第5章振动和波动习题解答.docx
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第5章振动和波动习题解答
第5章振动和波动
5-1一个弹簧振子m=:
0.5kg,k=50N;'m,振幅A=0.04m,求
(1)振动的角频率、最大速度和最大加速度;
(2)振子对平衡位置的位移为x=0.02m时的瞬时速度、加速度和回复力;
(3)
以速度具有正的最大值的时刻为计时起点,写出振动方程。
v==0.2、.3==0.346(m/s)
2
a=-2(m/s)
F二ma=-1(N)
n
(3)作旋转矢量图,可知:
2
x=0.04cost(10)
2
频率、周期和初相。
A=0.04(m)二0.7(rad/s)二-0.3(rad)
⑷1
0.11(Hz)T8.98(s)
2n、
5-3证明:
如图所示的振动系统的振动频率为
1R+k2
式中k1,k2分别为两个弹簧的劲度系数,m为物体的质量
严U・」|
1岛
解:
以平衡位置为坐标原点,水平向右为x轴正方向。
设物体处在平衡位置时,弹簧1的
伸长量为Xg,弹簧2的伸长量为x20,则应有
_k]X]0■木2乂20=0
当物体运动到平衡位置的位移为X处时,弹簧1的伸长量就为x10X,弹簧2的伸长量就
为X20-X,所以物体所受的合外力为
F--ki(Xiox)k2(X20-x)--(匕k2)x
2
dx(kik2)
dt2m
上式表明此振动系统的振动为简谐振动,且振动的圆频率为
5-4如图所示,U形管直径为d,管内水银质量为m,密度为p现使水银面作无阻尼自由振动,求振动周期。
解:
以平衡时右液面位置为坐标原点,向上为x轴正方向,建立坐标系。
右液面偏离原点为
至x时,振动系统所受回复力为:
空2xTgx
42
振动角频率;叮
5-5如图所示,定滑轮半径为
R,转动惯量为J,轻弹簧劲度系数为k,物体质量为m,
现将物体从平衡位置拉下一微小距离后放手,不计一切摩擦和空气阻力。
试证明该系统作简
谐振动,并求其作微小振动的周期。
解:
弹簧、滑轮、物体和地球组成的系统不受外力作用,非保守内力作功之和为零,系统机
械能守恒,以物体的平衡位置为坐标原点向下为x轴正方向,建立坐标系。
设平衡时弹簧伸
121v
2k(x%)存h
对上式两边求导:
va
k(xl0)vJmva-mgv=0
RR
从上式消去V,且将
(1)式代入,得到
k2
axx
jm
R2
R2k
JmR2
说明系统作简谐振动。
振动周期为:
丁吞實2
5-6如图所示,轻弹簧的劲度系数为k,定滑轮的半径为R、转动惯量为J,物体质量
为m,将物体托起后突然放手,整个系统将进入振动状态,用能量法求其固有周期。
解:
设任意时刻t,物体m离平衡位置的位移为X,速率为V,则振动系统的总机械能
式中C为滑轮的重力势能,为一常量,上式两边对t求导得
va
kxvJmva=0
RR
k2
a=-xx
+m
R2
于是
R2k
JmR2
5-7如图所示,质量为10g的子弹,以%=1000m;s速度射入木块并嵌在木块中,使弹
簧压缩从而作简谐运动,若木块质量为4.99kg,弹簧的劲度系数为8103Nm,求振动的振
幅。
(设子弹射入木块这一过程极短)
解:
先讨论子弹与木块的碰撞过程,在碰撞过程中,子弹与木块组成的系统的动量守恒,
mvo二(mm)v
=2(m/s)
mvo
v=
mm
A可由初始时刻系
然后系统做简谐振动,因为简谐振动过程中机械能守恒,所以振幅统的机械能确定,已知初始时刻系统的势能为零,所以有
1.212(mm)vkA
2
2
5-8如图所示,在一个倾角为二的光滑斜面上,固定一个原长为I。
、劲度系数为k、质
量可以忽略不计的弹簧,在弹簧下端挂一个质量为m的重物,求重物作简谐运动的平衡位
置和周期。
解:
设物体处在平衡位置时弹簧伸长量为x0,则
•a,mgsin日
mgsinJ-kx0x0二k
