简单随机抽样.docx
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简单随机抽样
简单随机抽样
【要点梳理】
要点一:
简单随机抽样和分层抽样
★简单随机抽样:
为了获取能够客观反映问题的结果,通常按照总体中每个个体都有相同的被抽取机会的原则抽取样本.
★分层抽样:
当总体由有明显差异的几部分组成时,要将总体各组成部分按某一主要标准分成几类,然后再在各类中随机抽取样本.
要点诠释:
(1)将相似的个体归为一类,即一层.
(2)分层要求每层的各个个体互不交叉.
(3)分层抽样需在各层内采用随机抽样,每层样本的数量与该层的总数量的比等于这层个体数量与总体数量的比.
要点二:
样本的选取
★在选取样本时,必须做到两点:
一是样本必须客观,不偏向总体中的某些个体,每个个体都有相同的机会被抽取.二是要有合适的样本容量,容量太少,样本就不能很好地反映总体;容量太大,会造成人力、时间的浪费.
【例1】下列抽样方法是简单随机抽样的是( )
A.从50个零件中一次性抽取5个做质量检验
B.从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验
C.从实数集中逐个抽取10个正整数分析奇偶性
D.运动员从8个跑道中随机抽取一个跑道
【变式】从某厂生产的800辆轿车中随机抽取80辆测试某测性能,请合理选择抽样方法进行抽样,并写出抽样过程.
【例2】某校有高一学生400人,高二学生300人,高三学生250人,现在按年级抽样,从所有学生中抽取一个容量为190人的样本.每个年级分别应抽取多少人?
要点三:
用样本估计总体
★用样本估计总体就是用样本的某种数据特征去估计总体的相应特征.在随机抽样时,样本容量越大,样本对总体的代表性也就越大.
【例1】质检部门为了检测某品牌电器的质量,从同一批次共10000件产品中随机抽取100件进行检测,检测出次品5件,由此估计这一批次产品中的次品件数是( )
A.5B.100C.500D.10000
【变式】生物学家要估计某一森林中野兔的数量,先捉了30只野兔,作上标记后放回森林.一个月后又捕捉了100只野兔,发现带有标记的野兔只有6只.根据上面的信息,估计这片森林中野兔有_______只.
【变式】某地区为估计该地区黄羊的只数,先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志,然后放回,待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后,第二次捕捉40只黄羊,发现其中两只有标志.从而估计该地区有黄羊( )
A.200只B.400只C.800只D.1000只
【变式】为了鼓励学生课外阅读,学校公布了“阅读奖励”方案,并设置了“赞成、反对、无所谓”三种意见.现从学校所有2400名学生中随机征求了100名学生的意见,其中持“反对”和“无所谓”意见的共有30名学生,估计全校持“赞成”意见的学生人数约为( )
A.70B.720C.1680D.2370
典型例题
题型一:
用样本估计总体
【练习】下列抽样统计的结果能合理地估计总体情况的是( )
A.对某校一个班的学生的视力进行检测,估算全校学生近视率
B.对某商场10月份的销售情况进行统计,估计全年的销售额
C.从一批灯泡中随机抽取50个进行试验,估算这批灯泡的使用寿命
D.从100名学生中随机抽取2名学生测得他们的身高,估算这100名学生的身高
【练习】在“5•31世界无烟日”这天,小明和他的同学为了解某街道大约有多少成年人吸烟,于是随机调查了该街道1000个成年人,结果有100个成年人吸烟.对于这个数据的收集与处理过程,下列说法正确的是( )
A.调查的方式是普查
B.样本是100个吸烟的成年人
C.该街道只有900个成年人不吸烟
D.该街道约有10%的成年人吸烟
【练习】为了了解某地区6000名学生参加初中学业水平考试数学成绩情况,从中随机抽取了200名考生的数学成绩进行统计分析.在这个问题中,下列说法:
①这6000名学生考试的数学成绩的全体是总体;②每个考生是个体;③所抽取的200名考生是总体的一个样本;④样本容量是200,其中正确说法的个数是( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
【练习】鱼塘中同时放养了300尾草鱼,从中捕获了10尾,称得每尾的质量分别为1.5,1.6,1.4,1.3,1.6,1.5,1.4,1.2,1.7,1.8(单位:
千克),则可以估计这300尾草鱼的总质量约为( )
A.390千克B.420千克C.450千克D.480千克
