高等数学函数极限练习题.docx
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高等数学函数极限练习题
高等数学函数极限练习题
2xf(x)f(x),设,求的定义域及值域。
1,x
设f(x)对一切实数x,x成立f(x,x),f(x)f(x),且f(0),0,f
(1),a,121212
求f(0)及f(n)((n为正整数)
I(x)f(x)定义函数表示不超过x的最大整数叫做x的取整函数,若表示将x之值保留二
I(x)f(x)表示。
位小数,小数第3位起以后所有数全部舍去,试用
I(x)g(x)表示不超过x的最大整数叫做x的取整函数,若表示将x依4舍5入定义函数
I(x)g(x)表示。
法则保留2位小数,试用
在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元,而零售价为0.40元,并且如果报纸当天未售出不能退给报社,只好亏本。
若每天进报纸t份,而销售量为x份,试将报摊的利润y表示为x的函数。
定义函数I(x)表示不超过x的最大整数叫做x的取整函数,试判定,(x),x,I(x)的周期性。
x,x判定函数f(x),(e,1),ln(1,x,x)的奇偶性。
x设,问在,上是否有界,fxexfx()sin(),,,0,,
函数的图形是图中所示的折线,写出的表达式。
yfxOBAyfx,,()()
2,,x, 0,x,2;x,0,x,4;,,,,求f,(x)及,f(x)(设(),,(),fxx,,x,2,2,x,4(x,2,4,x,6(,,
,,10,;x设fx()()()(),,,,xxfxfx,,21,求及(,,,,,10,(x,,
x0,,0;x,,,,,0;ex求f(x)的反函数g(x)及f,,,(x)(设(),,(),fxx,,2, ,0(,,,0(xxxx,,
xx,;,01设,fxxxx()()()(),,,,,求(fx,,,22xx,(,0,
20,,xx,;设fx()(),求(ffx,,,20, (x,,
0,x,0;x,1,x,1;,,设f(x),,(x),求f(x),,(x)(,,x,x,0(x,x,1(,,
x,ex, ;,,,,0,设fx()()(),xx,,,104,;求的反函数(fxx,,
xx,,,,,1, ,(,
xx,;,,,,1,2设fx()()(),xx,;14,,求的反函数(fxx,,
x24,(,,,,x,
2,xx1,,,0;,设f(x),求:
,xx,,,0(,
(1)f(x)的定义域;2
(2)f
(2)及f(a)((a为常数)。
,,,11,;x
22设fx()()(sin)(),xx, ;,1求(fxfxfxx,,,,,3546,
11, (x,,
210xx,,,;设fx()(),求(fx,1,2xx,,40,(,
2,xx,;,1,,设fx(),,求及(ff(cos)(sec),44logxx,(,12,
x,2,,1,x,0;,
设f(x),0, x,0;试作出下列函数的图形:
x,2, x,0(,
f(x),f(x)
(1)y,f(x);
(2)y,f(x);(3)y,(2
x,,2,x,0;,
设f(x),1,x,0试作出下列函数的图形:
,x,2,0,x,2,
f(x),f(,x)
(1)y,f(x);
(2)y,f(,x);(3)y,(2
2,1,x,x,1;,设f(x),试画出y,f(x),y,,f(x),y,f(x).的图形。
,x,1,1,x,2(,,
(x),,1,x,0,,,设f(x),求,(x),使f(x)在,,,1,1上是偶函数。
2,x,x,0,x,1(,
(x),当x,0时,,
设f(x),0, 当x,0时,,
1x,,当x,0时(,x,
(1)求f(2,cosx);
(2)求,(x),使f(x)在(,,,,,)是奇函数。
0, ,1,x,0;,
设f(x),x, 0,x,1;F(x),f(1,2x),,
2,x, 1,x,2(,
(1)求F(x)的表达式和定义域;
(2)画出F(x)的图形。
010, ,,,x;
设fx(),xx,,,101, ;求的定义域及值域。
fx(),
212,,,xx, (,
10,,xx,;设fx(),求、及的值。
