不定积分学习指导.docx

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不定积分学习指导

第四章不定积分

1学习指导

1.基本要求

⑴正确理解原函数与不定积分的概念，熟悉原函数与不定积分的关系；

⑵掌握并能推证不定积分的性质，牢记并能熟练运用基本积分公式；

⑶熟练掌握求简单函数不定积分的直接方法；

⑷掌握不定积分的换元积分法与分部积分法；

⑸了解有理函数、简单无理函数、三角函数有理式的不定积分；

⑹掌握求典型初等函数不定积分的方法；

⑺掌握积分表的使用方法。

2.重点与难点

重点不定积分的概念，基本积分公式，换元积分法，分部积分

法；

难点换元积分法。

3.学习方法

⑴不定积分与微分互为逆运算，“积分法”是在“微分法”的基础上建立起来的。

由初等函数的微分法可推出求不定积分的法则。

如由复合函数的求导法则可以得到换元积分公式，由乘积的求导法则可以得到分部积分公式。

⑵求不定积分的方法是，设法将所求的积分化为基本积分表中已有的积分形式，以便运用公式求不定积分，具体转化时，可以利用积分性质、换元积分法、分部积分法及代数三角恒等变形等方法。

常用的三角恒等式包括平方和（差）等于1、倍角的正弦及余弦公式、和差化积及积化和差公式。

下面列出常用的求不定积分的方法。

1直接积分法

这种方法是将被积函数作代数、三角恒等变形，直接利用基本积分公式或不定积分的线性运算性质进行求解。

2第一类换元积分法（凑微分法）

这类积分法主要解决被积函数为复合函数的积分。

求不定积分

gxdx，关键是将被积表达式gxdx凑成复合函数的微分f：

：

Xxdx的形式，再由■'Xdx=d「X得gxd^f:

x'xd^fudu，即将积分gxdx转化为fudu，若能求得fu的原函数，就得到了gx的不定积分，因此熟悉常见的凑微分形式非常重要。

应注意，利用第一类换元法求不定积分时，有时不必写出换元积分变量，而将：

x视为

整体变量■直接计算。

常见的第一类换元积分类型如下：

faxnbxn'dx=丄faxnbdaxnb（n为自然数）；

na

fexexdx=fexdex；

1

fInxdx二fInxdlnx；

x

fsinxcosxdx二fsinxdsinx，用于求积分sinmxcos2n'xdx

（m,n是自然数）

fcosxsinxdx二-fcosxdcosx，用于求积分.sin2m^xcosnxdx

（m,n是自然数）

ftanxsecxdx二ftanxdtanx，用于求积分tanmxsec2nxdx

（m,n是自然数）

fsecxsecxtanxdx二fsecxdsecx，用于求积分tan2mJxsecxdx

（m,n是自然数）

dx二farcsinxdarcsinx;

「1

farcsinx2

1

farctanxC

Ji_x

dx二farctanxdarctanx；

Jf（Jxdx=2JfG/xd吋x；Vx

3第二类换元积分法

第二类换元积分主要处理带根式的不定积分问题，关键是作一个

适当的变量代换x=「t将根号去掉，使被积函数为f「t「t,整理

化简成gt，而函数gt的原函数容易求出，这里t的选择与被积

函数中根式的表达形式有关，代换时注意符号的讨论，求出原函数后则应注意回代积分变量，特别是作三角代换计算不定积分后，应借助

于辅助三角形进行变量还原，常见的第二类换元有下列类型:

fx,、a2-x2dxfx,.a2x2dx

fx,、x2-a2dx

（令x=asint）；

（令x二atant）；

（令x=asect）；

fx,ax2bxcdx，将被积函数配方，化成上述三种形式之一，

再作变量代换;

