最新考研数学三真题及解析资料.docx
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最新考研数学三真题及解析资料
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2005年考研数学(三)真题
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
(1)极限limxsin
22x
=.
x
x
1
(2)微分方程xy
y
0满足初始条件
y
(1)2的特解为______.
(3)设二元函数z
xex
y
(x1)ln(1
y),则dz
________.
(1,0)
(4)设行向量组(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)线性相关,且a
1,则a=_____.
(5)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X,
再从1,2,
X中任取一个数,记为
Y,则
P{Y2}=______.
(6)设二维随机变量(X,Y)
的概率分布为
X
Y
0
1
0
0.4
a
1
b
0.1
已知随机事件{X
0}与{X
Y
1}相互独立,则a=
,b=
.
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7)当a取下列哪个值时,函数
f
(x)2x3
9x2
12xa恰好有两个不同的零点.
(A)
2.
(B)
4.
(C)6.
(D)
8.
[
]
(8)设I1
cosx2
y2d
I2
cos(x2
y2)d,I3
cos(x2
y2)2d,其中
D
D
D
D{(x,y)x2
y2
1},则
(A)
I3
I2
I1.
(B)I1
I2
I3.
(C)
I2
I1
I3.
(D)
I3
I1
I2.
[
]
(9)设an
0,n1,2,,若
an发散,
(1)n1an收敛,则下列结论正确的是
n1
n1
(A)
a2n1收敛,
a2n发散.
(B)
a2n收敛,
a2n1发散.
n
1
n1
n1
n1
(C)
(a2n1
a2n)收敛.
(D)
(a2n1
a2n)收敛.
[]
n
1
n
1
(
10
)设f(x)
xsinx
cosx下列命题中正确的是
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(A)
f(0)是极大值,
f(
)是极小值.
(B)f(0)是极小值,f(
)是极大值.
2
2
(C)
f(0)是极大值,f(
)也是极大值.
(D)
f(0)是极小值,f(
)也是极小值.
2
2
[
]
(11)以下四个命题中,正确的是
(A)
若f(x)在(0,1)内连续,则f(x)在(0,1)内有界.
(B)若f(x)在(0,1)内连续,则
f(x)在(0,1)内有界.
(C)若f(x)在(0,1)内有界,则
f(x)在(0,1)内有界.
(D)
若f(x)在(0,1)内有界,则
f
(x)在(0,1)内有界.
[
]
(12)设矩阵A=(aij)33
满足A*
AT,其中A*是A的伴随矩阵,AT为A的转置矩阵.若a11,a12,a13
为三个相等的正数,则
a11为
(A)
3
(B)
3.
(C)
1
(D)
3.
[
]
3
.
.
3
(13)设1,2是矩阵A的两个不同的特征值,
对应的特征向量分别为
1,
2,则
1,A(1
2)线
性无关的充分必要条件是
(A)
1
0.
(B)
20.
(C)
1
0.
(D)
2
0.
[
]
(14)设一批零件的长度服从正态分布
N(,
2)
,其中
2
均未知.现从中随机抽取16
个零件,
测得样本均值x
20(cm),样本标准差s
1(cm),则
的置信度为0.90
的置信区间是
(A)
(20
1t0.05(16),20
1t0.05(16)).
(B)
(20
1t0.1(16),20
1t0.1(16)).
1
4
1
4
1
4
1
4
(C)
(20
t0.05(15),20
t0.05(15)).
(D)
(20
t0.1(15),20
t0.1(15)).
[
]
4
4
4
4
三
、解答题(本题共9小题,满分94
分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.)
(15)(本题满分
8分)
求lim(1
x
1).
x0
1ex
x
(16)(本题满分
8分)
设f(u)具有二阶连续导数,且
(,
)
f
(y)
yf
(x)
,求x
2
2g
y
2
2g
gxy
x
y
x
2
y
2.
(17)(本题满分
9分)
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计算二重积分
x
2
y
2
1
d
,其中
D{(x,y)0x1,0y1}
.
D
(18)(本题满分9分)
求幂级数
(
1
1)x2n
在区间(-1,1)内的和函数S(x).
n1
2n
1
(19)(本题满分
8分)
设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(0)=0,f(x)0,g(x)
0.证明:
对任何
a[0,1],有
a
1
f(x)g(x)dxf(a)g
(1).
g(x)f
(x)dx
0
0
(20)(本题满分13分)已知齐次线性方程组
x1
2x2
3x3
0,
(i)2x1
3x2
5x3
0,
x1
x2
ax3
0,
和
(ii)
x1
bx2
cx30,
2x1b
2x2
(c
1)x30,
同解,求a,b,c的值.
(21)(本题满分
13分)
A
C
为正定矩阵,其中
A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m
n矩阵.
设D
B
CT
(I)计算PTDP,其中P
Em
A1C;
o
En
(II)利用(I)的结果判断矩阵
B
CT
A1C是否为正定矩阵,并证明你的结论.
(22)(本题满分13分)
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)
1,0x
1,0y2x,
0,
其他.
求:
(I)(X,Y)的边缘概率密度
fX(x),fY(y);
(II)Z
2XY的概率密度fZ(z).
(III)P{Y
1X
1}.