平衡位置距O1点为:
|0x0=l0mgSin"
k
以平衡位置为坐标原点,如图建立坐标轴Ox,当物体运动到离开平衡位置的位移为x
处时,弹簧的伸长量就是x°x,所以物体所受的合外力为
F二mgsin-k(x0x)即F二-kx
物体受力与位移成正比而反向,即可知物体做简谐振动国,此简谐振动的周期为
5-9两质点分别作简谐振动,其频率、振幅均相等,振动方向平行。
在每次振动过程中,
它们在经过振幅的一半的地方时相遇,而运动方向相反。
求它们相差,并用旋转矢量图表示
出来。
习题5-9图
x=-12cm处所需的
5-10一简谐振动的振幅A=24cm、周期T=3s,以振子位移x=12cm、并向负方向运
动时为计时起点,作出振动位移与时间的关系曲线,并求出振子运动到最短时间。
2n2nn
解:
依题意可得,•‘二〒=§,又由旋转矢量法可知‘飞
所以振动方程为:
x=0.24cos(—t)(m)
33
质点运动到x=-12cm处最小相位变化为n3,所以
需要最短时间为
醴n3
tT3=0.5(s)
2n2n
5-11如图所示,一轻弹簧下端挂着两个质量均为m=1.0kg的物体B和C,此时弹簧伸
长2.0cm并保持静止。
用剪刀断连接B和C的细线,使C自由下落,于是B就振动起来。
选B开始运动时为计时起点,B的平衡位置为坐标原点,在下列情况下,求B的振动方程
(1)x轴正向向上;
(2)x轴正向向下。
习题5-11图
解:
已知m=1kg,lBC=0.02m,可得k=2mg/lBC=1000(N/m)
k—
10d0(rad/s)m
当以B的平衡位置为坐标原点,振动振幅为
A=0.02-mgk=0.02-0.01=0.01(m)
由题意知,振动初速度v0=0
⑴x轴正向向上时:
x0二-0.01(m)=■■:
⑵x轴正向向下时:
Xo=0.01(m)即=0
振动方程为x=0.01cos(10、10t)(m)
5-12劲度系数为k的轻弹簧,上端与质量为m的平板相联,下端与地面相联。
如图所示,今有一质量也为m的物体由平板上方h高处自由落下,并与平板发生完全非弹性碰撞。
以平板开始运动时刻为计时起点,向下为正,求振动周期、振幅和初相。
习题5-12图
解:
物体下落与平板碰撞前速度:
v=2gh
mv二(mm)v0
所以物体与平板碰撞后共同运动的速度:
在x处,物体和平板受力:
F=2mg_k(x=-kx
见旋转矢量图,有:
mg
|xo|
Am2g2mgkh
5-13在一平板上放一重9.8N的物体,平板在竖直方向作简谐振动,周期T=0.50s,振
幅A=0.020m,试求
(1)重物对平板的压力F;
(2)平板以多大振幅运动时,重物将脱离平板?
解:
以平衡位置为坐标原点,向下为x轴正方向,物体在x处时,
习题5-13图
mg一N=ma--m2x
22
N二mgm■x=9.816二x
2
⑴重物对平板的压力F-9.816二x
(2)当N=0时重物将脱离平板,由N=9.8-16:
"x^a^O,得
Xmax=-0.062(m),A=xmax|=0.062(m)
5-14—木块在水平面上作简谐运动,振幅为5.0c频率为,一块质量为m的较小木块叠在其上,两木块间最大静摩擦力为0.4mg,求振动频率至少为多大时,上面的木块将相对于下面木滑动?
解:
以平衡位置为坐标原点,向右为x轴正方向,建
。
Fx
。
1匚Ax
x'
习题5-14图
立坐标系,小木块在x处:
22n
F--m•x2二'
T
在最大位移处,F最大,Fmax=m2x
当Fmax■fs,即m「2A—\mg时小木块开始相对于大木块滑动,由此得:
5-15一台摆钟的等效摆长L=0.995m,摆锤可上下移动以调节其周期。
该钟每天快1
分27秒。
假如将此摆当作一个质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑,则应将摆锤向下移动多少距离,才能使钟走得准确?