ff（x,对ax+bdx（令Max+b=t）；

fx,；axb,maxbdx（令：

axb二t，

p是m，n的最小公倍数）；

当被积函数含有丄时，常用变换X」化简被积表达式

xt

4

分部积分法

当被积函数可视为UX和v'x的乘积，即fxpuxv'x时，常用分部积分公式

II

Juvdx=nv-Juvdx

计算不定积分。

使用分部积分公式求不定积分，关键是正确选择u及

v',选择u,v'应遵循如下原则：

10由v'或dv容易求出v；

2°u'vdx要比.uv'dx容易积分（即u求导后形式更简单）。

选择u,v的一般方法是，将被积函数看成两函数之积，按反三角函数、对数函数、幕函数、指数函数、三角函数顺序，排在前面的取为u，后面的取为v'.

5有理函数的积分

有理函数的积分，可归结为多项式和真分式的积分，而真分式可分解为部分分式之和，因此求有理函数不定积分的步骤是：

将被积函数进行分解，使被积函数二多项式+部分分式（其中部分分式的分母为一次或二次不可约因式，分解部分分式所用的方法是待定系数法），

然后分别求各部分的不定积分。

理论上，任何有理函数都可以求出其不定积分，但将真分式化成部分分式有时十分困难，因此在解有理函数的积分时，应全面分析被积函数的特点，寻求其他简便方法。

6三角有理式与简单无理式的积分

某些无理根式及三角有理式的不定积分，经过变量代换常可化成

有理函数的不定积分，无理根式的常见换元类型见本目③.

对三角有理式Rsinx,cosx，经万能代换u二tan仝，有

2

2u1-u2,2du

sinx2，cosx二2，dx亏，

1+u21+u21+u2

从而

Rsinx,cosxdx二R

+u丿1+u

22du

是有理函数的积分，原则上应用万能代换可计算任意一个三角有理式的积分，但计算往往繁杂，因此，仅当没有更简便方法时才用此方法求解

⑶许多不定积分的计算需要综合运用上述各种方法，一般从被积表达式的形式可以决定先用哪种方法，后用哪种方法。

求不定积分往往不止一种方法，用多种方法求解，可以培养灵活的思维能力，也可以比较解法之联系，从中选取最简解法。

应注意，对不定积分用不同的方法求的结果，形式可能不完全相同，但它们的导数都等于被积函数。

⑷注意，并非所有的连续函数都能求出其不定积分，原因是它们

的原函数不是初等函数。

如ex2,sinx2，沁，丄，-「X3，•1-k2sin2x

Inx

0.k„1等。

2解题指导

1•基本积分法

例1求下列不定积分:

⑷secx（secx-tanx）dx.

⑶（1_丄）、xxdx；

x

解题思路此类积分形式比较简单，只需经过三角恒等变形或代

数运算，就可利用基本公式求解。

cos2x’cos2x-sin2x「

dxdx二（cosx-sinx）dx=sinxcosxC

I■l}]■J\'

cosxsinxcosxsinx

1,—尸3—4---

⑶（1亍）、xxdx=x4dx-x4dxx44x4C

x^7

⑷secx（secx-tanx）dx二secxdx-secxtanxdx二tanx-secxC例2计算Jx-2dx.

解题思路被积函数是绝对值函数或分段函数，求其不定积分，

应先分别求函数在各段上相应区间内的不定积分，然后利用原函数的

连续性，确定各任意常数间的关系,

最后用一个任意常数表示其不定

积分。

解因为

于是

'12

2x——x+C2,x<2,

F（x）=』x—2dx=仃2

-x2-2x+C1,x>2.

.2

由被积函数的连续性，有F（2•0）=F（2一0）=F

（2），即C?

二C-一4，所以

12

2xx+G-4,xc2,妝-2dx=t[2

-x一2x+G,xA2.

