大学高数三角函数总结.docx
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大学高数三角函数总结.docx
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大学高数三角函数总结
三角函数
1.①与(0°≤<360°)终边相同的角的集合(角与角的终边重合):
②终边在x轴上的角的集合:
③终边在y轴上的角的集合:
④终边在坐标轴上的角的集合:
⑤终边在y=x轴上的角的集合:
⑥终边在轴上的角的集合:
⑦若角与角的终边关于x轴对称,则角与角的关系:
⑧若角与角的终边关于y轴对称,则角与角的关系:
⑨若角与角的终边在一条直线上,则角与角的关系:
⑩角与角的终边互相垂直,则角与角的关系:
2.角度与弧度的互换关系:
360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′
注意:
正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式:
1rad=°≈57.30°=57°18ˊ.1°=≈0.01745(rad)
3、弧长公式:
.扇形面积公式:
4、三角函数:
设是一个任意角,在的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y)P与原点的距离为r,则;;;;;..
5、三角函数在各象限的符号:
(一全二正弦,三切四余弦)
6、三角函数线
正弦线:
MP;余弦线:
OM;正切线:
AT.
7.三角函数的定义域:
三角函数
定义域
sinx
cosx
tanx
cotx
secx
cscx
8、同角三角函数的基本关系式:
9、诱导公式:
“奇变偶不变,符号看象限”
三角函数的公式:
(一)基本关系
公式组二
公式组三
公式组四
公式组五
公式组六
(二)角与角之间的互换
公式组一公式组二
公式组三公式组四公式组五
,,.
10.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
(A、>0)
定义域
R
R
R
值域
R
R
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
当非奇非偶
当奇函数
单调性
上为增函数;上为减函数()
;上为增函数
上为减函数
()
上为增函数()
上为减函数()
上为增函数;
上为减函数()
注意:
①与的单调性正好相反;与的单调性也同样相反.一般地,若在上递增(减),则在上递减(增).
②与的周期是.
③或()的周期.
的周期为2(,如图,翻折无效).
④的对称轴方程是(),对称中心();的对称轴方程是(),对称中心();的对称中心().
⑤当·;·.
⑥与是同一函数,而是偶函数,则
.
⑦函数在上为增函数.(×)[只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域,为增函数,同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:
一是定义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数:
,奇函数:
)
奇偶性的单调性:
奇同偶反.例如:
是奇函数,是非奇非偶.(定义域不关于原点对称)
奇函数特有性质:
若的定义域,则一定有.(的定义域,则无此性质)
⑨不是周期函数;为周期函数();
是周期函数(如图);为周期函数();
的周期为(如图),并非所有周期函数都有最小正周期,例如:
.
⑩有.
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.
函数y=Asin(ωx+φ)的振幅|A|,周期,频率,相位初相(即当x=0时的相位).(当A>0,ω>0时以上公式可去绝对值符号),
由y=sinx的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当0<|A|<1)到原来的|A|倍,得到y=Asinx的图象,叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.(用y/A替换y)
由y=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω|>1)到原来的倍,得到y=sinωx的图象,叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.(用ωx替换x)
由y=sinx的图象上所有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平行移动|φ|个单位,得到y=sin(x+φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移.(用x+φ替换x)
由y=sinx的图象上所有的点向上(当b>0)或向下(当b<0)平行移动|b|个单位,得到y=sinx+b的图象叫做沿y轴方向的平移.(用y+(-b)替换y)
由y=sinx的图象利用图象变换作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈R)的图象,要特别注意:
当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延x轴量伸缩量的区别。
高中数学三角函数常见习题类型及解法
1.三角函数恒等变形的基本策略。
(1)常值代换:
特别是用“1”的代换,如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
(2)项的分拆与角的配凑。
如分拆项:
sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配凑角:
α=(α+β)-β,β=-等。
(3)降次与升次。
(4)化弦(切)法。
(4)引入辅助角。
asinθ+bcosθ=sin(θ+),这里辅助角所在象限由a、b的符号确定,角的值由tan=确定。
2.证明三角等式的思路和方法。
(1)思路:
利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。
(2)证明方法:
综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3.证明三角不等式的方法:
比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。
4.解答三角高考题的策略。
(1)发现差异:
观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”。
(2)寻找联系:
运用相关公式,找出差异之间的内在联系。
(3)合理转化:
选择恰当的公式,促使差异的转化。
四、例题分析
例1.已知,求
(1);
(2)的值.
