创新设计一轮复习 第四章 第2节.docx

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创新设计一轮复习第四章第2节

第2节　同角三角函数基本关系式与诱导公式

考试要求　1.理解同角三角函数的基本关系式：

sin2α＋cos2α＝1，＝tanα；2.能利用定义推导出诱导公式.

知识梳理

1.同角三角函数的基本关系

（1）平方关系：

sin2α＋cos2α＝1.

（2）商数关系：

＝tan__α.

2.三角函数的诱导公式

公式

一

二

三

四

五

六

角

2kπ＋α（k∈Z）

π＋α

－α

π－α

－α

＋α

正弦

sinα

－sin__α

－sin__α

sin__α

cos__α

cos__α

余弦

cosα

－cos__α

cos__α

－cos__α

sin__α

－sin__α

正切

tanα

tan__α

－tan__α

－tan__α

口诀

函数名不变，符号看象限

函数名改变，符号看象限

[微点提醒]

1.同角三角函数关系式的常用变形

（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.

2.诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.

3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.

基础自测

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）

（1）sin（π＋α）＝－sinα成立的条件是α为锐角.（　　）

（2）六组诱导公式中的角α可以是任意角.（　　）

（3）若α∈R，则tanα＝恒成立.（　　）

（4）若sin（kπ－α）＝（k∈Z），则sinα＝.（　　）

解析　

（1）中对于任意α∈R，恒有sin（π＋α）＝－sinα.

（3）中当α的终边落在y轴，商数关系不成立.

（4）当k为奇数时，sinα＝，

当k为偶数时，sinα＝－.

答案　

（1）×　

（2）√　（3）×　（4）×

2.（必修4P21A12改编）已知tanα＝－3，则cos2α－sin2α＝（　　）

A.B.－C.D.－

解析　由同角三角函数关系得

cos2α－sin2α＝＝＝＝－.

答案　B

3.（必修4P29B2改编）已知α为锐角，且sinα＝，则cos（π＋α）＝（　　）

A.－B.C.－D.

解析　因为α为锐角，所以cosα＝＝，

故cos（π＋α）＝－cosα＝－.

答案　A

4.（2017·全国Ⅲ卷）已知sinα－cosα＝，则sin2α＝（　　）

A.－B.－C.D.

解析　∵（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α，

∴sin2α＝1－＝－.

答案　A

5.（2019·济南质检）若sinα＝－，且α为第四象限角，则tanα＝（　　）

A.B.－C.D.－

解析　∵sinα＝－，α为第四象限角，

∴cosα＝＝，因此tanα＝＝－.

答案　D

6.（2018·上海嘉定区月考）化简：

＝________.

解析　原式＝＝＝1.

答案　1

考点一　同角三角函数基本关系式　

多维探究

角度1　公式的直接运用

【例1－1】（2018·延安模拟）已知α∈，且sinα＝－，则cosα＝（　　）

A.－B.C.±D.

解析　因为α∈，且sinα＝－>－＝sin，所以α为第三象限角，所以cosα＝－＝－＝－.

答案　A

角度2　关于sinα，cosα的齐次式问题

【例1－2】已知＝－1，求下列各式的值.

（1）；

（2）sin2α＋sinαcosα＋2.

解　由已知得tanα＝.

（1）＝＝－.

（2）sin2α＋sinαcosα＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.

角度3　“sinα±cosα，sinαcosα”之间的关系

【例1－3】已知x∈（－π，0），sinx＋cosx＝.

（1）求sinx－cosx的值；

（2）求的值.

解　

（1）由sinx＋cosx＝，

平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝，

整理得2sinxcosx＝－.

所以（sinx－cosx）2＝1－2sinxcosx＝.

由x∈（－π，0），知sinx<0，又sinx＋cosx>0，

所以cosx>0，则sinx－cosx<0，

故sinx－cosx＝－.

（2）＝

＝＝＝－.

规律方法　1.同角三角函数关系的用途：

根据已知角的一个三角函数值求解另外的三角函数值，对三角函数式进行变换.

（1）利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化.

（2）利用＝tanα可以实现角α的弦切互化.

2.应用公式时注意方程思想的应用：

对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.

3.注意公式逆用及变形应用：

1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.

【训练1】

（1）（2019·烟台测试）已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为（　　）

A.－B.C.－D.

