全等三角形总复习知识点+基础应用+能力提高上课讲义.docx
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全等三角形总复习知识点+基础应用+能力提高上课讲义
全等三角形
知识点梳理
(一)、基本概念
1、“全等”的理解全等的图形必须满足:
(1)形状相同的图形;
(2)大小相等的图形;即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质
(1)全等三角形对应边相等;
(2)全等三角形对应角相等;
(3)全等三角形的对应边上的高、中线对应相等。
(4)全等三角形对应角的角平分线相等;
(5)全等三角形的周长和面积相等;
3、全等三角形的判定方法
(1)三边对应相等的两个三角形全等。
(SSS)
(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(ASA)
(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
(AAS)
(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(SAS)
(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(HL)
4、角平分线的性质及判定
性质:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定:
到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
(二)灵活运用定理
1、判定两个三角形全等的定理中,必须具备三个条件,且至少要有一组边对应相等,因此在寻找全等的条件时,总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素,如公共角、公共边、对顶角等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
(AAS)
(1)已知条件中有两角对应相等,可找:
①夹边相等(ASA②任一组等角的对边相等
(2)已知条件中有两边对应相等,可找:
①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)
①任一组角相等(AAS或ASA)②夹等角的另一组边
找夹角的另一边SAS找夹边的另一角ASA找边的对角AAS
找任一对边AAS
注意:
判定两个三角形全等必须具备的三个条件中“边”是不可缺少的,边边角(SSA)和角角角(AAA)
不能作为判定两个三角形全等的方法。
证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤:
1.确定已知条件(包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、
等所隐含的边角关系);
2.回顾三角形判定公理,搞清还需要什么;
3.正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题)。
常见考法:
(1)利用全等三角形的性质:
①证明线段(或角)相等;②证明两条线段的和差等于另一条线段;
③证明面积相等;
(2)利用判定公理来证明两个三角形全等;
(3)题目开放性问题,补全条件,使两个三角形全等。
老师误区提醒:
(1)忽略题目中的隐含条件;
(2)不能正确使用判定公理。
全等三角形常见题型分类练习
全等三角形性质的应用
类型一.全等三角形的基本性质应用
1.下列命题正确的是()
A.全等三角形是指形状相同的两个三角形
B.全等三角形是指面积相同的两个三角形
C.两个周长相等的三角形是全等三角形
D.全等三角形的对应边相等、对应角相等
2.如图1,△ABD^ACDB且ABCD是对应边;下面四个结论中不正确的是:
()
A.AABD和ACDB的面积相等B.AABD和ACDB的周长相等
C./A+ZABD=/C+ZCBDD.AD//BC,且AD=BC
6.已知△ABC^AEFG有ZB=70°,
ZE=60°,则ZC=()
A.60°B
.70°
C.50°
D.
65°
7.(2009清远)如图,若
△ABCA1B1C1,且A
110°B
40°,则C
A.ZACB
B.ZBAF
C.ZF
D.ZCAF
&△ABC中,ZA:
ZB:
ZC=4:
3:
2,且厶ABC^ADEF则ZE=
置,使得点CA、Bi在同一条直线上,那么旋转角最小等于()
A.560B.68
C.124
D.180
第12题
10.—个三角形的三边为2、5、x,另一个三角形的三边为y、2、6,若这两个三角形全等,则x+y=
11.已知△AB7ADEF^DEF的周长为32cm,DE=9cm,EF=12cm则AB,B,A
12.如图,在正方形网格上有一个△ABC⑴在网格中作一个与它全等的三角形;⑵如每一个小正方形的
边长为1,则△ABC的面积是.
全等三角形的证明
【基础应用】
2.
如图,在△ABC与△DEF中,已有条件AB=DE还需添加两个条件才能使△ABC^^DEF,不能添加的一组条件是()
3.(2009广西)如图,在等腰梯形ABCDKAB=DCACBD交于点O,则图中全等三角形共有()
第1、2题第3题
4.如图:
AB=DCBE=CFAF=DE求证:
△ABE^ADCF。
5.如图:
AB=ACMELAB,MF丄AC,垂足分别为E、F,ME=MF求证:
MB=MC
6.
