人教版八年级上册第11章 《三角形》提升训练.docx
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人教版八年级上册第11章《三角形》提升训练
《三角形》提升训练
一.选择题
1.如图,在△ABC中,∠A=50°,∠1=30°,∠2=40°,∠D的度数是( )
A.110°B.120°C.130°D.140°
2.已知三角形的两边长分别为4cm和10cm,则第三边长可以是( )
A..13cmB.16cmC.6cmD.5cm
3.一个正多边形,它的一个内角恰好是一个外角的4倍,则这个正多边形的边数是( )
A.八B.九C.十D.十二
4.一个五边形切去一个角后,剩余的图形是( )
A.四边形
B.五边形
C.六边形
D.四边形或五边形或六边形
5.如图,点P是四边形ABCD内的一点,AP平分∠DAB,BP平分∠ABC,设∠C+∠D的大小为x,∠P的大小为y,则x,y的关系是( )
A.y=2x﹣180°B.y=
xC.y=
xD.y=180°﹣
x
6.如图,一个三角形只剩下一个角,这个三角形为( )
A.锐角三角形B.钝角三角形
C.直角三角形D.以上都有可能
7.将一副直角三角板如图放置,使两直角边重合,则∠α的度数为( )
A.75°B.105°C.135°D.165°
8.如图所示,图形中x的值( )
A.50°B.60°C.70°D.75°
9.如图,直线a∥b,Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上,点B落在直线b上,若∠1=15°,∠2=25°,则∠ABC的大小为( )
A.40°B.45°C.50°D.55°
10.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为( )
A.180°B.270°C.360°D.720°
11.已知a,b,c是△ABC的三条边长,化简|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|的结果为( )
A.2a+2bB.2a+2b﹣2cC.2b﹣2cD.2a
12.如图,∠A=120°,且∠1=∠2=∠3和∠4=∠5=∠6,则∠BDC=( )
A.120°B.60°C.140°D.无法确定
二.填空题
13.已知一个正n边形的每个内角都为144°,则边数n为 .
14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,垂足为D.若∠A=32°,则∠BCD= °.
15.在△ABC中,∠A=90°,∠B、∠C的角平分线BE、CF交于点O,那么∠BOC的度数是 .
16.如图,△ADC是45°的直角三角板,△ABE是30°的直角三角板,若CD与BE交于点F,则∠DFB的度数为 .
三.解答题
17.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线,∠B=42°,∠DAE=16°.求∠BAE和∠C的度数.
18.将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式折叠放在一起(其中,∠A=60°,∠D=30°,∠E=∠B=45°):
(1)①若∠DCE=45°,则∠ACB的度数为 ;
②若∠ACB=140°,求∠DCE的度数为 .
(2)由
(1)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系,并说明理由.
(3)现固定△ACD,将△ECB绕点C旋转,点E永远在直线AC上方,使两块三角尺有一组边互相平行,请直接写出所有满足条件的∠ACE的度数.
19.用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”.如图,∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角.
求证:
∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°.
证法1:
∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角.
∴ .
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3),
∵ .
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°
请把证法1补充完整,并用不同的方法完成证法2.
20.数学概念
XX百科这样定义凹四边形:
把四边形的某些边向两方延长,其他各边有不在延长所得直线的同一旁,这样的四边形叫做凹四边形.
如图①,在四边形ABCD中,画出DC所在直线MN,边BC、AD分别在直线MN的两旁,则四边形ABCD就是凹四边形.
性质初探
(1)在图①所示的凹四边形ABCD中,求证:
∠BCD=∠A+∠B+∠D.
深入研究
(2)如图②,在凹四边形ABCD中,AB与CD所在直线垂直,AD与BC所在直线垂直,∠B、∠D的角平分线相交于点E.
①求证:
∠A+∠BCD=180°;
②随着∠A的变化,∠BED的大小会发生变化吗?
如果有变化,请探索∠BED与∠A的数量关系;如果没有变化,请求出∠BED的度数.
参考答案
一.选择题
1.解:
∴∠A=50°,
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°,
∴∠DBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB﹣∠1﹣∠2=130°﹣30°﹣40°=60°,
∴∠BDC=180°﹣(∠DBC+∠DCB)=120°,
故选:
B.
2.解:
设第三边的长为x,根据三角形的三边关系,
得10﹣4<x<10+4,即6<x<14,
故选:
A.
3.解:
设多边形的一个外角为x,则它的一个内角为4x,
4x+x=180°,
∴x=36°
∴这个正n边形的边数为:
360°÷36°=10,
故选:
C.
4.解:
一个五边形切去一个角后,剩余的图形是四边形或五边形或六边形.
故选:
D.
5.解:
∵四边形ABCD,∠C+∠D的大小为x,
∴∠DAB+∠ABC=360°﹣x,
∵AP平分∠DAB,BP平分∠ABC,
∴∠PAB+∠PBA=
,
∵∠P的大小为y,
∴∠P=180°﹣(∠PAB+∠PBA),
即y=180°﹣
(360°﹣x)=
x,
故选:
B.
6.解:
从题中可知,只看到一个角是钝角.
所以这个三角形为钝角三角形.
故选:
B.
7.解:
∠AOC=∠DAB﹣∠C=15°,
∴∠α=180°﹣15°=165°,
故选:
D.
8.解:
根据三角形外角性质可得:
x+70°=x+x+10°,
解得:
x=60°,
故选:
B.
9.解:
如图,作CK∥a.