（2）已知＝5，则cos2α＋sin2α的值是（　　）

A.B.－C.－3D.3

解析　

（1）∵<α<，

∴cosα<0，sinα<0且cosα>sinα，

∴cosα－sinα>0.

又（cosα－sinα）2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，

∴cosα－sinα＝.

（2）由＝5得＝5，可得tanα＝2，

则cos2α＋sin2α＝cos2α＋sinαcosα＝＝＝.

答案　

（1）B　

（2）A

考点二　诱导公式的应用

【例2】

（1）设f（α）＝（1＋2sinα≠0），则f＝________.

（2）已知cos＝a，则cos＋sin的值是________.

解析　

（1）∵f（α）＝

＝＝＝，

∴f＝＝＝.

（2）∵cos＝cos

＝－cos＝－a，

sin＝sin＝a，

∴cos＋sin＝－a＋a＝0.

答案　

（1）　

（2）0

规律方法　1.诱导公式的两个应用

（1）求值：

负化正，大化小，化到锐角为终了.

（2）化简：

统一角，统一名，同角名少为终了.

2.含2π整数倍的诱导公式的应用

由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos（5π－α）＝cos（π－α）＝－cosα.

【训练2】

（1）（2019·衡水中学调研）若cos＝，则cos（π－2α）＝（　　）

A.B.C.－D.－

（2）（2017·北京卷）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sinα＝，则sinβ＝________.

解析　

（1）由cos＝，得sinα＝.

∴cos（π－2α）＝－cos2α＝－（1－2sin2α）＝2sin2α－1＝2×－1＝－.

（2）α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，

∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z.

∴sinβ＝sin（π－α＋2kπ）＝sinα＝.

答案　

（1）D　

（2）

考点三　同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用

【例3】

（1）（2019·菏泽联考）已知α∈，sin＝，则tan（π＋2α）＝（　　）

A.B.±C.±D.

（2）（2019·福建四地六校联考）已知α为锐角，且2tan（π－α）－3cos＋5＝0，tan（π＋α）＋6sin（π＋β）－1＝0，则sinα的值是（　　）

A.B.C.D.

解析　

（1）∵α∈，sin＝，

∴cosα＝，sinα＝－，tanα＝＝－2.

∴tan（π＋2α）＝tan2α＝＝＝.

（2）由已知得

消去sinβ，得tanα＝3，

∴sinα＝3cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，

化简得sin2α＝，则sinα＝（α为锐角）.

答案　

（1）A　

（2）C

（3）已知－π

①求sinx－cosx的值；

②求的值.

解　①由已知，得sinx＋cosx＝，

两边平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝，

整理得2sinxcosx＝－.

∵（sinx－cosx）2＝1－2sinxcosx＝，

由－π

又sinxcosx＝－<0，

∴cosx>0，∴sinx－cosx<0，

故sinx－cosx＝－.

②＝

＝

＝＝－.

规律方法　1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.

2.

（1）注意角的范围对三角函数值符号的影响，开方时先判断三角函数值的符号；

（2）熟记一些常见互补的角、互余的角，如－α与＋α互余等.

【训练3】

（1）（2019·湖北七州市联考）已知α∈（0，π），且cosα＝－，则sin·tanα＝（　　）

A.－B.－C.D.

（2）已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.

解析　

（1）∵α∈（0，π），且cosα＝－，∴sinα＝，

因此sin·tanα＝cosα·＝sinα＝.

（2）由题意，得cos＝，∴tan＝.

∴tan＝tan＝－＝－.

答案　

（1）C　

（2）－

[思维升华]

1.同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明.

2.三角函数求值、化简的常用方法：

（1）弦切互化法：

主要利用公式tanx＝进行切化弦或弦化切，如，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等类型可进行弦化切.

（2）和积转换法：

如利用（sinθ±cosθ）2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化.

（3）巧用“1”的变换：

1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ（1＋tan2θ）＝sin2θ（1＋）＝tan等.

[易错防范]

1.利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：

去负—脱周—化锐.

特别注意函数名称和符号的确定.

2.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.

基础巩固题组

（建议用时：

35分钟）

一、选择题

1.sin600°的值为（　　）

A.－B.－C.D.

解析　sin600°＝sin（360°＋240°）＝sin240°

＝sin（180°＋60°）＝－sin60°＝－.

