沪教版五四制九年级数学上册 第三讲 相似三角形的性质讲义无答案.docx
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沪教版五四制九年级数学上册第三讲相似三角形的性质讲义无答案
第三讲相似三角形的性质
相似三角形的性质
相似三角形性质1相似三角形的对应角相等,对应边成比例
相似三角形性质2
相似三角形对应边上的高、对应边上的中线及对应角的平分线的比都等于相似比
相似三角形性质3相似三角形的周长比等于相似比
相似三角形性质4相似三角形的面积比等于相似比的平方
【例题1】【基础、提高】下列正确的命题是()
(A)相似三角形高的比等于相似比
(B)已知△ABC相似于△DEF,相似比是k,AG、DH分别平分∠A和∠D,则
(C)已知△ABC∽△A1B1C1,AD、A1D1分别是对应边BC和B1C1上的中线,则
(D)相似三角形对应角的平分线之比不一定等于对应边上的高之比.
【尖子】已知△ABC和△A1B1C1,CH、C1H1分别是AB和A1B1上的高,且AB=8,
A1B1=5,C1H1=8,则CH=.
【例题2】【基础、提高】△ABC∽△A‘B’C‘中,已知AB=3,BC=4,
,
,
,点C到AB的距离为
,求
到
的距离.
【尖子】已知△ABC和△DEF,AB=2,BC=3,AC=4,DE=6,EF=9,DF=12,M、N分别
是AB、DE边上的中点,求CM:
FN的值.
【例题3】【基础、提高】如图,CD是△ABC的角平分线,E是AC上的一点,且CD2=BC·CE,AD=6,
AE=4,求CE的长.
【尖子】阅读材料:
如图①,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,由于∠1和∠A
同是∠B的余角,显然有Rt△BCD和Rt△BAC相似,可得
;同理也有Rt△CAD和Rt△BAC相似,或者Rt△BCD和Rt△CAD相似,同样可得到有关线段的比例式或乘积式.
题目:
如图②,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC边上的一个动点(不与A、C重合),于CF⊥BE于F.
(1)BC2=·=·(填有关线段乘积)
(2)求证:
BF·AE=FD·BA
(3)若BC=3,BD=1.8,CE=x,FD=y,写出y关于x的函数关系式,并指出定义域.
【例题4】【基础、提高】如图,在△ABC中,DE//BC.
(1)若D是AB的中点,求△DEA与的△ABC周长比;
(2)若DE把三角形面积平分,求AD:
DB.
【尖子】如图,在△ABC中,DE//BC,EF//AB,已知△ADE与△EFC的面积分别为4cm2、
9cm2,求S△ABC.
【例题5】【基础、提高】如图,在△ABC中,D、E是AB的两上点,DG//EF//BC,交AC于G、F
点,AD:
DE:
EB=1:
2:
3
(1)求C△ADG:
C△AEF:
C△ABC
(2)求S△ADG:
S四边形DGFE:
S四边形EFCB
(3)若S△ABC=72cm2,求S四边形DGFE.
【尖子】如图①,已知点D在△ABC的边BC上,且与点B、C不重合,过点D作AC的
平行线DE交AB于E,作AB的平行线DF交AC于F,又已知BC=5.
(1)求证:
△BDE∽△DCF
(2)设△ABC的面积为S,如果四边形AEDF的面积等于
,求BD的长;
(3)如果
,且DF经过△ABC的重心G,如果②所示,求EF两点间的距离.
【例题6】【基础、提高】如图,AB、CD相交于点O,若AC//BD,AC=2cm,BD=4cm,△AOC的
面积为2cm2,那么△BOD的面积为cm2.
【尖子】已知D、E分别在△ABC的边AB、AC上,DE//BC,BD=2AD,DE=3,那么BC=.
【例题7】【基础、提高】如图,已知O是△ABC内任意一点,
,
,
.
求:
△ACB和△DFE的面积之比.
【尖子】如图,已知梯形ABCD中,AB//DC,延长AD、BC交于E,梯形ABCD与△EDG
的面积之积差为70cm2,DC=6cm,AB=10cm,求:
(1)梯形ABCD的面积;
(2)点E分别到两底DC、AB的距离.
【例题8】一天早上,小张正向着教学楼AB走去,他发现教学楼后面有一水塔DC,可
过了一会抬头一看:
“怎么看不到水塔了”心里很是纳闷.经过了解,教学楼、水塔的高分别为20m和30m,它们之间的距离为30m,小张身高为1.6m(眼睛到头顶的距离忽略不计).小张要想看到水塔,他与教学楼的距离至少应有多少米?
【例题9】【基础、提高】在△ABC中,,∠B=25°,AD是BC边上的高,并且AD2=BD·DC,
则∠BCA的度数为.
【尖子】如图,在△ABC中,,∠C=90°,AC=3,D为BC上一点,过点D作DE⊥BC
交AB于E,若ED=1,BD=2,则DC的长为.
【例题10】【基础、提高】如图,在△ABC中,∠A=∠EDB,S△ABC:
S△DBE=5:
3,求:
点C到AB
的距离与点E到BC的距离之比.
【尖子】如图,在△ABC中,DE//BC,BE与CD相交于点P,且S△DBP=2S△DPE,
求S△ADE:
S△ABC.
【例题11】【基础、提高】如图,矩形DEFG内接于锐角
,AH是BC边上的高,AH=6,BC=12,
(1)若GF=2EF,求矩形DEFG的面积
(2)若GF=x,S矩形=y,求y与x的函数关系式.
【尖子】如图,△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,点D是AB上的一个动点,
∠B=∠EDC,
,DE交AC于点F.
(1)设CD=x,△EDC的周长为y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)点D在运动过程中,是否存在△DFC∽△CFE?
若存在,请求出点D在AB上的位置;若不存在,请说明理由.
【练习1】已知△ABC相似于△DEF,A的对应点为D,B的对应点为E,C的对应点为F,AC=3,DF=6,DE边上中线为9,则AB边上的中线为.
【练习2】下列语句中,不正确的是()
(A)两个三角形相似,且有一条边相等,则两个三角形全等
(B)两个三角形相似,且周长相等,则两个三个形全等
(C)两个三角形相似,且面积相等,则两个三角形全等
(D)两个三角形相似,且相似比为1,则两个三角形全等
【练习3】已知:
G为△ABC的重心,过G作EF//BC交边AB、AC于E、F,分别作∠ABC和
∠AEF角平分线BP、EQ,求:
的值.
【练习4】如图,D为△ABC的边AC上的一点,∠DBC=∠A,已知
,△BCD与△ABC的面积的比是2:
3,求CD的长.
【练习5】已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=2BC,求
的值.
【练习6】如图,AD是Rt△ABC斜边上的高,DE⊥DF,且DE和DF分别交AB、AC于E、F,
求证
【练习7】已知:
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,E是AC上任一点,连接BE,过A作AF⊥BE于F.求证:
BD·BC=BF·BE
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