如图,/1=/2,/ABC玄DCB求证:
AB=DC
7.已知BE=ED/仁/2,求证:
△ABE^ACDE
8.如图;AB=ACBF=CF求证:
/B=/G
9.如图:
在厶ABC中,AD丄BC于D,AD=BDCD=DEE是AD上一点,连结BE并延长交AC于点F。
求证:
(1)BE=AC
(2)BF丄AG
【能力提高】
类型一、平行线性质的应用
1.女口图:
AC//EF,AC=EFAE=BD求证:
△ABC^AEDF。
2.如图(8)A、BCD四点在同一直线上,AC=DBBE/CF,AE/DF。
求证:
△ABE^ADCF。
3.(2009武汉)如图,已知点E、C在线段BF上,BE=CFAB//DE,/ACB=/F.求证:
△ABC也厶DEF.
4.如图,AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=O求证DC//AB.
5.
如图,点B,E,C,F在一条直线上,FB=CE,AB//ED,AC//FD.求证AB=DE,AC=DF.
6.(2009黄石)如图,C、F在BE上,/A=ZD,AC//DF,BF=EC求证:
AB=DE
A
B
7.如图(16)AD//BCAD=BCAE=CF求证:
(1)DE=DF
(2)AB//CB
C
F
E
A
)
B
8cm
D
9cm
AAS
B
不能确定
C
A
C
B
C
B
)
4
B
5
C
B.2
3
D
4
A
D
P
A
O
F
A.5cm
B.3cm
PALOAPB丄OB垂足分别为A
F列结论中不一定成立的是
6.如图,在^ABC中,/C=90°
D.SSS
A.SAS
A.PA=PB
A.1
A.10cm
论:
①AD=BF②CF=CD③AC+CD=AB④BE=CF⑤BF=2BE
2•尺规作图作/
若AC=10cm,贝UBD+DE=(
其中正确结论的个数是()
AOB的平分线方法:
以为O圆心
如图,OP平分/AOB
PO平分/APBC.OA=OB
D
第3题
AC=BCAD是/BAC的平分线,DEIAB于E
D.AB垂直平分OP
如图,在△ABC中,AC=BC/ACB=90.AD平分/BAC
任意长为半径画弧交OAOB于CD,再分别以点C、D
类型三、角平分线性质应用
BELAD交AC的延长线于F,E为垂足.则结
P,作射线OP由作法得AOCPODP的根据是()
1.如图,△ABC中,/C=90
ASAC
C.6cm
EB
第1题
1CD长为半径画弧,两弧交于点
2
2cmD
(图16)B
第2题
3.如图,/C=90°,AD平分/BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm则点D到AB的距离为()
AC=BC,AD平分/BAC交BC于D,DELAB于E,且AB=5c口则厶DEB的周长为
10.如图,△ABC中,AD是ZCAB勺平分线,且AB=AGCD求证:
ZC=2/B
7.如图,在△ABC中,AD为/BAO的平分线,DEIAB于E,DF1AC于F。
求证:
DE=DF.
8.如图,0M平分/POQMALORMBLOQAB为垂足,AB交0M于点N.
求证:
/OABZOBA
9.已知:
AC平分/BADCELAB,/B+ZD=180°,求证:
AE=AD+BE
2.如图,在厶ABC中,AD为BC边上的中线,若AB=5,AC=3贝UAD的取值范围是
类型五、添加辅助线
(一)连接四边形的对角线
1.如图,AB//CD,AD//BC,求证:
AB=CD
(二)作垂线,利用角平分线的知识
3.
如图,ABC中,AB=2ACAD平分/BAQ且AD=BD求证:
CDLAC
(三)“截长补短”构造全等三角形
C
2.如图在△ABC中,AB>AC,/1=/2,
P为AD上任意一点,求证
;AB—AOPB-PC
1.如图,AD//BQAE,BE分别平分/DAB,/CBACD过点E,求证;AB=AD+BC
BE、CDBC的数
3.已知△ABC中,/A=60°,BDCE分别平分/ABC和/ACBBDCE交于点0,试判断
量关系,并加以证明.
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