00708880
表4
问题三
个数
稳定性
图1
0.670150577
-1.65235688
图2
-1.20627103
0.413142149
图3
1.206271039
0.643535103
(3)权重系数的讨论
权重系数
是指一个整体被分解成若干因素(指标)时,用来表示每个因素在整体中所占大小的数字,简称为权重。
指标的权重反映了该指标在整体中的相对重要程度;同时,也是评价主体对该指标价值认识程度的反应,即重要的指标,权重大些;反之,则小些。
常见的权重系数确定方法有:
层次分析法(AHP)、达尔菲法(Delphi)、主成分分析法、熵值法和均方差法等。
这些方法求解较繁琐且计算量大,在本题中不太符合。
由于矩形箱的摆放在实际过程中可能受矩形箱的质量、箱内货物类型等问题影响从而导致权重系数的选择不一致。
因此,我们暂且用
作为指标
(摆放个数)的权重系数,用
作为指标
(稳定性)的权重系数。
本次我们将分三种方案讨论不同权重系数下出现的结果:
方案一:
要求着重考虑矩形箱的个数,以个数多为主要目标,则确定权重系数为
。
方案二:
要求同时考虑矩形箱的个数和稳定性,则确定权重系数为
。
方案三:
要求着重考虑矩形箱的稳定性大小,以稳定性好为主要目标,则确定权重系数为
。
(4)加权综合指数计算
根据公式,我们就可以计算指定摆放方式的加权综合指数:
式,
表示摆放指标的权重,
表示摆放指标无量纲化后的数值。
最终各摆放方式的加权综合指数计算结果,见表5。
表5
权重
图1
图2
图3
问题一
-0.11201995
-1.042502803
0.737538222
问题三
0.20564908
-0.882388402
1.093723852
问题一
-0.48109506
-0.394760101
0.838619690
问题三
-0.49110315
-0.396564445
0.924903071
问题一
-0.85017016
0.252982600
0.939701157
问题三
-1.18785539
0.089259511
0.756082290
由表分析可知:
(1)在方案一(权重
)的情况下,型号1、2、3的矩形箱问题三中摆放方式均优于问题一,可说明在着重考虑装箱个数的前提下,问题三的摆放方式均优于问题一。
(2)在方案二(权重
)的情况下,型号1、2、3的矩形箱在问题一中摆放方式均优于问题三,可说明在同时考虑装箱个数及稳定性的前提下,问题一的摆放方式均优于问题三。
(3)在方案三(权重
)的情况下,型号1、2、3的矩形箱在问题一中摆放方式均优于问题三,可说明在着重考虑装箱稳定性的前提下,问题一的摆放方式均优于问题三。
(4)综上所述,在不同权重的综合指数计算中,问题一与问题三的摆放方式各有优劣性。
在实际情况中,若追求个数较多,则更适合选择问题三的摆放方式;若追求稳定性较好,则更适合选择问题一的摆放方式。
六、模型的检验
对于模型一:
设底盘的总面积为S,小矩形的长宽分别为a、b,N为底盘面积利用率最大时小矩形的个数。
由N=[S/(ab)]得出:
N1=16N2=5N3=20,由模型一得:
sum1=16sum2=4sum3=20,由模型一得出的结果面积利用率很高,结果合理。
在理想情况下,第二种型号的箱子可放入5个,但根据实际情况,箱子形状固定,无法分割,故只能放入4个。
因此我们得出的结果是全局最优解。
对于模型二:
因为条件允许箱子在正方形底板的上方,左边,右边部分超出底板(下方紧靠叉车壁,不能超出),只要重心不超出底板,就不至于掉落出叉车底板。
故我们假设另外三边各向外扩充长边的一半,对新构造的矩形底板做出如下检验:
N1=23N2=9N3=29,由模型而得:
sum1=23sum2=8sum3=28。
根据实际情况,箱子形状固定,无法分割,而且实际情况下并不是所有箱子摆出去了长边的一半,因此我们得出的是较优解。
七、模型的评价
1.模型的优点:
对于问题一和问题二使用的优化模型,有以下优点:
(1)该方法计算简便,可操作性强,便于推广使用。
(2)该模型得出的可行解经检验为全局最优解。
对于问题三使用的线性加权综合法,有以下优点:
(1)各评价指标间作用得到线性补偿,保证综合评价指标的公平性;
(2)不同的权重系数的对评价结果的影响明显,即权重较大指标值对综合指标作用较大;
2.模型的缺点:
对于问题一和问题二使用的优化模型,有以下缺点:
(1)程序中若出现多个可行解,结果只能提供一种答案。
(2)模型所得结果是基于理想化的,与实际可能不符。
对于问题三使用的线性加权综合法,有以下缺点:
(3)选取的评价指标较少,可能导致结果考虑不够全面。
八、参考文献
[1]陈靖兵、黄文奇,求解矩形packing问题的贪心算法,计算机工程,33(4):
160-162,2007。
[2]隋树林、邵巍、高自友,同一尺寸货物三维装箱问题的一种启发式算法,信息与控制,34(3):
490-494,2005。
[3张伯贤,港口叉式装卸车,武汉:
武汉河运学校,1979。
[4]叶宗裕,关于多指标综合评价中指标正向化和无量纲化方法的选择,百家争鸣,24-25,2003。
[5]刘自远刘成福,综合评价中指标权重系数确定方法探讨,研究与方法,44-48,2006。
九、附录
附录一:
LINGO程序
min=1.1-a*n1-b*n2;
1.1-a*n1-b*n2>=0;
@gin(n1);@gin(n2);
data:
a=?
;b=?
;
enddata
附录二:
MATLAB程序
task1.m
a=input('箱子长度a=');
b=input('箱子宽度b=');
l=input('底板边长l=');
i=1;
[f(i),m(i),n(i)]=msy(a,b,l);
c=min(a*m(i),b*n(i));
while(l-2*c)>=a
i=i+1;
[f(i),m(i),n(i)]=msy(a,b,l-2*c);
c=c+min(a*m(i),b*n(i));
end
m,n
sum=4*sum(m.*n)
Msy.m
function[fmax,x1,x2]=msy(a,b,l)
m1=fix(l/a);n1=fix(l/b);fmax=0;
fori=0:
m1
forj=0:
n1
f=a*i+b*j;
iff>fmax&&f<=l
fmax=f;
x1=i;
x2=j;
end
end
end
附录三:
LINGO程序
data:
a=?
;b=?
;l=?
;
enddata
max=m*c+n*d;
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 箱子 摆放 问题 数学 建模