fff()()(),202,x20,x,.,
2,xxx,,,,;11,设fx()()(),求,其中(fafaa,,,,110,2,xxx,,,21,
求函数的反函数,并作出这两个函数的图形。
yx,,ln1
求函数的反函数,并作出这两个函数的图形(草图)。
yxyx,,,sin()(),4
求函数的反函数,并作出这两个函数的图形(草图)。
yxyx,,,tan()()1,
利用图形的叠加作出函数的图形。
yxx,,sin
1利用图形的叠加作出函数的图形。
yx,,x
1作函数的图形(草图)y,。
x,1
作函数的图形(草图)yx,,ln()1。
作函数的图形。
(草图)yx,,arcsin()1
作出下列函数的图形:
(草图)
2
(1)y,x,1;
2
(2)y,,x;
2(3)y,(x,1)(
设函数,就和时,分别作出其草图。
yaxaa,,,,lg12
x利用y,2的图形(如图)作出下列函数的图形(草图):
x
(1)y,2,1;
1x
(2)y,2(3
利用y,sinx的图形(如图)作出下列函数的图形:
(草图)
(1)y,sin2x;
(2)y,sin(x,)。
4
利用的图形(如图)作出下列函数的图形:
(草图)yx,sin
1()sin1yx,;2
1()sin2yx,,12
ππ
2
x求函数y,ln(,,,,,)的反函数,并指出其定义域。
3
x求函数y,ch(,,,x,,,)的反函数,并指出其定义域。
3
x求函数y,Sh(,,,x,,,)的反函数,并指出其定义域。
3
2xe,1y,求函数,的反函数,并指出其定义域。
2xe,1
12验证1,,,cthx。
2shx
12验证1,,thx。
2chx
验证ChChChShSh(),,,,,,,,,。
验证ChChChShSh(),,,,,,,,,。
验证ShShChChSh(),,,,,,,,,。
验证ShShChChSh(),,,,,,,,,。
验证。
22ShxChxShx,,
22。
证明ShxChxChx,,2
x,a设f(x),arctanx(,,,x,,,),,(x),,1,ax
,(a,1,x,1),验证:
f,(x),f(x),f(a)。
设,,求fxxxxfx()ln()(),,,,11,,。
,
x1设,,求fx()()(),,,x,fx。
,2x1,x
x设,,求、及。
fxxxfxfxffx()sin()()()(),,,,,2,,,,,,
1设,,求及。
fxxx()()()(),,,1,,,fxfx,,,,2x,1
,,x1设,,求及fx()(),xxf,,01fffx。
,,,,,,,,x,1fx(),,
21x,1设,,求及其定义域。
fx()()(),,,x,fx,,2x,1x,12x已知,,且,求,并指出其定义域。
fxefxxxx()()()(),,,,,,,10,,
2设,,求及。
fxxxxfxf()ln()()(),,,,,,10,,,,
设,,求及其定义域。
fxxxxfx()arcsin()lg(),,,,,,
2求函数的反函数,并指出反函数的定义域。
yxx,,,,11()
3求函数的反函数,并指出其定义域。
yxx,,,,lgarccos()11
1,x求函数y,arctg的反函数。
1,x
1xx,求函数的反函数,并指出其定义域。
yee,,()2
ax,求函数的反函数的形式。
y,ln()a,0ax,
xe求函数的反函数,并指出其定义域。
y,x1,e
求函数的反函数yxxx,,4。
1,1,x求函数f(x),(x,1)的反函数,(x),并指出,(x)的定义域。
1,1,x
2求函数的反函数式中,。
fxxxxaa()log()()(),,,,,101,a
xxee,设,求的反函数,并指出其定义域fx()()().,fxx,,xxee,
x设,试讨论的单调性和有界性。
fx()()(),0,,,,xfx1,x
1讨论函数在区间,和,内的单调性。
fxx()()(),,,,011x
x讨论函数的有界性。
fx(),21,x
1讨论函数,当,,时的有界性。
fxx()()(),,,,,,00:
1
x32,x讨论函数在,上的单调性。
fx()(),,,,,2
x讨论函数在,上的单调性。
fxxaa()()(),,,,,,,1