解:
(1);
(2)
.
说明:
利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到),进行弦、切互化,就会使解题过程简化。
例2.求函数的值域。
解:
设,则原函数可化为
,因为,所以
当时,,当时,,
所以,函数的值域为。
例3.已知函数。
(1)求的最小正周期、的最大值及此时x的集合;
(2)证明:
函数的图像关于直线对称。
解:
(1)所以的最小正周期,因为,
所以,当,即时,最大值为;
(2)证明:
欲证明函数的图像关于直线对称,只要证明对任意,有成立,
因为,
,
所以成立,从而函数的图像关于直线对称。
例4.已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1(x∈R),
(1)当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;
(2)该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?
解:
(1)y=cos2x+sinx·cosx+1=(2cos2x-1)++(2sinx·cosx)+1
=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+
=sin(2x+)+
所以y取最大值时,只需2x+=+2kπ,(k∈Z),即x=+kπ,(k∈Z)。
所以当函数y取最大值时,自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}
(2)将函数y=sinx依次进行如下变换:
(i)把函数y=sinx的图像向左平移,得到函数y=sin(x+)的图像;
(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x+)的图像;
(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变),得到函数y=sin(2x+)的图像;
(iv)把得到的图像向上平移个单位长度,得到函数y=sin(2x+)+的图像。
综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。
说明:
本题是2000年全国高考试题,属中档偏容易题,主要考查三角函数的图像和性质。
这类题一般有两种解法:
一是化成关于sinx,cosx的齐次式,降幂后最终化成y=sin(ωx+)+k的形式,二是化成某一个三角函数的二次三项式。
本题
(1)还可以解法如下:
当cosx=0时,y=1;当cosx≠0时,y=+1=+1
化简得:
2(y-1)tan2x-tanx+2y-3=0
∵tanx∈R,∴△=3-8(y-1)(2y-3)≥0,解之得:
≤y≤
∴ymax=,此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+,k∈Z}
例5.已知函数
(Ⅰ)将f(x)写成的形式,并求其图象对称中心的横坐标;
(Ⅱ)如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac,且边b所对的角为x,试求x的范围及此时函数f(x)的值域.
解:
(Ⅰ)由=0即
即对称中心的横坐标为
(Ⅱ)由已知b2=ac
即的值域为.
综上所述,,值域为.
说明:
本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识,还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题,有利于培养学生的运算能力,对知识进行整合的能力。
例6.在中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且,
(1)求的值;
(2)若,且a=c,求的面积。
解:
(1)由正弦定理及,有,
即,所以,
又因为,,所以,因为,所以,又,所以。
(2)在中,由余弦定理可得,又,
所以有,所以的面积为
。
三角函数
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1.已知点P(tanα,cosα)在第三象限,则角α的终边在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.集合M={x|x=±,k∈Z}与N={x|x=,k∈Z}之间的关系是()
A.MNB.NMC.M=ND.M∩N=
3.若将分针拨慢十分钟,则分针所转过的角度是()
A.60°B.-60°C.30°D.-30°
4.已知下列各角
(1)787°,
(2)-957°,(3)-289°,(4)1711°,其中在第一象限的角是()
A.
(1)
(2)B.
(2)(3)C.
(1)(3)D.
(2)(4)
5.设a<0,角α的终边经过点P(-3a,4a),那么sinα+2cosα的值等于()
A.B.-C.D.-
6.若cos(π+α)=-,π<α<2π,则sin(2π-α)等于()
A.-B.C.D.±
7.若α是第四象限角,则π-α是()
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
8.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2,则这个圆心角所对的弧长是()
A.2B.C.2sin1D.sin2
9.如果sinx+cosx=,且0<x<π,那么cotx的值是()
A.-B.-或-C.-D.或-
10.若实数x满足log2x=2+sinθ,则|x+1|+|x-10|的值等于()
A.2x-9B.9-2xC.11D.9
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
11.tan300°+cot765°的值是_____________.
12.若=2,则sinαcosα的值是_____________.
13.不等式(lg20)2cosx>1,(x∈(0,π))的解集为_____________.
14.若θ满足cosθ>-,则角θ的取值集合是_____________.
15.若cos130°=a,则tan50°=____________
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