解:
设原摆钟周期为T,钟走时准确时,其钟摆长为L,周期为T,则
T_24606087_86487
T24606086400
工L"「2『86487弓
而
(一)2L0.995=0.997(m)
LT86400
L-L=0.002(m)=2(mm)
应将摆锤下移2mm。
5-16一弹簧振子,弹簧的劲度系数k=25Nm,当物体以初动能0.2J和初势能0.6J
振动时,求
(1)振幅;
(2)位移是多大时,势能和动能相等?
(3)位移是振幅的一半时,势能多大?
解:
(1)E=Ek0Ep0=0.20.6=0.8(J)
x,A=0.179(m)
2
11a21121
⑶当xA时,Epk()kAE=0.2(J)
2p22424
5-17一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动,两个振动的振动方程为
人=0.04cos(2t)(SI)
x2=0.03cos(2t-巧(SI)
6
求合振动的振幅和初相。
5-18有两个同方向、同频率的简谐振动,它们合振动的振幅为振动的相差为n/6若第一个振动的振幅A1=8.0cm,求
(1)第二个振动的振幅A2;
(2)第一个振动和第二个振动的相位差。
10cm,合振动与第一个
习题5-18图
解:
依题意,作旋转矢量图,可知
AA2A2-2AACOS6-10282一2108:
空;:
5(cm)
A—Ai—A
cos--0.131
2AJA
.-■:
:
-820
5-19已知两个分振动的振动方程分别为
x=2cosnt
n
y=2cos(n-)
2
求合振动轨道曲线。
解:
两个振动方程消去t得:
x2y^4,所以合振动轨迹是圆。
5-20质量为4536kg的火箭发射架在发射火箭时,因向后反冲而具有反冲能量,这能量
由发射架压缩一个弹簧而被弹簧吸收。
为了不让发射架在反冲终了后作往复运动,人们使用
一个阻尼减震器使发射架能以临界阻尼状态回复到点火位置去。
已知发射架以10ms的初
速向后反冲并移动了3m。
试求反冲弹簧的劲度系数和阻尼减震器提供临界阻尼时的阻力系数。
解:
已知m=4536kg,v°=10m/s,A=3m
22
=50400(N/m)
mv0453610
k22
A232
临界阻尼时:
=■'0,由有,阻力系数:
2m
5.5X03ms,地震
5-21已知地壳平均密度约2.8103kgm3,地震波的纵波波速约
波的横波波速约3.5为03ms,计算地壳的杨氏模量与切变模量。
丫二u纵T=8.471O10(kg/mJ2)
由U横二G得,G=U横—3.431010(kg/mJ2)
Vp
5-22已知空气中的声速为344ms,一声波在空气中波长是0.671m,当它传入水中时,
波长变为2.83m,求声波在水中的传播速度。
解:
根据波在不同介质中传播时,频率不变,又因为
山水=比,所以u水二丄空=1.45110(m/s)
,水,空.空
Xi=0.05m处质元的振动方程及该质元的初相位。
解:
(1)由题知:
u=1m/s,,=0.04m,所以
O处质点的振动方程为:
y0=0.03cos(50二t')
2
所以,波函数为:
y=0.03cos(50二t-50二x•…)
2
(2)当X1=0.05m时,代入波函数有
y二0.03cos(50二t「2二)=0.03cos50二t
初相位即=0或-2二。
5-24有一沿x轴正向传播的平面简谐波,波速为2ms,原点处质元的振动方程为
y=0.6cosn(SI),试求
(1)此波的波长;
(2)波函数;
(3)同一质元在1秒末和2秒末这两个时刻的相位差;
(4)xA=1.0m和XB=1.5m处两质元在同一时刻的相位差。
2n
解:
由题意可得:
A=0.6m,「二二(rad/s),T2s
co
(1),=uT=22=4m
n
(2)y=0.6cos(nx)
2
(3)同一质点,位置(x坐标)不变
如fnW兀)
=\ti<2-一xI——x1=n
I2八2丿
(4)同一时刻,t不变
„31JI
•:
二-—Xb「Xa二-—
即b点比a点落后一。
4
5-25振动频率为、•.=500Hz的波源发出一列平面简谐波,波速U=350m.「S,试求
(1)相位差为n3的两点相距多远;
(2)在某点,时间间隔为.:
t=10-S的两个状态的相位差是多少?