讨论函数在,内的单调性fxx()ln(),,,,10。
x,2,,1,x,1,设f(x),,,(x),f(a,x),b,x,1,1,x,3,
试求a,b的值,使,(x)(x,0除外)为奇函数。
xe,11,x判断的奇偶性fx()ln(),,,,11x。
x1,xe,1
xx证明是奇函数fx()()(),,,,2323。
判定在其定义域,上的奇偶性。
fxxarcx()cot(),,,,,,
2233判定 的奇偶性。
fxxxx()()()(),,,,,,,,,,1313
a判定f(x),(a,0)(,,,x,,,)的奇偶性。
22x,a,x
x2e。
设f(x),,求奇函数G(x)与偶函数F(x),使f(x),G(x),F(x)x1,e
11设函数满足,讨论的奇偶性。
fxfxf()()()()42,,fxxx
2判断f(x),log(x,x,1)(a,0,a,1)的奇偶性。
a
xa01判定函数,的奇偶性。
fx()(),aa,,2x1a,
设函数对任意实数、满足关系式:
fxxy()
fxyfxfy()()(),,,()()10求;f
()()2判定函数的奇偶性。
fx
11求的最小正周期。
fxxxx()sinsinsin,,,23232,,,,设f(x)是以T,2为周期的周期函数,且在0,2上f(x),x,2x,求f(x)在,2,4
上的表达式。
求f(x),sin3x,cosx的最小正周期。
设为奇函数,且满足条件和。
fxfafxfxf()()()()()122,,,,
()()()()12试求及 为正整数;ffnn
()()22如果是以为周期的周期函数,试确定的值。
fxa
xx,设 Fxxxex()()(),,,,,,,,,1,,
则Fx()
()A是奇函数而不是偶函数;
()B是偶函数而不是奇函数;()C是奇函数又是偶函数;
()D非奇函数又非偶函数。
答( )
212,x讨论函数在,的有界性fx()(),,,,,。
41,x
设是定义在,内的任意函数,则是( )fxfxfx()()()(),,,,,,
()()AB奇函数; 偶函数;
()()CD非奇非偶函数;非负函数。
下列函数中为非偶数函数的是( )
x21,,,,()sin()arccosAyxByx; ;x21,
x222,,,,,,,3434,,1()()lg()CyxxxxDy;xx21,x
设,,,则 fxxxfx()()()(),,,,,
()()A在,单调减;,,,,
()()B在,单调增;,,,,()()()C在,内单调增,而在,内单调减;,,,,00
()()()D在,内单调减,而在,内单调增。
,,,00
答( )
xx,fxeex()()sin(),,,,,,在其定义域,上是
()()AB有界函数; 单调增函数;()()CD偶函数; 奇函数。
答( )
fxx()sin(),,,,在其定义域,,上是
()()AB奇函数; 非奇函数又非偶函数;
,()()CD最小正周期为的周期函数;最小正周期为的周期函数。
2
答( )
cos()x,2fx(),在定义域,上是(),,,,21,x
()()AB有界函数; 周期函数;()()CD奇函数; 偶函数。
答( )
2fxx()(cos)(),,,,,3在其定义域,上是
,()()AB最小正周期为的周期函数; 最小正周期为的周期函数;332,()()CD最小正周期为的周期函数; 非周期函数。
3
答( )
3,,,,,xx,30,设fx(),,则此函数是,3,xx,,,02,
()()AB奇函数; 偶函数;
()()CD有界函数; 周期函数。
答( )
3,sinxx,,,,,0,设fx(),,则此函数是,3,,,,sinxx,0,,
()()A周期函数; ,单调减函数;
();()CD奇函数 偶函数。
答( )
xx,fxxee()()(),,,,,,在其定义域,上是
()()AB有界函数; 奇函数;()()CD偶函数; 周期函数。
答( )
ax,函数 是fx()ln(),a,0ax,
()()AB奇函数; 偶函数;()()CDa非奇非偶函数;奇偶性决定于的值
答( )
下列函数中为非奇函数的是
x21,2(); ()lg
(1);Ay,By,x,,xx21,x22()arccos;()3737Cy,xDy,x,x,,x,x,21,x