22
(23)(本题满分13分)
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设X1,X2,,Xn(n2)
为来自总体N(0,
2
X为样本均值,记
)的简单随机样本,
YiXiX,i
1,2,,n.
求:
(I)
Yi的方差DYi,i
1,2,,n;
(II)Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).
(III)若c(Y1Yn)2是2的无偏估计量,求常数c.
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2005年考研数学(三)真题解析
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
(1)极限lim
xsin
2x
2
=
2.
x
x
1
【分析】
本题属基本题型,直接用无穷小量的等价代换进行计算即可
.
【详解】
limxsin
2x
2x
2.
2
=limx
2
1
x
x
1
x
x
(2)
微分方程xy
y0
满足初始条件
y
(1)
2
的特解为
xy
2.
【分析】直接积分即可.
【详解】原方程可化为
(xy)
0
,积分得
xy
C,
代入初始条件得
C=2,故所求特解为
xy=2.
()设二元函数z
xexy
(x
1)ln(1
y),则
dz
2edx
(e
2)dy
.
3
(1,0)
【分析】基本题型,直接套用相应的公式即可.
【详解】
z
exy
xexy
ln1(y),
x
z
xex
y
x
1
y
1
y
于是dz
(1,0)
2edx
(e
2)dy.
(4)设行向量组(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)
线性相关,且a
1
,则a=
1
.
2
【分析】四个4维向量线性相关,必有其对应行列式为零,由此即可确定
a.
【详解】
由题设,有
2
1
1
1
2
1
a
a
(a
1)(2a
1)0,得a1,a
1
,但题设a
1,故a
1.
3
2
1
a
2
2
4
3
2
1
(5)从数1,2,3,4中任取一个数,记为
X,
再从1,2,
X中任取一个数,记为
Y,则
P{Y
2}
=
13
.
48
【分析】本题涉及到两次随机试验,想到用全概率公式
且第一次试验的各种两两互不相容的结果即
为完备事件组或样本空间的划分.
【详解】
P{Y
2}=P{X
1}P{Y
2X1}+P{X
2}P{Y
2X
2}
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+P{X
3}P{Y
2X
3}+P{X
4}P{Y
2X4}
1
(0
1
1
1
13
=
2
3
).
4
4
48
(6)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为
X
Y0
1
0
0.4
a
1
b
0.1
已知随机事件{X
0}与{X
Y
1}相互独立,则a=0.4
b=
0.1.
【分析】首先所有概率求和为1,可得a+b=0.5,其次,利用事件的独立性又可得一等式,由此可确定a,b的取值.
【详解】由题设,知a+b=0.5
又事件{X0}与{XY1}相互独立,于是有
P{X0,XY1}P{X0}P{XY1},
即a=(0.4a)(ab),由此可解得a=0.4,b=0.1
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7)当a取下列哪个值时,函数
f(x)2x3
9x2
12xa恰好有两个不同的零点.
(A)2.(B)4.(C)6.
(D)8.
[B]
【分析】先求出可能极值点,再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析,当恰好有一个极值为零时,函数f(x)恰好有两个不同的零点.
【详解】
f(x)
6x2
18x
12=6(x
1)(x
2),知可能极值点为
x=1,x=2,且
f
(1)
5a,f
(2)
4
a,可见当
a=4时,函数f(x)
恰好有两个零点,故应选
(B).
(8)设I1
cos
x2
y2d
I2
cos(x2
y2)d
I3
cos(x2
y2)2d
其中
D
D
D
D{(x,y)x2
y2
1},则
(A)
I3
I2
I1.
(B)I1
I2
I3.
(C)
I2
I1
I3.
(D)
I3
I1
I2.
[A
]
【分析】
关键在于比较
x2
y2、x2
y2与(x2
y2)2在区域D
{(x,y)x2
y2
1}上的大小.
【详解】
在区域
D
{(
)
x
2
y
21}
上,有0
x
2
y
2
1,从而有
xy
1
x2
y2
x2
y2
(x2
y2)2
0
2
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由于cosx在(0,
)
上为单调减函数,于是
2
0
cosx2
y2
cosx(2
y2)
cosx(2
y2)2
因此
cos
x2
y2d
cos(x2
y2)d
cos(x2
y2)2d,故应选(A).
D
D
D
(9)设an
0,n
1,2,
若
an发散,
(1)n1an收敛,则下列结论正确的是
n1
n1
(A)
a2n1收敛,
a2n发散.
(B)
a2n收敛,
a2n1发散.
n1
n1
n1
n1
(C)
(a2n
1
a2n)收敛.
(D)
(a2n1a2n)收敛.
[D]
n1
n
1
【分析】
可通过反例用排除法找到正确答案.
【详解】
取an
1
,则
an发散,
(1)n1an收敛,
n
n1
n1
但
a2n1与
a2n均发散,排除(A),(B)选项,且
(a2n1a2n)发散,进一步排除(C),
故应选(D).
n1
n1
n1
事实上,级数
(a2n1
a2n)的部分和数列极限存在.
n1
(10)设f(x)
xsinx
cosx,下列命题中正确的是
(B)
f(0)是极大值,f(
)是极小值.
(B)f(0)是极小值,
f()是极大值.
2
2
(C)
f(0)是极大值,f(
)也是极大值.
(D)
f(0)是
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