解:
(1)■=uT二u卜.=350/500=0.7m
0.7=0.117m
2n2n
QAl
(2)':
■:
==2n;-1=2n50010^=n
5-26有一波长为入的平面简谐波,它在a点引起的振动的振动方程为
y二Acos(「t•,试分别在如图所示四种坐标选择情况下,写出此简谐波的波函数。
解:
(1)y=Acos[t]
A
2兀x
(2)y=Acos[t]
2兀也
(3)y=Acos[t(x-I)■]
扎
y=Acos[t
(xl):
]
扎
5-27图示为t=0时刻的平面简谐波的波形,求
(1)原点的振动方程;
(2)波函数;
(3)P点的振动方程;
(4)a、b两点的运动方向。
n
解:
(1)原点振动方程:
y0=0.04cos(・‘t)(m)
2
2nu2n0.082
由图可知,’=0.4m,所以Mrad/s)
&0.45
2n所以:
y°=0.04cos(n—)(m)
52
2n
⑵波函数y=0.04cos(n-5n—)(m)
52
2n23
(3)yp=0.04cos(—n-5n0.4+n)=0.04cos(-A—n(m)
5252
(4)
a:
向下b:
向上
2n3n
y°=Acos(t),设波源在x=0
T2
2n2nX3n、
函数为y=Acos(t)
TTu2
z2nX3n
当t=T时,y=Acos()
Tu2
、2
⑵当“4时,“Ac。
呻tn)
y(m)
O
F4
-A
3T/4t”
5-29已知一平面简谐波的波函数y^Acosn(4t+2x)(SI),
(1)写出t=4.2s时各波峰位置的坐标表示式,计算此时离原点最近的一个波峰的位置,该波峰何时通过坐标原点?
(2)画出t=4.2s时的波形图。
解:
(1)t=4.2s时,y=Acos(16.8n+2nx)=Acos(0.8n+2nx)
即x=k_0.4(m)(k为整数)
则此时离原点最近的波峰位置为x=-0.4m。
由于该波向x轴负方向传播,原点比x=-0.4的点先到达波峰
二x0-(-0.4)
-:
t0.2(s)
u2
即t=4.2—:
t=4(s)
5-30图示为t=0时刻沿x轴正方向传播的平面简谐波的波形图,其中振幅A、波长,、
可得,:
:
0二丄。
2
2nn
(2)原点O处质兀的振动表达式可写为y°=Acos(ut)
P处质元的振动从时间上比O处质元的振动落后,因此P处质兀的振动表达式为
2u
2n九n
yp二Acos[—u(t)夕
人2u2
2nn_
得yp二Acos[ut]
九2
(3)p、q两点相位差为:
n="2n.二x=2nn
z.z.2
5-31一线状波源发射柱面波,设介质是不吸收能量的各向同性均匀介质。
求波的强度
和振幅与离波源距离的关系。
解:
取两个长均为I,半径分别为「1和门的同轴圆柱面S和S,由于介质不吸收能量,
所以通过Si的平均能流P与通过S2的平均能流P相等,
即=月,又因为P=IS,I丄,所以11=旦鱼二旦=乜=互
S丨2P2/S2s2Tihri「1
122
IuA■
2
5-32设简谐波在直径d=0.10m的圆柱形管内的空气介质中传播,波的强度
1.0>10-2W:
m2,波速为u=250ms,频率=300Hz,试计算
(1)波的平均能量密度和最大能量密度各是多少
(2)相距一个波长的两个波面之间平均含有多少能量
解:
(1)1=_u
=410』(J/m3)
u250
施=2—810‘(J/m3)
⑵E==-nd2,/4=n^2u/4=2.6210"7(J)
5-33一个声源向各个方向均匀地发射总功率为10W的声波,求距声源多远处,声强级
为100dB。
5-34设正常谈话的声强I=1.010^Wm2,响雷的声强l:
=0.1W」m2,它们的声强级
各是多少?
