高中数学最值问题.docx
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高中数学最值问题.docx
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高中数学最值问题
最值问题
一、点击高考
最值问题是中学数学的重要内容之一,它分布在各块知识点,各个知识水平层面。
以最值为载体,可以考查中学数学的所有知识点,考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法,还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。
因此,它在高考中占有比较重要的地位。
回顾近几年高考,从题型分布来看,大多数一道填空或选择题,一道解答题;从分值来看,约占总分的10%左右。
特别是20KK年北京卷,选择、填空题各一道,解答题有两道,总分值有36分之多;20KK年上海卷,填空题各一道,解答题有两道,总分值有36分之多;20KK年上海卷,填空题一道,解答题也是两道,总分值有近30分,两份试卷中均有一道实际应用问题。
由此看来,最值问题虽然是老问题,但一直十分活跃,尤其导数的引入,更是为最值问题的研究注入了新的活力。
可以预见:
20KK年的高考命题中,有关最值问题,题型、题量、分值将保持稳定,题目的背景会更贴近学生的实际生活,更关注社会热点问题,难度不会太难。
二、考点回顾:
分析已有考法,最值问题的呈现方式一般有以下几种:
1、函数的最值;
2、学科内的其它最值,如三角形的面积最值问题、几何体的体积最值问题、数列的最大项等等;
3、字母的取值范围;
4、不等式恒成立问题,常常转化为求函数的最值,例如:
f(P)>0对P€R恒成立二f(P)的最小值》0成立,
f(P)W0对P€R恒成立二f(P)的最大值W0成立;
5、实际应用问题:
实际应用问题中,最优化问题占的比例较大,通过建模可化为最值问题。
这类题已成为这几年高考的热点。
可以肯定,这个热度会继续保持。
三、知识概要
1、求函数最值的方法:
“数”和“形”,数形结合:
「配方法
z直接法均值不等式法
[单调性
代数方法JI导数法
判别式法
J间接法J
1有界性
函数的图像
平面几何知识
几何方法V严线性规划
.解析几何€斜率
.两点间距离
2、求几类重要函数的最值方法;
(1)二次函数:
配方法和函数图像相结合;
(2)f(x)二x,a(a=0,a・R):
均值不等式法和单调性加以选择;
x
(3)多元函数:
数形结合成或转化为一元函数。
3、实际应用问题中的最值问题一般有下列三种模型:
「能直接判断
Y浮性规划
建立目标函数y
加函数的最值
四、典型例题分析
函数的最值
例1(20KK•全国卷•理•21)设a为实数,f(x)=x2+x—a+1(x^R),
(1)讨论f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)的最小值。
【考查目的】
本题主要考查函数的概念,函数的概念,函数的奇偶性和分段函数的最值等基础知识,考查分类讨论的思路和逻辑思维能力。
【例题详解】
⑴解法一:
常规思路:
禾I」用定义。
f(_x)=x+x+a+1,
2
一f(x)=—x-x—a—1.
若f(x)为奇函数,则f(―x)=-f(x),即2x2+x+a|+|x—a|+2=0.此等式对x迂R都不成立,故f(x)不是奇函数;
若f(x)为偶函数,则f(_X)=f(X),即x2+x+a+i=x2+仪—a+1,此等式对xR恒成立,只能是a=0.