【练习】袋子中有42个除颜色外完全相同的小球,在看不到球的条件下,随机地从袋子中摸出一个球,记录颜色后放回,将球摇匀.重复上述过程180次后,共摸到红球30次,由此可以估计口袋中的红球个数是( )
A.6B.7C.8D.9
【练习】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:
粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )
A.134石B.169石C.338石D.1365石
【练习】质检部门为检测某品牌电视机的质量,从同一批次共2000件品中随机抽取100件进行检测,检测出次品3件,由此估计这一批次产品中次品件数是( )
A.30B.60C.300
【练习】黑色不透明口袋里装有红色、白色球共10个,它们除颜色外都相同.从口袋中随机摸出一个球,记下颜色后放回,并摇匀,不断重复上述实验1000次,其中200次摸到红球,则可估计口袋中红色球的个数是( )
A.2B.4C.6D.8
【练习】随机抽查某商场四月份5天的营业额分别如下(单位:
万元)3.4,2.9,3.0,3.1,2.6,试估计这个商场四月份的营业额约是( )
A.3万元B.15万元C.90万元D.450万元
【练习】某商店进行“迎五一,大促销”摸奖活动,凡是有购物小票的顾客均可摸球一次,摸到的是白球即可获奖.规则如下:
一个不透明的袋子中装有10个黑球和若干白球,它们除颜色不同外,其余均相同,从袋子中随机摸出一个球,记下颜色,再把它放回袋子中摇匀,重复此过程.共有300人摸球,其中获奖的共有180人,由此估计袋子中白球个数大约为( )
A.10B.12C.15D.16
【练习】某养鸭场有若干只鸭,某天捉到30只全部做上标记,又过了一段时间,捉到50只,其中有2只有标记,那么估计该养鸭场有鸭子( )
A.500只B.650只C.750只D.900只
【练习】某校在开展“节约每一滴水”的活动中,从八年级的100名同学中任选20名同学汇总了各自家庭一个月的节水情况,将有关数据(每人上报节水量都是整数)整理如表:
节水量x/t
0.5~x~1.5
1.5~x~2.5
2.5~x~3.5
3.5~x~4.5
人数
6
4
8
2
请你估计这100名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是( )
A.180tB.230tC.250tD.300t
【练习】某射击运动员在同一条件下的射击成绩如下表,则下列说法中正确的是( )
射击次数
20
40
100
200
400
1000
射中九环以上次数
15
33
78
158
321
801
A.该运动员射击50次,至少有40次射中以上
B.该运动员射击50次,最多有40次射中以上
C.该运动员射击50次,都没有命中靶心
D.估计该运动员“射中9环以上”的次数为400次时,他的射击次数为500次
【练习】随机抽取某城市30天的空气质量状况统计如下
污染指数(w)
40
70
90
110
120
140
天数(t)
3
5
10
7
4
1
其中,w≤50时,空气质量最优;50<w≤100时,空气质量为良;100<w≤150时,空气质量为轻微污染,估计该城市一年(以365天计)中空气质量达到良好以上的天数为( )
A.
B.
C.18×12D.
【练习】为调查某校1500名学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况,随机抽取部分学生进行调查,并结合调查数据作出如图所示的扇形统计图.根据统计图提供的信息,可估算出该校喜爱体育节目的学生共有( )
A.1200名B.450名C.400名D.300名
【练习】为节约用电,某市根据每户居民每月用电量分为三档收费.
第一档电价:
每月用电量低于240度,每度0.4883元;
第二档电价:
每月用电量为240~400度,每度0.5383元;
第三档电价:
每月用电量高于400度,每度0.7883元.
小灿同学对该市有1000户居民的某小区居民月用电量(单位:
度)进行了抽样调查,绘制了如图所示的统计图.下列说法不合理的是( )
A.本次抽样调查的样本容量为50
B.该小区按第二档电价交费的居民有17户
C.估计该小区按第一档电价交费的居民户数最多
D.该小区按第三档电价交费的居民比例约为6%
【练习】为了估算湖里有多少条鱼,从湖里捕上100条做上标记,然后放回湖里,经过一段时间待标记的鱼全混合于鱼群中后,第二次捕得200条,发现其中带标记的鱼25条,我们可以估算湖里有鱼 条.
【练习】一个不透明的口袋中有红球和黑球共25个,这些球除颜色外都相同.进行大量的摸球试验(每次摸出1个球)后,发现摸到黑球的频率在0.6附近摆动,据此可以估计黑球为 个.