•2

2.第一类换元积分法

解题思路使用第一类换元法的关键是“凑”出函数的微分，方法是利用一些常见函数的微分形式。

但如果不易直接得到，则可应用

拆项、加项、减项、同乘除因子、三角恒等变形等方法将被积函数变形，化简成简单函数后再求不定积分；也可以从被积函数中取出部分

表达式，求其导数后寻找规律，再确定如何凑微分。

解⑴注意到tanxsecxdx=dsecx，且tan2sec21，所以

tan3xsecxdx二tan2xdsecx二（sec2x-1）dsecx二-sec3x-secxC

3

⑵降幕法与化同名三角函数是求解形如sinmxcosnxdx形式不定

积分的基本方法。

一般地，若两个函数都是偶次幕，则通过半角公式

降幕；若至少有一个函数为奇次幕，则将奇次幕分为一次幕与偶次幕

的乘积，化为同名三角函数求解。

对本题，由于sinx是奇次幕，且

sin2x"-cos2x，故原积分可以化成f（cosx）d（cosx）形式，所以

sin3xcos4xdx--（1-cos'

⑶将被积函数分成两部分,

、41517厂

x）cosxdcosxcos

57

第一项凑微分得xdx=」d（x2•1），第二

2

项凑微分得七dx'ar如x，

3

,（arctanx）,

dx2dx

」1+x2

5

122-

ln（1x）（arctanx）2C.

⑷这是一个有理函数的积分，但将被积函数分解为部分分式很麻烦，若将分子的1写成-，再加一个因式，同时减去该因式，可与分

4

母的两项联系起来；若注意到分母次数高于分子次数，作倒代换

t

也可简化被积表达式。

方法1

.1,1,4+x3-x3

x（x34）x_二x（4x3）

11

3）dx「（匚dx「

2

"dx）

=」lnx-丄In

4

12

4+x3

方法2

令x」，则

t

」ft/dt、

dx二-（-尹）

—4tt3

t2dt1d（14t3）

14t3一1214t3

13

—In1+4t+C

12

⑸本题分母有两项，对分子分母同乘一个因子，可将分母化成单

项；也可以用倍角公式将分母化为单项。

dsinx（2

2（cscx-1）dx

sinx

1,小.x

cotx-xC=-cotxC.

sinx2

2xxx

=（csc2）dcotxC.

'222

⑹因为（xlnx）=1Inx，即d（xlnx）=（1lnx）dx，所以

3.第二类换元积分法

例4求下列不定积分:

x—

⑵（"0）；

a—x

⑶x（「3x）dx；

1Tnx

但可利用变量代换转化积分形式后利用基本积分公式求解。

常用的代

换方法有:

⑴三角代换与双曲代换。

这类代换针对某些特殊的无理根式，如

对⑴题作代换Xrased或x二acosht可消去根式。

注意作三角代换后应

利用辅助三角形进行变量还原。

⑵根式代换。

对某些含有根式的被积函数，通过根式代换可将其转化为有理函数积分，方法是取同形根式中方幕的最小公倍数作为代换形式。

如对⑶题作代换t=6x.

⑶指数代换。

当被积函数中含有指数函数eax时，用代换u=eax可转化积分形式，但常常需要配合其他变换。

⑷倒代换x=1.如果m,n分别表示被积式中分子分母变量的最高

t

次数，则当m-n：

：

：

1时，用倒代换较简。

解⑴方法1令x=sect，则

dt一costdt一sintC-亠C

x

1

X2.X2-1

方法2由被积函数的特点’作倒代换x+，则

dt」「d（1二t：

）—2。

丄＜.

2,1-t2x

⑵方法1该被积表达式带有根号，作变量代换，先去掉根号。

令、ax=t，则x=仔

.a-x1tdt=2a皿！

=-2atdJ笋2a

'（严+盯Lt2+1t2+11

ax22

——a2_x2C.

a-x

2at

=2aarctantC=2aarctan

t2+1

方法2将被积函数分子有理化，再令x=asint，则

aXdx=

a「Xa~-x

ad+sint）,

dxacostdt

acost

二a1sintdt二at「acostC=aarcsin—-.aa

-x2C.