a羊0
故a=0时,f(x)为偶数;时,f(x)既不是奇函数也不是偶函数。
解法二:
从特殊考虑:
f(0)=a+1,
又R,故f(x)不可能是奇函数。
若a=0,则f(x)二f(-x)=x2•x,1,f(x)为偶函数;
a工0
若,则f(a)二a21,f(-a)二a22a1,知f(-a)=f(a),故f(x)在
a0
时,既不是奇函数又不是偶函数。
13
(2)当x乞a时,f(x)=x2-X■a■1=(x)2a,由二次函数图象及
24
其性质知:
1
若a乞-,函数f(x)在(v,a]上单调递减,从而函数f(x)在(Y\a]上的最
2
小值为f(a^a21;
1131
若a•—,函数f(x)在(」:
,a]上的最小值为f(—),且f(―)乞f(a)。
2242
13
当x—a时,函数f(x)=X2•X-a•1=(x)2-a
24
1
f(飞上f(a);
2
1
若a*「-,函数f(x)在[a,:
:
)上单调递增,从而函数函数f(x)在[a,二)上
2
的最小值为f(a)二a10
1311
综上所述,当a_-一时,函数f(x)的最小值是一-a;当--:
:
:
a_-时,函
2422
13
数f(x)的最小值为a21;当a•—时,函数f(x)的最小值是a•—0
24
【特别提示】
1•研究函数奇偶性的关键是考察函数的定义域是否关于原点对称以及
f(x)与f(-x)是否具有相等或相反的关系;或从特殊情形去估计,再加以验证。
2.二次函数的最值解,一般借助于二次函数的图像,考察图像的对称轴与所给定义域区间的相对位置关系不确定,则需分类讨论。
3.本题根据绝对值的定义去绝对值后,变形为分段函数,分段函数的最
值,有些同学概念不清,把每段函数的最小值都认为是整个函数的最小值,从而出现了一个函数有几个最小值的错误结论。
2
例2、已知函数f(x)=°一,x・[1「:
).
x
二f(x)在区间[1,址)上的最小值为f
(1)=7。
2
2
(2)f(xHX2^0在区间[1,=)上恒成立;
x
二x+2x+a=0在区间[1,代)上恒成立;
二x2+2x>-a在区间[1,兄)上恒成立;
寫函数y=x2+2x在区间[1,代)上的最小值为3
-a叮3
即a•-3
【特别提示】
1
1•第
(1)题中,f(x)=x•—•2,这类函数,若x0,则优先考虑用均
2x
值不等式求最小值,但要注意等号是否成立,即用均值不等式来求最值时,必须注意:
一正、二定、三相等,缺一不可。
2•不等式恒成立问题常转化为求函数的最值。
例3、设P为圆x2+y2=1上的动点,则点P到直线3x「4y「10=0的距离的最小
值为。
【考查目的】
本题考查直线和圆的基础知识,解几中的最值问题及多元函数的最值问题,
考查数形结合这一重要数学思想方法。
【例题详解】
解法一:
设点P(x°,y°),则点P到直线3x-4y-10=0的距离为:
〔3x0-4y°—10
d=
5
i上22
又X。
y=1,令X。
=cos:
y°=sin:
(R),贝U
3cos^-4sin。
-10
d=
5
|5cos(a+®)-10|“®4、
(tan)
53
=cosgN)—2
.当cos(l®=1时,d有最小值1。
解法二:
圆心0到直线3x_4y_10=0的距离为2,故圆上的点P到直线3x—4y—10=0的距离的最小值为2-1=1。
【特别提示】
1•本题是解析几何中的最值问题,可借助于形的直观性直接求解,如解法二;也可建立目标函数,转而求函数的最值,如解法一。
2•解法一涉及到求多元函数的最值,一般是通过消元转化为一元函数。
3.函数d=cos©+申)-2的最小值,有很多同学误以为:
当cos©+®)取最小值-1时,函数有最小值,忽视了绝对值。
例4、设曲线y=e」(x_0)在点M(t,e」)处的切线I与x轴,y轴所围成的三角形面积为S(t)。
(1)求切线I的方程;
(2)求S(t)的最大值。
【考查目的】
本题考查导数公式,导数的几何意义,以及导数的应用等导数的基础知识,考查
综合应用能力。
【例题详解】
(1)W=
.在点M(t,e丄)处的切线I的斜率为一e」
-切线I的方程为y-e丄二-e^x-t)
(2)令x=0,得y二e'(1t);
令y=0,得x"t,
1
二S(t)=^|1+te」(1+t)
令S'(t)=0得t=1
又0◎:
:
:
1时,S'(t).0;t1时,S'(th:
:
0,
2
.t=1时,S(t)取到最大值一
e
【特别提示】
1.由导数的几何意义知,函数在点M处的导数值就是曲线在点M处的切线的全斜率,这是本题的突破口
2.建立目标函数,转而求目标函数的最值,这是通法。
3.导数法是求函数最值的通法,但不一定是最佳方法,注意选择。
最值的实际应用
例1(20KK•江苏卷•19)制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损。
某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%,投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?