【练习】从一个不透明的口袋中随机摸出一球,再放回袋中,不断重复上述过程,一共摸了150次,其中有50次摸到黑球,已知囗袋中仅有黑球10个和白球若干个,这些球除颜色外,其他都一样,由此估计口袋中有 个白球.
【练习】在一个不透明的布袋中,红色、黑色的玻璃球共有20个,这些球除颜色外其它完全相同.将袋中的球搅匀,从中随机摸出一个球,记下颜色后再放回袋中,不断地重复这个过程,摸了200次后,发现有60次摸到黑球,请你估计这个袋中红球约有 个.
【练习】为了估计一个鱼塘里鱼的数量,第一次打捞上来20条,做上记号放入水中,第二次打捞上来25条,其中4条有记号,鱼塘大约有鱼 条.
【练习】为了估计水塘中的鱼数,老张从鱼塘中捕获200条鱼,在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘.过一段时间,他再从鱼塘中随机打捞200条鱼,发现其中25条鱼有记号.则鱼塘中总鱼数大约为 条.
【练习】某人把50粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀,接着抓出100粒黄豆,数出其中有10粒黄豆被染色,则这袋黄豆原来约有 粒.
【练习】在一个不透明的箱子里有黄色、白色的小球共10个,在不允许将球倒出来的情况下,为估计其中白球的个数,小刚摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回箱子中,不断重复上述摸球过程,共摸球400次,其中80次摸到白球,可估计箱子中大约白球的个数有 个
【练习】为了估计虾塘里海虾的数目,第一次捕捞了500只虾,将这些虾一一做上标记后放回虾塘.几天后,第二次捕捞了2000只虾,发现其中有20只虾身上有标记,则可估计该虾塘里约有 只虾.
【练习】某校征集校运会会徽,遴选出甲、乙、丙三种图案.为了解何种图案更受欢迎,随机调查了该校100名学生,其中60名同学喜欢甲图案,若该校共有2000人,根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有 人.
【练习】某自然保护区的工作人员,欲估算该自然保护区栖息的某种鸟类的数量.他们首先随机捕捉了500只这种鸟,做了标记之后将其放回,经过一段时间之后,他们又从该保护区随机捕捉该种鸟300只,发现其中20只有之前做的标记,则该保护区有这种鸟类大约 只.
【练习】某校征集校运会会徽,遴选出甲、乙、丙三种图案.为了解何种图案更受欢迎,随机调查了该校100名学生,其中68名同学喜欢甲图案,若该校共有2000人,根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有 人.
【练习】学校为了考察我校八年级同学的视力情况,从八年级的14个班共740名学生中,每班抽取了5名进行分析,在这个问题中,样本的容量是 .
【练习】一个口袋中装有6个红球和若干白球,小球除颜色外其他都相同,从口袋中随机摸出一球,记下颜色再把它放回袋中,不断重复上述实验210次,其中红球出现了70次,请问口袋中大约有 个白球.
【练习】为了了解某区初中学生的视力情况,随机抽取了该区500名初中学生进行调查.整理样本数据,得到下表:
视力
4.7以下
4.7
4.8
4.9
4.9以上
人数
102
98
80
93
127
根据抽样调查结果,估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是 .
【练习】下图是根据今年某校九年级学生体育考试跳绳的成绩绘制成的统计图.如果该校九年级共有200名学生参加了这项跳绳考试,根据该统计图给出的信息可得这些同学跳绳考试的平均成绩为 .
【练习】某电动汽车“行车数据”的两次记录如表:
记录时间
累计里程
(单位:
公里)
平均耗电量
(单位:
度/公里)
剩余续航里程
(单位:
公里)
2019年10月5日
4000
0.125
280
2019年10月6日
4100
0.126
146
(注:
累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程,累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量,平均耗电量
,剩余续航里程
由表中数据可得,该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量约为 度(结果精确到个位).
【练习】小明同学在相同的条件下做了某种作物种子发芽的实验,结果如下表所示
种子数(个)
100
200
300
400
500
发芽种子数(个)
94
187
282
377
470
由此估计这种作物种子发芽率约为 .(精确到0.01)
【练习】某市移动公司为了调查手机发送短信息的情况,在本区域的120位用户中抽取了10位用户来统计他们某周发信息的条数,结果如下表:
手机用户序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
发送短信息条数
20
19
20
20
21
17
15
23
20
25
本次调查中这120位用户大约每周一共发送 条短信息.
