专题训练二二次函数图象与abcb24ac等符号问题.docx
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专题训练二二次函数图象与abcb24ac等符号问题
专题训练
(二) 二次函数图象与a,b,c,b2-4ac等符号问题
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特征与a,b,c及判别式b2-4ac的符号之间的关系:
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a>0
开口向上
a<0
开口向下
b
b=0
对称轴为y轴
ab>0(b与a同号)
对称轴在y轴左侧
ab<0(b与a异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
经过原点
c>0
与y轴正半轴相交
c<0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点(顶点)
b2-4ac>0
与x轴有两个不同交点
b2-4ac<0
与x轴没有交点
特殊关系
当x=1时,y=a+b+c
当x=-1时,y=a-b+c
若a+b+c>0,即x=1时,y>0
若a-b+c>0,即x=-1时,y>0
一、选择题
1.2016·宁波已知函数y=ax2-2ax-1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是( )
A.当a=1时,函数图象过点(-1,1)
B.当a=-2时,函数图象与x轴没有交点
C.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而减小
D.若a<0,则当x≤1时,y随x的增大而增大
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2-ZT-1所示,则下列关系式错误的是( )
图2-ZT-1
A.a<0
B.b>0
C.b2-4ac>0
D.a+b+c<0
3.以x为自变量的二次函数y=x2-2(b-2)x+b2-1的图象不经过第三象限,则实数b的取值范围是( )
A.b≥
B.b≥1或b≤-1
C.b≥2D.1≤b≤2
4.2017·威海已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2-ZT-2所示,则正比例函数y=(b+c)x与反比例函数y=
在同一坐标系中的大致图象是( )
图2-ZT-2
图2-ZT-3
5.2017·安徽已知抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=
的图象在第一象限有一个公共点,其横坐标为1,则一次函数y=bx+ac的图象可能是( )
图2-ZT-4
6.2017·烟台二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2-ZT-5所示,对称轴是直线x=1.下列结论:
①ab<0;②b2>4ac;③a+b+2c<0;④3a+c<0.其中正确的是( )
图2-ZT-5
A.①④B.②④
C.①②③D.①②③④
7.2017·鄂州如图2-ZT-6,抛物线y=ax2+bx+c的图象交x轴于点A(-2,0)和点B,交y轴负半轴于点C,且OB=OC.下列结论:
①2b-c=2;②a=
;③ac=b-1;④
>0,其中正确的结论有( )
图2-ZT-6
A.1个 B.2个C.3个 D.4个
8.2017·齐齐哈尔抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-2,与x轴的一个交点在(-3,0)和(-4,0)之间,其部分图象如图2-ZT-7所示,则下列结论:
①4a-b=0;②c<0;③-3a+c>0;④4a-2b>at2+bt(t为实数);⑤点
,
,
是该抛物线上的点,则y1<y2<y3.正确的结论有( )
图2-ZT-7
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题
9.二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图2-ZT-8所示,则a的取值范围是________.
图2-ZT-8
10.2017·天水如图2-ZT-9是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分,抛物线的顶点坐标是A(1,3),与x轴的一个交点是B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:
①abc>0;②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;③抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0);④当1<x<4时,有y2>y1;⑤x(ax+b)≤a+b.其中正确的结论是________.(只填写序号)
图2-ZT-9
11.2017·株洲如图2-ZT-10,二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴在y轴的右侧,其图象与x轴交于点A(-1,0),C(x2,0),且与y轴交于点B(0,-2),小强得到以下结论:
①0<a<2;②-1<b<0;③c=-1;④当|a|=|b|时,x2>
-1.以上结论中,正确的结论序号是________.
图2-ZT-10
12.如图2-ZT-11,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A,B的横坐标分别为-1,3,与y轴负半轴交于点C.在下面五个结论中:
①2a-b=0;②a+b+c>0;③c=-3a;④当a=
时,△ABD是等腰直角三角形;⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有四个.其中正确的结论是________(只填序号).
图2-ZT-11
三、解答题
13.如图2-ZT-12,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于B,C两点,交y轴于点A.