答案　B

2.已知直线2x－y－1＝0的倾斜角为α，则sin2α－2cos2α＝（　　）

A.B.－C.－D.－

解析　由题意知tanα＝2，

∴sin2α－2cos2α＝＝＝.

答案　A

3.＝（　　）

A.sin2－cos2B.sin2＋cos2

C.±（sin2－cos2）D.cos2－sin2

解析　＝

＝＝|sin2－cos2|＝sin2－cos2.

答案　A

4.已知sin（π＋θ）＝－cos（2π－θ），|θ|<，则θ等于（　　）

A.－B.－C.D.

解析　∵sin（π＋θ）＝－cos（2π－θ），

∴－sinθ＝－cosθ，

∴tanθ＝，∵|θ|＜，∴θ＝.

答案　D

5.已知sin＝，则cos＝（　　）

A.B.C.－D.－

解析　因为sin＝，所以cos＝sin＝sin＝.

答案　B

6.（2019·兰州质检）向量a＝，b＝（cosα，1），且a∥b，则cos＝（　　）

A.－B.C.－D.－

解析　∵a＝，b＝（cosα，1），且a∥b，

∴×1－tanαcosα＝0，∴sinα＝，

∴cos＝－sinα＝－.

答案　A

7.已知函数f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β），且f（4）＝3，则f（2020）的值为（　　）

A.－1B.1C.3D.－3

解析　∵f（4）＝asin（4π＋α）＋bcos（4π＋β）

＝asinα＋bcosβ＝3，

∴f（2020）＝asin（2020π＋α）＋bcos（2020π＋β）

＝asinα＋bcosβ＝3.

答案　C

二、填空题

8.（2019·广东七校联考）已知sinα＝－，且α为第三象限的角，则tanα＝________.

解析　∵sinα＝－，且α为第三象限的角，

∴cosα＝－＝－，∴tanα＝＝.

答案　

9.已知tan＝，则tan＝________.

解析　∵＋＝π，

∴tan＝tan

＝－tan＝－.

答案　－

10.已知sinθ＋cosθ＝，θ∈，则sinθ－cosθ的值为________.

解析　∵sinθ＋cosθ＝，∴sinθcosθ＝.

又∵（sinθ－cosθ）2＝1－2sinθcosθ＝，

又∵θ∈，∴sinθ－cosθ＝－.

答案　－

11.已知tanθ＝3，则cos＝________.

解析　∵tanθ＝3，∴cos＝sin2θ＝＝＝＝.

答案　

12.（2019·邯郸一模）若sin（α＋β）＝3sin（π－α＋β），且α，β∈，则＝________.

解析　由条件，得sin（α＋β）＝3sin（α－β），

∴sinαcosβ＝2cosαsinβ，则tanα＝2tanβ，

因此＝2.

答案　2

能力提升题组

（建议用时：

15分钟）

13.若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为（　　）

A.1＋B.1－

C.1±D.－1－

解析　由题意知sinθ＋cosθ＝－，sinθ·cosθ＝.

又＝1＋2sinθcosθ，

∴＝1＋，解得m＝1±.

又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.

答案　B

14.已知sincos＝，且0<α<，则sinα＝________，cosα＝________.

解析　sincos＝－cosα·（－sinα）＝sinαcosα＝.

∵0<α<，∴0

又∵sin2α＋cos2α＝1，∴sinα＝，cosα＝.

答案　　

15.已知k∈Z，化简：

＝________.

解析　当k＝2n（n∈Z）时，

原式＝

＝＝＝－1；

当k＝2n＋1（n∈Z）时，

原式＝

＝＝＝－1.

综上，原式＝－1.

答案　－1

16.是否存在α∈，β∈（0，π），使等式sin（3π－α）＝cos，cos（－α）＝－cos（π＋β）同时成立？

若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由.

解　假设存在角α，β满足条件，

则由已知条件可得

由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.

∴sin2α＝，∴sinα＝±.

∵α∈，∴α＝±.

当α＝时，由②式知cosβ＝，

又β∈（0，π），∴β＝，此时①式成立；

当α＝－时，由②式知cosβ＝，

又β∈（0，π），∴β＝，此时①式不成立，故舍去.

∴存在α＝，β＝满足条件.

新高考创新预测

17.（多填题）已知sinα＝，α∈，则cos（π－α）＝________，cos2α＝________.

解析　cos（π－α）＝－cosα＝－＝－，cos2α＝cos2α－sin2α＝－＝.

答案　－