⑶为去掉被积函数中的根号，令t=6x，则

t2

2

rVXd_

x.x3xx=tH5

6t5dt=6Jdt

I、t2+t

=6（Cdt-

占dt：

=6Int—Int1C

—In6

6x16

C.

⑷方法1被积式中含有指数函数ex，令t=ex，则

dt

1

x=

1e2x仁1t2

再令t=tan」，于是

dx=

仁1t2

sec24

tan-sec-

csc^d鼻=Inesc卩-cot円+C

=In

C=ln1e2x-1-XC

方法2第二类换元积分法主要是去掉根式，为此令

1

ln

2

口C」ln—匸JC

t12,1e2x1

二In、1e2x「1'-xC.

方法3变量代换往往不惟一，令ex二tant，则

e2x

sec2tdt

dxcsctdt

tantsect

=lncsct—cott+C=In©1+e2x—1）—x+C.

⑸注意到分母中x的次幕高于分子中x的次幕，令

⑹对第二类换元积分法，除了常用代换外，有时根据被积函数特

\dt

t-1,

j+t2町

dt

点采用特殊代换，也可以简化积分。

对本题，令t=tanx，则

dx=j〒=-

1tanx1t1t22

AAA

=-1nt+1-一In（t2+1）+-arctant+C

242

1121=-1n1tanx-一Insecx—xC4

4•分部积分法

例5求下列不定积分:

⑴已知fx的一个原函数是

sinx

，求xfxdx；

x

解题思路分部积分法适用于被积函数为两种不同类型函数乘积形式的不定积分，使用的关键是恰当选取Jx与Vx（或vxdx）分部积分法常与换元积分法交替使用，或者数次使用才能算出结果。

注意在反复使用分部积分法的过程中，每一次都应选取同一类函数作为■及V,否则就会产生循环，致使解不出结果。

另外，在用分部积

分法求不定积分时，若在计算过程中出现循环现象，常常可通过解方

程求出结果。

常见积分类型有eaxsinbxdx，eaxcosbxdx，对⑸题令

Inx=t，即为这种形式。

fxd^dfx，「Xdx=dfX，用分部积分法，有

xfxdx=xdfx=xfx]ifxdx

2

-xsinx-3xcosx3sinxC

⑵这是对数函数与幕函数乘积形式的不定积分，取

⑷这是幕函数与三角函数乘积形式的不定积分，取三角函数为

v，幕函数为u，应用分部积分公式。

注意到被积函数带有根号，为

去掉根号，令、、x=t，则

!

■■■■/xsinxdx=2t2sintdt--2t2dcost

=-2t2cost4tcostdt=-2t2cost4tdsint

22

=-2tcost亠4tsint—4sintdt--2tcost4tsint4costC--2xcos、x4xsin.x4cos、xC.

⑸方法1这是幕函数与复合函数乘积形式的不定积分，取

u=coslnx，v'=1贝卩dv=dx，于是

1

coslnxdx二xcoslnx亠ixsinInxdx

x

1

=xcoslnxxsinInx-xcoslnxdx

x

=xcoslnxxsinInx-「coslnxdx.

解方程得coslnxdxxcoslnxxsinlnxC.

』2

方法2令t“nx,则

coslnxdx二etcostd^etdsint=etsint-dsintdt

=etsint亠ietdcost=etsintetcost-etcostdt.

解方程得

1

etcostdt（etsintetcost）C,

2

所以

1

coslnxdxxcoslnxxsinlnxC.

2

5.特殊函数的积分

例6求下列不定积分:

⑷『，^dx.

3（x1）（x—1）4

解题思路特殊函数的不定积分是指有理函数、三角有理式、简

单无理式的不定积分，求解的一般方法是通过万能代换或第二类换元

先将三角有理式及无理根式转化为有理函数，再利用有理函数求不定

积分的方法求解。

解⑴因为

31x-2

~3厂

x1x1X-X1

于是

=Ink+1l+V3arctan2^1+C.