(1)根据图象确定a,b,c的符号;
(2)如果OC=OA=
OB,BC=4,求这个二次函数的表达式.
图2-ZT-12
14.已知函数y=ax2+bx+c,若a>0,b<0,c<0,则这个函数的图象与x轴交点的情况是怎样的?
若无交点,请说明理由;若有交点,请说明有几个交点及交点分别在x轴的哪个半轴上.
详解详析
专题训练
(二) 二次函数图象与a,b,c,
b2-4ac等符号问题
1.[答案]D
2.[解析]D 抛物线开口向下,则a<0,所以A选项的关系式正确;
抛物线的对称轴在y轴的右侧,a,b异号,则b>0,所以B选项的关系式正确;
抛物线与x轴有2个交点,则b2-4ac>0,所以C选项的关系式正确;
当x=1时,y>0,即a+b+c>0,所以D选项的关系式错误.
3.[答案]A
4.[答案]C
5.[解析]B 由公共点的横坐标为1,且在反比例函数y=
的图象上,当x=1时,y=b,即公共点的坐标为(1,b).又点(1,b)在抛物线上,得a+b+c=b,即a+c=0.由a≠0知ac<0,一次函数y=bx+ac的图象与y轴的交点在负半轴上,而反比例函数y=
的图象的一支在第一象限,故b>0,一次函数的图象满足y随x的增大而增大,选项B符合条件.故选B.
6.[解析]C ①抛物线的开口向上,所以a>0.抛物线的对称轴为直线x=-
=1,所以b<0,所以ab<0.所以①正确;
②抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac>0,所以b2>4ac.所以②正确;
③由图象知,当x=1时,y=a+b+c<0.又抛物线与y轴交于负半轴,所以c<0,所以a+b+2c<0.所以③正确;
④由抛物线的对称性知当x=3时,y=9a+3b+c>0.又-
=1,所以b=-2a,所以3a+c>0.所以④错误.
综上可知,正确的是①②③.故选C.
7.[解析]C 在y=ax2+bx+c中,当x=0时y=c,∴C(0,c),∴OC=-c.∵OB=OC,∴B(-c,0).∵A(-2,0),∴-c,-2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个不相等的实数根,∴-c·(-2)=
.∵c≠0,∴a=
,②正确;∵-c,-2是一元二次方程
x2+bx+c=0的两个不相等的实数根,∴-c+(-2)=-
,即2b-c=2,①正确;把B(-c,0)代入y=ax2+bx+c,得0=a(-c)2+b·(-c)+c,即ac2-bc+c=0.∵c≠0,∴ac-b+1=0,∴ac=b-1,③正确;∵抛物线开口向上,∴a>0.∵抛物线的对称轴在x轴左侧,∴-
<0,∴b>0,∴a+b>0.∵抛物线与y轴负半轴交于点C,∴c<0.∴
<0,④错误.
