数学专题跟踪检测七 三角恒等变换与解三角形.docx
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数学专题跟踪检测七三角恒等变换与解三角形
专题跟踪检测(七)三角恒等变换与解三角形
一、全练保分考法——保大分
1.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,c=2,cosA=,则b=( )
A. B.
C.2D.3
解析:
选D 由余弦定理得5=22+b2-2×2bcosA,
∵cosA=,∴3b2-8b-3=0,
∴b=3.
2.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a=6,b=4,C=120°,则sinB=( )
A. B.
C.D.-
解析:
选B 在△ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=76,所以c=.由正弦定理得=,所以sinB===.
3.已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,bc=4,则△ABC的面积为( )
A.B.1
C.D.2
解析:
选C ∵a2=b2+c2-bc,∴bc=b2+c2-a2,
∴cosA==.∵A为△ABC的内角,∴A=60°,∴S△ABC=bcsinA=×4×=.
4.(2019届高三·洛阳第一次统考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a,b,c成等比数列,且a2=c2+ac-bc,则=( )
A.B.
C.D.
解析:
选B 由a,b,c成等比数列得b2=ac,则有a2=c2+b2-bc,由余弦定理得cosA===,因为A为△ABC的内角,所以A=,对于b2=ac,由正弦定理得,sin2B=sinAsinC=sinC,由正弦定理得,===.
5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=,则C=( )
A.B.
C.D.
解析:
选B 在△ABC中,sinB=sin(A+C),
则sinB+sinA(sinC-cosC)
=sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,
即sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,
∴cosAsinC+sinAsinC=0,
∵sinC≠0,∴cosA+sinA=0,
即tanA=-1,所以A=.
由=得=,∴sinC=,
又0 6.在△ABC中,已知AB=,AC=,tan∠BAC=-3,则BC边上的高等于( ) A.1B. C.D.2 解析: 选A 在△ABC中,∵tan∠BAC=-3, ∴sin∠BAC=,cos∠BAC=-, 由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠BAC=5+2-2×××=9,∴BC=3. ∴S△ABC=AB·ACsin∠BAC=×××=,∴BC边上的高为==1. 7.(2018·开封模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,btanB+btanA=2ctanB,且a=5,△ABC的面积为2,则b+c的值为__________. 解析: 由正弦定理及btanB+btanA=2ctanB, 得sinB·+sinB·=2sinC·, 即cosAsinB+sinAcosB=2sinCcosA, 亦即sin(A+B)=2sinCcosA, 故sinC=2sinCcosA. 因为sinC≠0,所以cosA=,所以A=. 因为S△ABC=bcsinA=2, 所以bc=8. 由余弦定理,知a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc, 可得b+c=7. 答案: 7 8.(2018·福州模拟)如图,小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30°,45°,且∠BAC=135°.若山高AD=100m,汽车从B点到C点历时14s,则这辆汽车的速度约为______m/s(精确到0.1). 参考数据: ≈1.414,≈2.236. 解析: 因为小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30°,45°,所以∠BAD=60°,∠CAD=45°.设这辆汽车的速度为vm/s,则BC=14v,在Rt△ADB中AB===200.在Rt△ADC中,AC===100.在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠BAC,所以(14v)2=(100)2+2002-2×100×200×cos135°,所以v=≈22.6,所以这辆汽车的速度约为22.6m/s. 答案: 22.6 9.(2018·长春质检)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若其面积S=b2sinA,角A的平分线AD交BC于点D,AD=,a=,则b=________. 解析: 由面积公式S=bcsinA=b2sinA,可得c=2b,即=2.由a=,并结合角平分线定理可得,BD=,CD=,在△ABC中,由余弦定理得cosB=,在△ABD中,cosB=,即=, 化简得b2=1,解得b=1. 答案: 1 10.(2018·昆明调研)已知△ABC的面积为3,AC=2,BC=6,延长BC至D,使∠ADC=45°. (1)求AB的长; (2)求△ACD的面积. 解: (1)因为S△ABC=×6×2×sin∠ACB=3, 所以sin∠ACB=,∠ACB=30°或150°, 又∠ADC=45°,所以∠ACB=150°, 由余弦定理得AB2=12+36-2×2×6cos150°=84, 所以AB=2. (2)在△ACD中,因为∠ACB=150°,∠ADC=45°, 所以∠CAD=105°, 由正弦定理得=, 即=, 解得CD=3+, 又∠ACD=180°-150°=30°, 所以S△ACD=AC·CD·sin∠ACD =×2×(3+)×=. 11.(2018·沈阳质检)在△ABC中,已知内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且2ccosB=2a+b. (1)求角C的大小; (2)若a+b=6,△ABC的面积为2,求c. 解: (1)由正弦定理得2sinCcosB=2sinA+sinB, 又sinA=sin(B+C), ∴2sinCcosB=2sin(B+C)+sinB, ∴2sinCcosB=2sinBcosC+2cosBsinC+sinB, ∴2sinBcosC+sinB=0, ∵sinB≠0,∴cosC=-. 又C∈(0,π),∴C=. (2)∵S△ABC=absinC=2,∴ab=8, 由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=a2+ab+b2=(a+b)2-ab=28,∴c=2. 12.