解:
正常谈话的声强级为L=10lg+=10lg石卫=60(dB)
10’
I
雷声的声强级为L=10lg10lg密=110(dB)
3
5-35纸盆半径R=0.1m的扬声器,辐射出频率=10Hz、功率P=40W的声波。
设空
3
气密度p=1.29kgm,声速u=344m;s,不计空气对声波的吸收,求纸盆的振幅。
PP122
解:
1W存,又因为1,所以
5-36P、Q为两个以同相位、同频率、同振幅振动的相干波源,它们在同一介质中传播,设波的频率为V、波长为入P、Q间距离为3"2,R为PQ连线上P、Q两点外侧的任意
点,求
(1)自P发出的波在R点的振动与自Q发出的波在R点的振动的位相差;
(2)R点合振动的振幅。
解:
(1)r在q外侧时,.厂二•P」「Q_2n「RP_rRQ)二o
5-37
两分振动的振幅都为A=0.01m。
弦的振动方程为y=0.02cos0.16xcos750t(SI),求
t=2.0>0-3s时,位于x=5.0cm处的质元的速度为v=-1.04103(m/s)。
波在P点反射。
已知0P二3:
4,DP二扣6,在t=0
与反射波在D点处叠加的合振动方程。
习题5-38图
解:
根据题意,可确定O处质元振动的初相位为
n
上,这样O处质元的振动方程为:
2
n
y0=Acos(2nt+)
2
入射波的波动表达式为:
、入=Acos(2nt—2」x+—)
&2
反射波在O点的振动相位比入射波在O点的振动相位要落后
,.:
_2躯3/4)
O点的振动方程为
式中加n是考虑反射端有半波损失而加上的。
由此可得反射波在
n
y反0=Acos(2nt+4n+—)
2
反射波向左传播,所以反射波的波动表达式为:
2nn
y反二Acos(2ntx+)
k2
入射波与反射波叠加后形成驻波的波动表达式为:
2nn
y=y入y反二2Acosxcos(2nt-)九2
八十3九k7丸一
位于x的D点,其合振动表达式为
4612
i2n7几),冗厂,冗
yD=2Acoscos(2nt—)--、、3Acos(2nt—)
Ik12丿22
5-39速度为20ms的火车A和速度也为20ms的火车B相向行驶,火车A以频率、=
500Hz鸣汽笛,试就下列两种情况求火车B中乘客听到的声音的频率。
(设声速为340ms)
(1)A、B相遇之前;
(2)A、B相遇之后。
解:
(1)A、B相遇之前
(2)A、B相遇之后
34020500二562.5(Hz)
340—20
UVr
S
U_VS
34^20500=444.4(Hz)
34020
■号,
5-40一人造地球卫星发出=108Hz的微波信号,卫星探测器在某一时刻检测到由地面
站反射回的信号与卫星发出的信号产生了拍频
h=2400Hz的拍,求此时卫星沿地面站方
向的分速度。
ccV
V=V
cc—Vc—V
二者之间的频率差为:
Av=v
c+V心2V
--(-1)=■.
c—Vc—V
可得卫星沿地面站方向的分速度为:
cAv
V=
=、•
=彭10*2400応3.6I03(m/s)
2400210
正号,说明向地面站靠拢。
5-41从远方某一星体发射的光谱,经研究确认其中有一组氢原子的巴尔末线系。
经测
定,地球上氢原子的434nm谱线与该星体上氢原子的589nm谱线属于同一谱线。
试由此推
断该星体是正在远离还是正在接近地球
?
它相对地球的运动速度是多大?
解:
设星体相对地球的运动速度为
V,星体上波长为=434nm的氢原子,地球接收到该
氢原子的波长为九’=589nm,频率为
v',即:
=
c
V
c-V
c
cc
-
c-V
8
c(■-)310(434-589)8“、
整理得:
V1.0710(m)
k434
所以此星体正远离地球。
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