8.[解析]B ∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-2,∴-
=-2,∴4a-b=0,故①正确;
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-2,与x轴的一个交点在(-3,0)和(-4,0)之间,∴另一个交点位于(-1,0)和(0,0)之间,∴抛物线与y轴的交点在原点的下方,∴c<0.故②正确;
∵4a-b=0,∴b=4a.∵当x=-3时,y=9a-3b+c=9a-12a+c=-3a+c>0,故③正确;
∵4a-b=0,∴b=4a,∴at2+bt-(4a-2b)=at2+4at-(4a-2×4a)=at2+4at+4a=a(t2+4t+4)=a(t+2)2.∵t为实数,a<0,∴a(t+2)2≤0,∴at2+bt-(4a-2b)≤0,∴at2+bt≤4a-2b,即4a-2b≥at2+bt,∴④错误;
∵点
,
,
是该抛物线上的点,
∴将它们描在图象上可得
由图象可知:
y1 综上所述,正确的有3个.故选B. 9.[答案]-1<a<0 [解析]∵抛物线开口向下,∴a<0. ∵函数图象过点(0,1),∴c=1. ∵函数图象过点(1,0),∴a+b+c=0, ∴b=-(a+c)=-(a+1). 由题意知,当x=-1时,应有y>0, ∴a-b+c>0, ∴a+(a+1)+1>0, ∴a>-1, ∴a的取值范围是-1<a<0. 10.[答案]②⑤ [解析]①根据函数图象的开口方向、对称轴、与y轴交点可知,a<0,b>0,c>0,故abc<0;②根据函数图象的顶点坐标可知,方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根,即x1=x2=1;③根据抛物线的对称性可知,抛物线与x轴的另一个交点是(-2,0);④根据函数图象,当1<x<4时,有y2<y1;⑤当x=1时,y=a+b+c=3≥x(ax+b)+c,∴x(ax+b)≤a+b.故正确的结论有②⑤. 11.[答案]①④ [解析]由抛物线的开口向上可知,a>0,且抛物线经过点A(-1,0),B(0,-2),对称轴在y轴的右侧可得 即a-b=2,b<0,故a=2+b<2.综合可知0<a<2;由a-b=2可得a=b+2,将其代入0<a<2中,得0<b+2<2,即-2<b<0; 当|a|=|b|时,因为a>0,b<0,故有a=-b.又a-b=2,可得a=1,b=-1. 故原函数为y=x2-x-2,当y=0时,即有x2-x-2=0,解得x1=-1,x2=2, 此时x2=2> -1.故答案为: ①④. 12.[答案]③④ [解析]∵抛物线与x轴的交点A,B的横坐标分别为-1,3,∴AB=4,对称轴为直线x=- =1,∴b=-2a,即2a+b=0.故①错误;根据图象知,当x=1时,y<0,即a+b+c<0.故②错误;∵点A的坐标为(-1,0),∴a-b+c=0,而b=-2a,∴a+2a+c=0,即c=-3a.故③正确;当a= 时,b=-1,c=- ,抛物线的函数表达式为y= x2-x- .设对称轴直线x=1与x轴的交点为E,∴把x=1代入y= x2-x- ,得y= -1- =-2,∴点D的坐标为(1,-2),∴AE=2,BE=2,DE=2,∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形,∴△ABD为等腰直角三角形.故④正确;要使△ACB为等腰三角形,则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC,当AB=BC=4时,∵BO=3,△BOC为直角三角形,OC的长为|c|,∴c2=16-9=7.∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上,∴c=- ,与2a+b=0,a-b+c=0联立组成方程组,解得a= ; 当AB=AC=4时,∵AO=1,△AOC为直角三角形,OC的长为|c|,∴c2=16-1=15. ∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上,∴c=- ,与2a+b=0,a-b+c=0联立组成方程组,解得a= ; 当AC=BC时,在△AOC中,AC2=1+c2,在△BOC中,BC2=c2+9.∵AC=BC,∴1+c2=c2+9,此方程无解.∴只有两个a值满足条件.故⑤错误.综上所述,正确的结论是③④. 13.解: (1)∵抛物线开口向上,∴a>0. 又∵对称轴x=- <0, ∴a,b同号,即b>0. ∵抛物线与y轴交于负半轴,∴c<0. 综上所述,a>0,b>0,c<0. (2)∵OC=OA= OB,BC=4, ∴点A的坐标为(0,-1),点B的坐标为(-3,0),点C的坐标为(1,0). 把A,B,C三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c中,可得 解得 ∴该二次函数的表达式是y= x2+ x-1. 14.[全品导学号: 63422210]解: ∵a>0,b<0,c<0,∴b2-4ac>0, ∴这个函数图象与x轴有两个交点. 设这个函数图象与x轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0). ∵x1·x2= ,a>0,c<0, ∴x1·x2<0, ∴这个函数图象与x轴有两个交点,一个交点在x轴的正半轴上,另一个交点在x轴的负半轴上. 欢迎您的下载, 资料仅供参考! 致力为企业和个人提供合同协议,策划案计划书,学习资料等等 打造全网一站式需求
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