答( )
1关于函数的单调性的正确判断是y,,x
1()Axy当时,单调增;,,,0x
1()Bxy当时,单调减;,,,0x
11()Cxy当时,单调减;当时,单调增;,,,,,,0xy0xx
11()Dxy当时,单调增;当时,单调增。
,,,,,0xy0xx 答( )
下列函数中(其中表示不超过的最大整数),非周期函数的是xx,,
2,2()sincos()sinAyxxByx,,,; ;
()cos()CyabxDyxx,,,,; ,, 答( )
下列函数中为奇函数的是
22,,,()tan(sin)()cos()AyxxByxx; ;4
xx,22,,,()cos(arctan)()CyxDy;
答( )
x求函数的定义域及值域y,arcsin(lg)。
10
2x确定函数的定义域及值域y,arccos。
21,x
求函数的定义域及值域yx,,lg(cos)12。
2求函数的定义域及值域yxx,,,2。
f(x)f(x,1),f(x),8x,3f(0),0f(x)已知是二次多项式,且,,求。
图中圆锥体高OH=h,底面半径HA=R,在OH上任取一点P(OP=x),过P作平面,垂直于OH,试把以平面,为底面的圆锥体的体积V表示为x的函数。
设一球的半径为r,作外切于球的圆锥,试将圆锥体积V表示为高h的函数,并指出其定义域。
在半径为R的球内嵌入一内接圆柱,试将圆柱的体积表示为其高的函数,并指出函数的定义域。
在半径为20厘米的圆内作一个内接矩形,试将矩形的面积表示成一边长的函数。
:
135生产队要用篱笆围成一个形状是直角梯形的苗圃(如图),它的相邻两面借用夹角为
的两面墙(图中AD和DC),另外两面用篱笆围住,篱笆的总长是30米,将苗圃的面积表示成AB的边长x的函数。
有一条由西向东的河流,经相距150千米的A、B两城,从A城运货到B城正北20千米的C城,先走水道,运到M处后,再走陆道,已知水运运费是每吨每千米3元,陆运运费是每吨每千米5元,求沿路线AMC从A城运货到C城每吨所需运费与MB之间的距离的函数关系。
y,xy,2,xx,[0,2]由直线,及x轴所围成的等腰三角形OAB。
在底边上任取一点,过x作垂直x轴的直线,试将图上阴影部分的面积表示成x的函数。
旅客乘火车可免费携带不超过20千克的物品,超过20千克,而不超过50千克的部分,每千克交费0.20元,超过50千克部分每千克交费0.30元,求运费与携带物品重量的函数关系。
设有一块边长为a的正方形铁皮,现将它的四角剪去边长相等的小正方形后,制作一个无盖盒子,试将盒子的体积表示成小正方形边长的函数。
等腰直角三角形的腰长为l(如图),试将其内接矩形的面积表示成矩形的底边长x的函数。
在底AC=b,高BD=h的三角形ABC中,内接矩形KLMN(如图),其高为x,试将矩形的周长P和面积S表示为x的函数。
设M为密度不均匀的细杆OB上的一点,若OM的质量与OM的长度的平方成正比,又已知OM=4单位时,其质量为8单位,试求OM的质量与长度间的关系。
等腰梯形ABCD(如图),其两底分别为AD=a和BC=b,(a>b),高为h。
作直线
a,ba,b(,x,),将梯形内位于直线MN左边MN//BH,MN与顶点A的距离AM=x22
的面积S表示为x的函数。
建一蓄水池,池长50m,断面尺寸如图所示,为了随时能知道池中水的吨数(1立方米水为1吨),可在水池的端壁上标出尺寸,观察水的高度x,就可以换算出储水的吨数T,试列出T与x的函数关系式。
x设 ,求的定义域fx()arcsin(lg)().,fx10
x,3设 求的定义域fx()arcsinln(),().,,,4xfx2
22设 ,求的定义域fxxxxxfx()lg()(),,,,,,6556。
1设f(x),2,x,,求f(x)的定义域.lg(1,x)
f(x),lg(1,2cosx),求f(x)的定义域。
设
lgx,1,,设 f(x),,求fx的定义域。
2x,1
29,x2x,1设 f(x),,srcsin,求f(x)的定义域。
ln(x,2)4
2232,,,,设 ,(t),t,1 求,(t) ,(t) ,,(t)设 f(x,2),x,2x,3 求f(x)及f(x,h).