、x2-x13

⑵因为x4•1=（x22x1）（x2-2xT），将被积函数拆成部分分式，

—1■1），

x2、2x1x2-.2x1

于是

化尹日

⑶本题不易用三角公式变形化简，不得已利用万能代换化为有理

函数的积分。

令tan討，则"rctant，dx倉，故

1t1t2

I2dt=丄1nt（t2+3）+C

3'『+33

13x

=一1ntan—+3tan

3

⑷由于

3

3（x1）2（x-1）4■x-1（x-1）（x1）

3,（x1）2（x-1）4dx一2dttC一2（x_1C.

6.综合问题举例

例7求下列不定积分：

⑴『J^dx；⑵（£eldx；msinxcosxdx.

（1X2）•.ex_2sinxcosx

解题思路视被积函数特点交替使用换元法与分部积分法，也是计算不定积分的基本方法，对某些复杂形式的不定积分，将原积分拆项后，分项积分有时会使未积出部分抵消，从而求出不定积分，注意用此方法求解时，不要丢掉积分常数C.

解⑴为去掉被积函数中的根号，需设x二tant，则dx=sec2tdt，

于是

tInx

2、3/2

（1x）

2.

sect

=sintlntant—sintdt=sintlntant—sectdttant

=sintIntant—Insect+tant+C

xInx—In（寸1+x+x）十C..1x2

⑵因为一二

=d（2、、ex-2），所以

x

xedx\ex-2

ex-2，则x

-In（t22）

2xdex

■.ex「2dx

些dt

t22

-2=2x..ex-2-2飞

x

I-2dx.

-JX

ex_2

e22C，

=2t-4arctantC

J2<2

=2一ex-2-2.2arctan

xxe

-,ex

——dx=2x（x「2「4e-2

x「242arctan

⑶注意到

2

1（sinxcosx）-1,

dx

2sinxcosx

1dx

2sinxcosx

sinxcosxdx」2sinxcosx^1dx

sinxcosx2sinxcosx

IzHx

d（xV

寺”cosx）一2；…

4

=〔（sinx_cosx）

22、2

x

lntan（―+—）+C.

28

JI

例8设f（sin12x）二cos2xtan2x（0：

：

x：

：

1），求f（x）.

解题思路已知f（（x））求f（x），一般有两种方法：

⑴先由已知表

达式求

f（（x））二

出f（x）,再计算f（x）=f（x）dx.⑵先求不定积分

.f（（x））d：

（x），再求函数f（x）的表达式。

方法1因为

・2

f（sin2x）二cos2xtan2x=1-2sin2xsin：

，

1-sinx

所以

x1

f（x）e2x庁二庁任，

从而

方法2

因为

.3

sinx,dxcosx

f（sin2x）=f（sin2x）dsin2x=（cos2xtan2x）dsin2x

21

=（cos2xtanx）sin2xdxcos2xdcos2x2

-dos%-2

4

1-cos2x122

dcosxcos2x-2lncosxcosxCcosx4

32424

ln（1-sinx）-sinxC--ln（1-sinx）-sinxC1，

4

以f（x）=-1n（1-'X）-'X?

■C1.

7.建立递推公式

例9建立下列不定积分的递推公式（n为整数）：

⑴Ifxnbaxdx（aH0,b>0,且b式1）；⑵ln=Jtannxdx.

解题思路对含有参数n的不定积分，一般由分部积分公式可导出一个递推公式，但要使递推公式完整，必须给出递推的初值公式，注意初值公式的个数由递推的步数决定。

解⑴这是幕函数与指数函数相乘形式的不定积分

n.ax

xb

n-J.axnax

In=xnbaxdx=

nxb,xbn,dxInJ，

alnbalnbalnbalnb

ax

axb

bdx=

alnb

⑵由二角恒等公式tan2x=sec2x-1与导数公式seCxdx二dtanx有

ln=tannxdx=tann^（secx-1）dx

=tann_2xdtanx

初值h=ftanxdx=-1ncosx+C;l