∵a∥b,CK∥a,
∴CK∥b,
∴∠1=∠3,∠4=∠2,
∴∠ACB=∠1+∠2=15°+25°=40°,
∵∠CAB=90°,
∴∠ABC=90°﹣40°=50°,
故选:
C.
10.解:
如图,
∵∠1=∠A+∠C,∠2=∠B+∠F,∠1+∠2+∠D+∠E=360°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.
故选:
C.
11.解:
∵a、b、c为△ABC的三条边长,
∴a+b﹣c>0,b﹣a﹣c<0,
∴原式=a+b﹣c﹣(b﹣a﹣c)
=a+b﹣c+c+a﹣b=2a.
故选:
D.
12.解:
在△ABC中,∵∠A=120°,
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣120°=60°,
又∵∠1=∠2=∠3,∠4=∠5=∠6,
∴∠DBC+∠DCB=
×60°=40°,
∴∠BDC=180°﹣40°=140°,
故选:
C.
二.填空题(共4小题)
13.解:
由题意得,(n﹣2)•180°=144°•n,
解得n=10.
故答案为:
十.
14.解:
∵∠C=90°,
∴∠BCD+∠ACD=90°,
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=90°,
∴∠A+∠ACD=90°,
∴∠BCD=∠A=32°,
故答案为:
32.
15.解:
∵∠A=90°,
∴∠ABC+∠ACB=90°,
∵角平分线BE、CF交于点O,
∴∠OBC+∠OCB=45°,
∴∠BOC=180°﹣45°=135°.
故答案为135°.
16.解:
∵∠ADC=45°,∠B=30°,
∴∠DFB=∠ADC﹣∠B=15°,
故答案为15°.
三.解答题(共4小题)
17.解:
∵AD是BC边上的高,
∴∠ADE=90°.
∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°,
∴∠AED=180°﹣∠ADE﹣∠DAE=180°﹣90°﹣16°=74°.
∵∠B+∠BAE=∠AED,
∴∠BAE=∠AED﹣∠B=74°﹣42°=32°,
∵AE是∠BAC平分线,
∴∠BAC=2∠BAE=2×30°=64°.
∵∠B+∠BAC+∠C=180°,
∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣42°﹣64°=74°.
18.解:
(1)①∵∠ECB=90°,∠DCE=45°,
∴∠DCB=90°﹣45°=45°,
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+45°=135°;
②∵∠ACB=140°,∠ACD=90°,
∴∠DCB=140°﹣90°=50°,
∴∠DCE=90°﹣50°=40°;
(2)∠ACB+∠DCE=180°;理由如下:
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB,
∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°;
(3)存在,
当∠ACE=30°时,AD∥BC,理由如下,如图1所示:
∵∠ACE=∠DCB=30°,∠D=30°,
∴∠DCB=∠D,
∴AD∥BC;
当∠ACE=∠E=45°时,AC∥BE,理由如下,如图2所示:
∵∠ACE=∠DCB=45°,∠B=45°,
∴BE⊥CD,
又∵AC⊥CD,
∴AC∥BE;
当∠ACE=120°时,AD∥CE,理由如下,如图3所示:
∵∠ACE=120°,
∴∠DCE=120°﹣90°=30°,
又∵∠D=30°,
∴∠DCE=∠D,
∴AD∥CE;
当∠ACE=135°时,BE∥CD,理由如下,如图4所示:
∵∠ACE=135°,
∴∠DCE=135°﹣90°=45°,
∵∠E=45°,
∴∠DCE=∠E,
∴BE∥CD;
当∠ACE=165°时,BE∥AD.理由如下:
延长AC交BE于F,如图5所示:
∵∠ACE=165°,
∴∠ECF=15°,
∵∠E=45°,
∴∠CFB=∠ECF+∠E=60°,
∵∠A=60°,
∴∠A=∠CFB,
∴BE∥AD.
19.证明:
证法1:
∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角.
∴∠BAE=∠2+∠3,∠CBF=∠1+∠3,∠ACD=∠1+∠2.
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3),
∵∠1+∠2+∠3=180°.
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°;
证法2:
∵平角等于180°,
∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°,
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣(∠1+∠2+∠3).
∵∠1+∠2+∠3=180°,
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣180°=360°.
故答案为:
∠BAE=∠2+∠3,∠CBF=∠1+∠3,∠ACD=∠1+∠2;∠1+∠2+∠3=180°.
20.
(1)证明:
如图①,延长DC交AB于点E,
∵∠BEC是△AED的一个外角,
∴∠A+∠D=∠BEC,
同理,∠B+∠BEC=∠BCD,
∴BCD=∠A+∠B+∠D.
(2)①证明:
如图②,延长BC、DC分别交AD、BC于点F、G,
由题意可知,∠AFC=∠AGC=90°,
∵在四边形AFCG中,∠AFC+∠AGC+∠A+∠FCG=360°,
∴∠A+∠FCG=180°,
∵∠FCG=∠BCD,
∴∠A+∠BCD=180°;
②解:
由
(1)可知,在凹四边形ABED中,
∠A+∠ABE+∠ADE=∠BED①,
同理,在凹四边形EBCD中,
∠BED+∠EBC+∠EDC=∠BCD②,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC,
同理,∠ADE=∠EDC,
①﹣②得∠A+∠BCD=2∠BED,
由
(2)①可知,在凹四边形ABCD中,∠A+∠BCD=180°,
∴2∠BED=180°,
∴∠BED=90°.
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