,,x11。
设 f(x),,求f
(2),f(a), f(), f,,1,xaf(x),,
1,x1,,设 f(x), 求f()及ff(x).设 f(x,1),x,2x,求f(x).1,xx
xx设 f(sin),1,cosx, 求f(cos).22
21x,2x2求f(x)设 2f(x),xf(),,。
xx,121x设 f(x,), (x,0),求f(x)。
4xx,1
2设 z,x,y,f(x,y),且当y,0时,z,x,求f(x)及z。
f(x)t。
设 f(t),e,证明 ,f(x,y)f(y)
2设F(x),lg(x,1),证明当y,1时有F(y,2),F(y,2),F(y)。
y,z1,x设f(x),ln,证明f(y),f(z),f()1,x1,yz(式中y,1,z,1).
5x,2。
设f(x),2,求f
(2),f(,2),f()2
2512设ft,t,,,t证明ft,f()25,()()。
2ttt
1x2。
设f(),x(),求f(x)xx,1
2设f(x,1),x , 求f(2x,1)。
2t1,。
y,,2t,5,求f(x)设y,f(t,x),且当x,2时x2
2设f(lnx),x,x,2,0,x,,,,求f(x)及其定义域。
12。
设f(),x(1,x,1) (x,0),求f(x)x31x,x设f(x,), (x,0),求f(x)。
42xx,3x,1
x1,x设f(x),,求f() (x,,1)。
21,x1,x
2设f(x),ax,bx,c,计算f(x,3),3f(x,2),3f(x,1),f(x),1a,b,c的值,其中是
给定的常数。
a设f(x),,bx,c (x,0,abc,0),x
m。
求数m,使f(),f(x),对一切x,0成立x
x,5设f(x),lg,x,5
(1)确定f(x)的定义域;
,
(2)若fg(x),lgx,求g
(2)的值。
设y,1,a,f(x,1)满足条件,y|,x及y|,2,a,0x,1求f(x)及y.
12设,求的定义域fxx()arctan(),,,25fx。
x
2xx,5。
设,求的定义域fx()lg(),fx6
22,x设f(x),,求f(x)的定义域。
1,x
2设f(x),sinx,16,x,求f(x)的定义域。
f(x)(m,0)F(x),,a(b,F(x),f(x,m),f(x,m)设的定义域为,,求的定义域。
2x2求函数f(x),arccos,1,x,2x的定义域。
1,x
2,x1,,。
设f(x),ln,求f(x),f的定义域,,2,xx,,
2x,1设f(x),arcsin,sin,x,求f(x)的定义域。
5
22,x2f(x)f(x),,ln(x,x)设,求的定义域。
x
f(x),log(logx)的定义域是_________________。
22
2xf(x),的定义域是________________。
2x,3x,2
2x,1f(x),arcsin函数的定义域用区间表示为______________。
3
1f(x),函数的定义域用区间表示为________________。
x,x
f(x),arccos(2x,1)函数的定义域用区间表示为_____________。
f(x),x(x,4)函数的定义域是_____________。
2f(x),ln(6,x,x)函数的定义域用区间表示为______________。
1f(x),函数的定义域用区间表示为_____________。
ln(x,4)
f(x)f(x),x,1,ln(2,x)设,则的定义域用区间表示为。
2,xf(x),函数的定义域用区间表示为_______________。
x,2
f(x)f(x),arcsin2,x设,则的定义域用区间表示为______________。
2f(x)f(1,x)设的定义域是(0,1),则的定义域是________________。
f(x),lnx,(x),arcsinxf[,(x)]设,,则的定义域是________________。
2f(x)f(x)设的定义域是[0,4),则的定义域是______________。
1,,f(x)(1,2]设的定义域是,则的定义域是______________。
f,,x,1,,
f(x)f(lgx)设的定义域是(0,1),则的定义域是______________。
f(x),sin(arcsinx)g(x),arcsin(sinx)与函数是否表示同一函数,为什么,函数
2g(x),2ln(x,1)f(x),ln(x,2x,1)函数与函数是否表示同一函数,为什么,f(x),cos(arccosx)g(x),x函数与函数是否表示同一函数,为什么,
122g(x),sinxf(x),(1,cosx)函数与函数是否表示同一函数,为什么,x,11函数f(x),与函数g(x),是否表示同一函数,为什么,21,xx,1
lgxf(x),10g(x),x函数与函数是否表示同一函数,为什么,
3343g(x),xx,1f(x),x,x函数与函数是否表示同一函数,为什么,
x
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