【练习】初三年级教师对试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价调查,其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项.评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况,绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图(均不完整),请根据图中所给信息解答下列问题:
(1)在这次评价中,一共抽查了 名学生;
(2)在扇形统计图中,项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为 度;
(3)请将条形统计图补充完整;
(4)如果全市有6000名初三学生,那么在试卷评讲课中,“独立思考”的初三学生约有多少人?
【练习】某学校抽查了某班级某月5天的用电量,数据如下表(单位:
度):
度数
9
10
11
天数
3
1
1
(1)求这5天的用电量的平均数;
(2)求这5天用电量的众数、中位数;
(3)学校共有36个班级,若该月按22天计,试估计该校该月的总用电量.
【练习】在我市开展的“好书伴我成长”读书活动中,某中学为了解八年级300名学生读书情况,随机调查了八年级50名学生读书的册数,统计数据如下表所示:
册数
0
1
2
3
4
人数
3
13
16
17
1
(1)求这50个样本数据的平均数、众数和中位数:
(2)根据样本数据,估计该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的人数.
【练习】2020年注定是不平凡的一年,新年伊始,一场突如其来的疫情席卷全国,全国人民万众一心,抗战疫情.为了早日取得抗疫的胜利,各级政府、各大新闻媒体都加大了对防疫知识的宣传.某校为了了解初一年级共480名同学对防疫知识的掌握情况,对他们进行了防疫知识测试.现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩(满分100分)进行整理分析,过程如下:
【收集数据】
甲班15名学生测试成绩分别为:
78,83,89,97,98,85,100,94,87,90,93,92,99,95;100.
乙班15名学生测试成绩中90≤x<95的成绩如下:
91,92,94,90,93
【整理数据】:
班级
75≤x<80
80≤x<85
85≤x<90
90≤x<95
95≤x≤100
甲
1
1
3
4
6
乙
1
2
3
5
4
【分析数据】:
班级
平均数
众数
中位数
方差
甲
92
a
93
41.1
乙
90
87
b
50.2
【应用数据】:
(1)根据以上信息,可以求出:
a= 分,b= 分;
(2)若规定测试成绩92分及其以上为优秀,请估计参加防疫知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有多少人;
(3)根据以上数据,你认为哪个班的学生防疫测试的整体成绩较好?
请说明理由(一条理由即可).
【练习】某学校八、九两个年级各有学生180人,为了解这两个年级学生的体质健康情况,进行了抽样调查,具体过程如下:
收集数据
从八、九两个年级各随机抽取20名学生进行体质健康测试,测试成绩(百分制)如下:
八年级
78
86
74
81
75
76
87
70
75
90
75
79
81
70
74
80
86
69
83
77
九年级
93
73
88
81
72
81
94
83
77
83
80
81
70
81
73
78
82
80
70
40
整理、描述数据
将成绩按如下分段整理、描述这两组样本数据:
成绩(x)
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
八年级人数
0
0
1
11
7
1
九年级人数
1
0
0
7
10
2
(说明:
成绩80分及以上为体质健康优秀,70~79分为体质健康良好,60~69分为体质健康合格,60分以下为体质健康不合格)
分析数据
两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示:
年级
平均数
中位数
众数
方差
八年级
78.3
77.5
75
33.6
九年级
78
80.5
a
52.1
(1)表格中a的值为 ;
(2)请你估计该校九年级体质健康优秀的学生人数为多少?
(3)根据以上信息,你认为哪个年级学生的体质健康情况更好一些?
请说明理由.(请从两个不同的角度说明推断的合理性)
【练习】为了解某市快递员的收入情况,现随机抽取了甲、乙两家快递公司50天的送货单,对两个公司的快递员人均每天的送货单数进行统计,数据如下:
每位快递员平均每天送货单数
30
40
50
60
天数
甲
10
10
20
10
乙
5
15
25
5
已知这两家快递公司的快递员的日工资方案分别为:
甲公司规定底薪60元,每单抽成1元;乙公司规定底薪80元,每日前40单无抽成,超过40单的部分每单抽成3元.
(1)现从这50天中随机抽取1天,求这一天乙公司快递员人均送货单数超过40(不含40)单的概率;
(2)根据以上统计数据,若将各公司快递员的人均送货单数视为该公司各快递员的送货单数,回答下列问题:
①估计甲快递公司各快递员的日均送货单数;
②小赵拟到甲、乙两家快递公司中的一家应聘快递员的工作,如果仅从工资收入的角度考虑,请你利用所学的统计学知识为他作出选择,并说明理由.
【练习】甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位:
t/hm2)如表,试根据这组数据估计哪一种水稻品种好.
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
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