【考查目的】
本题主要考查简单线性规划的基本知识,以及运用数学知识解决实际问题的能力。
【例题详解】
设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目,
x+^10,
丄#亠片0.3x+0.1y兰1.5,
由题意知
八0,
y一0
目标函数z=x•0.5y
上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)是可行域
jr-1
作直线I。
:
x+0.5y盒0关作平行于直线I。
的一组直线+0.5y=z,R,与可行
域相交,其中有一条直线经过可行域上的M点,此时纵截距最大,这里点M是
杵门织.vnitrtkj门纵;f的m
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直线xy=10和0.3•0.1y=1.8的交点。
解方程组
‘X+y=10,
0.3x+0.1y=1.8
得x=4,y=6
此时z=4•0.56=7(万元)。
.当x=4,y=6时z取得最大值。
答:
投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目,才能在确保可能的亏损不超过1.8万元的前提下,使可能的盈利最大。
【特别提示】
1.有关用料最省、成本最低、利润最大等问题,可考虑建立目标函数,转化为求函数的最值。
2.本题的条件是一组二元一次不等式组,所求目标函数是二元一次线性函数,所以考虑应用线性规划的知识来求解最值。
3.应用线性规划求解最值,关键是目标函数相应的直线的倾角的大小,角的大小不一样,直线经过可行域上的最大值点就不一样。
例2(20KK•北京卷•理•19)有三个新兴城镇,分别位于A、B、C三点,且AB二AC二a,BC=2b,今计划俣建一个中心医院,为同时方便三镇居民就医,准备建在BC的垂直平分线上的P处(建立坐标系如图),
(1)若希望点P到三镇距离的平方和为最小,点P应位于何处?
(2)若希望点P到三镇的最远距离为最小,点P位于何处?
不等式等基本知识,考查运用数
学知识分析问题和解决问题的能力,考查分数讨论、数形结合等数学思想方法。
【例题详解】
(1)由题设可知,a〉b>0,记h=Ja2-b2,设点P的坐标为(0,y),则
点P至三镇距离的平方和为
f(y)=2(b2y2)(h-y)2
h222c2
5巧)-h2b,
.当y=§时,函数f(y)取得最小值
点P的坐标是(0丄Ja2_b2)
3
h-y时,
y2vh_y时
22
记y=,则
]b2+y2当八yW,b_y|,当y 、匕* 当y 2h -0,即h亠b时, b2y2在[y”「: )上是增函数, 而h—y在(-处,y^]上是减函数。 由此可知, 当y二y*时,函数g(y)取得最小值b; 函数b2y2在[y*,•: : )上先减后增,当y=0时,取得最小值b,而 h-y>b. 可见,当y=0时,函数g(y)取得最小值b. 当h—b时,点P的坐标为(0, 当hcb时,点P的坐标为(0,0)。 其中h=Ja2-b2 解法二: 点P至三镇的最远距离为 宀[『y2,当八丫时 g(y)=[t十 jh—y,当y 当y”_0,即h_b时,z=g(y)的图象如图( g(y)二 1)所示。 二当y=f时,函数g(y)取得最小值当y*<0,即g 口图 (2)所示 数g(y)取得最小值。 为(y)的图象如 y 0 hZb时,点P的坐标为0, a2二2b2 2心二2 当hcb时,点P的坐标为(0,0),其中h=^a2-b2 【特别提示】 1.有关涉及用料最省,成本最低,利润最大,距离和最大(小)等应用问题,可考虑建立目标函数,转化为求函数最值问题来解决。 2•解决第 (2)问首先要理解“点P到三镇的最远距离”的含义,才能分 Ja2+y2首h—y和Jb2+y2c|h-y两种情形列式。 3.函数的单调性在求最值中有着重要作用,运用函数的单调性求函数的最 值,是函数中常用的技巧之一。 4•第 (2)问的解法二,借助图象比较大小,直观有效,新颖别致,望加以体会。 