(2018·长沙模拟)在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且4sinAcos2A-cos(B+C)=sin3A+. (1)求角A的大小; (2)若b=2,求△ABC面积的取值范围. 解: (1)∵A+B+C=π,∴cos(B+C)=-cosA.① ∵3A=2A+A, ∴sin3A=sin(2A+A)=sin2AcosA+cos2AsinA.② 又sin2A=2sinAcosA,③ cos2A=2cos2A-1,④ 将①②③④代入已知等式,得2sin2AcosA+cosA=sin2AcosA+cos2AsinA+, 整理得sinA+cosA=, 即sin=, 又A∈,∴A+=,即A=. (2)由 (1)得B+C=,∴C=-B, ∵△ABC为锐角三角形, ∴-B∈且B∈,解得B∈, 在△ABC中,由正弦定理得=, ∴c===+1, 又B∈,∴∈(0,),∴c∈(1,4), ∵S△ABC=bcsinA=c,∴S△ABC∈. 故△ABC面积的取值范围为. 二、强化压轴考法——拉开分 1.(2018·成都模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,△ABC的外接圆半径为.则△ABC面积的最大值为( ) A.B. C.D. 解析: 选D 由正弦定理,得===2,所以sinA=,sinB=,sinC=,将其代入2(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB得,a2+b2-c2=ab,由余弦定理,得cosC==,又0 2.(2019届高三·南宁二中、柳州高中联考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bc=1,b+2ccosA=0,则当角B取得最大值时,△ABC的周长为( ) A.2+B.2+ C.3D.3+ 解析: 选A 法一: 由题意可得,sinB+2sinCcosA=0,即sin(A+C)+2sinCcosA=0, 得sinAcosC=-3sinCcosA,即tanA=-3tanC. 又cosA=-<0,所以A为钝角,于是tanC>0. 从而tanB=-tan(A+C)=-==,由基本不等式,得+3tanC≥2=2,当且仅当tanC=时等号成立,此时角B取得最大值,且tanB=tanC=,tanA=-,即b=c,A=120°,又bc=1,所以b=c=1,a=,故△ABC的周长为2+. 法二: 由已知b+2ccosA=0,得b+2c·=0,整理得2b2=a2-c2.由余弦定理,得cosB==≥=,当且仅当a=c时等号成立,此时角B取得最大值,将a=c代入2b2=a2-c2可得b=c.又bc=1,所以b=c=1,a=,故△ABC的周长为2+. 3.(2019届高三·惠州调研)已知a,b,c是△ABC中角A,B,C的对边,a=4,b∈(4,6),sin2A=sinC,则c的取值范围为______________. 解析: 在△ABC中,由正弦定理得=, 即=,∴c=8cosA, 由余弦定理得16=b2+c2-2bccosA, ∴16-b2=64cos2A-16bcos2A, 又b≠4,∴cos2A===, ∴c2=64cos2A=64×=16+4B. ∵b∈(4,6),∴32 答案: (4,2) 4.(2018·潍坊模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,外接圆的半径为1,且=,则△ABC面积的最大值为__________. 解析: 因为=,所以=(2c-b), 由正弦定理得 sinBsinAcosB=(2sinC-sinB)sinBcosA, 又sinB≠0,所以sinAcosB=(2sinC-sinB)cosA, 所以sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA, sin(A+B)=2sinCcosA,即sinC=2sinCcosA, 又sinC≠0,所以cosA=,sinA=. 设外接圆的半径为r,则r=1, 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc. 当且仅当b=c时,等号成立, 又因为a=2rsinA=, 所以bc≤3,所以S△ABC=bcsinA=bc≤. 答案: 5.(2018·陕西质检)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且(a2+b2-c2)(acosB+bcosA)=abc,若a+b=2,则c的取值范围为________. 解析: 由sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC及正弦定理,可知acosB+bcosA=c, 则由(a2+b2-c2)(acosB+bcosA)=abc, 得a2+b2-c2=ab, 由余弦定理可得cosC=,则C=,B=-A, 由正弦定理==, 得==,又a+b=2, 所以+=2, 即c==. 因为A∈,所以A+∈, 所以sin∈,则c∈[1,2). 答案: [1,2) 6.(2018·南昌模拟)如图,平面上有四个点A,B,P,Q,其中A,B为定点,且AB=,P,Q为动点,满足关系AP=PQ=QB=1,若△APB和△PQB的面积分别为S,T,则S2+T2的最大值为________. 解析: 设PB=2x,则-1<2x<2, ∴<x<1, ∴T2=2=x2(1-x2), cos∠PAB==, sin2∠PAB=1-2, ∴S2=2=1-=-(1-x2)2, ∴S2+T2=-(1-x2)2+x2(1-x2), 令1-x2=t,则x2=1-t,0<t<, ∴S2+T2=-t2+(1-t)t=-2t2+t+, 其对称轴方程为t=,且∈, ∴当t=时,S2+T2取得最大值, 此时S2+T2=-2×++=. 答案: 三、加练大题考法——少失分 1.(2019届高三·洛阳联考)如图,在△ABC中,点P在BC边上,∠PAC=60°,PC=2,AP+AC=4. (1)求∠ACP; (2)若△APB的面积是,求sin∠BAP. 解: (1)在△APC中,∠PAC=60°,PC=2,AP+AC=4, 由余弦定理得 PC2=AP2+AC2-2·AP·AC·cos∠PAC, 所以22=AP2+(4-AP)2-2·AP·(4-AP)·cos60°, 整理得AP2-4AP+4=0, 解得AP=2,所以AC=2, 所以△APC是等边三角形,所以∠ACP=60°. (2)由于∠APB是△APC的外角, 所以∠APB=120°, 因为△APB的面积是, 所以·AP·PB·sin∠APB=,所以PB=3. 在△APB中,由余弦定理得 AB2=AP2+PB2-2·AP·PB·cos∠APB =22+32-2×2×3×cos120°=19, 所以AB=. 在△APB中,由正弦定理得=, 所以sin∠BAP==. 2.(2018·开封模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,已知3a2-4S=3b2+3c2. (1)求A; (2)若a=3,求△ABC周长的取值范围. 解: (1)∵S=bcsinA, ∴由已知得,b2+c2-a2=-S=-·bcsinA, ∴cosA==-sinA,
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