【例3】如图,四边形ABCD是一块边长为4km的正方形地域,地域内有一条河流MD,其经过的路线是以AB中点M为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)•新长城公司准备投资建一个大型炬形游乐园PQCN(如图所示)问如何施工才能使游乐园面积最大? 并求出最大面积• 【考查目的】 本题考查解析几何,函数最值以及导数应用等基本知识,考查建模解模的能力,考查数形结合的数学思想方法。 【例题详解】 以M为原点,AB所在直线为P轴建立直角坐标系,依题意可设抛物线方程 2小 y2px。 四边形ABCD是边长为4的正方形,M为AB中点, 设P(y2,y)(0一y一2)是曲线MD上任一点,则 PQ=2+y,PN=4_y 矩形游乐园面积 S=PQPN|=(2+y)(4_y2)=8_y3_2y2+4y 对S求导,得 S'=-3y2-4y4 令s=o,得 2 3y•4y—4=0 9 解之得y二一,或y=-2 3 0兰y兰2, 2 当厂(0,—)时,S'0,函数为增函数; 3 2 所以当a时,S有最大值。 此时,PQ=2+y=2+? =8, 33 游乐园最大面积为Smax—32=256(km2) 3927 【特别提示】 1.通过建系,可把形的问题转化为数的问题来解决 2.商次整式函数的最值通常应用导数来求解。 五、能力训练 (1) 、选择题1、已知0: : : x_1,则y=1-x的最小值是() 4x 2、下列的函数中,最小值为4的是() 44 A.y二xB.y二sinx(0: : x: : 二)xsinx C.y二2ex2e»D.y=log3x4logx3(0: : x: : 1) () 3、函数f(x)=x‘-3x1在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是 A.1,-1B.1,-17C.23,-17D.9,-19函数f(x)二,x24.(x-2)21的最小值是(). A.、13B.32C.2、5D.3 5、在区间[1,2]上,已知函数f(x)=x2+px+q与g(x)=2x+4在同一点 2x 取得相同的最小值,那么f(x)在[1,2]上的最大值() 2 135 A.13B.4C.8D.5 44 6、某汽车运输公司为增强市场竞争力,购买了一批豪华客车投入客 运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x为二 次函数关系(如图).若使每辆客车营运的年平均利润最大,则每辆客车营运的年数为(). A.3B.4C.5D.6 (2)、填空题 7、已知x+y+1=0,则J(x—1)2+(y-1)2的最小值是上 8若函数y=a2x2ax—1(a0且a")在L1,1〕上的最大值为14,贝卩实数a的值为. (3)、解答题 9、设二次函数f(x)二ax2bxc(a0). (1)已知f(0)=|f (1)|=f(—1)|=1,20求f(x)的最小值; (2)对一切实数x,f(x)的值恒为非负实数,求M=abC(a: : : b)的 b—a最小值. 10、在直角坐标平面上给定一曲线y2=2x. (1)设点A的坐标为(2,0),求曲线上距点A最近的点P的坐标及 3 相应的距离PA; (2)设点A的坐标为(a,0),a・R,求曲线上的点到A的距离的最小值d=f(a). 11、已知f(x)=ax22bx4c(a,b,cR). (1)若f(x)同时满足下列条件: ①aa0;②当x兰2时,有f(x)兰2;③当x<1时,f(x)最大值为2.求f(x)的解析式; (2)当b=4,c=3时,对于给定的负数a,有一个最大的正数1(a), 4 使得x・[0,l(a)],时,都有f(x)乞5,问a为何值时,1(a)最大,并求出 这个最大值. 12e(1t)(t-0) 2 S'(t)「-1e4(1t)2*(1t)e4 14 e(1t)(1-t) 2
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