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数字信号处理知识点归纳整理
数字信号处理知识点归纳整理
第一章时域离散随机信号的分析
1.1.引言
实际信号的四种形式:
连续随机信号、时域离散随机信号、幅度离散随机信号和离散随机序列。
本书讨论的是离散随机序列
()Xn,即幅度和时域都是离散的情况。
随机信号相比随机变量多了时
间因素,时间固定即为随机变量。
随机序列就是随时间n变化的随机变量序列。
1.2.时域离散随机信号的统计描述1.2.1
概率描述
1.概率分布函数(离散情况)
随机变量
nX,概率分布函数:
()()nXnnnFx,nPXx=≤
(1)
2.概率密度函数(连续情况)
若
nX连续,概率密度函数:
()()nnXXnn
Fx,npx,nx∂=
∂
(2)
注意,以上两个表达式都是在固定时刻n讨论,因此对于随机序列而言,其概率分布函数和概率密度函数都是关于n的函数。
当讨论随机序列时,应当用二维及多维统计特性。
()()()()1
21
21
2,,,1
21122,,
1
2
,,1
2
12,1,,2,
,,,,,1,,2,
,,1,,2,
,N
N
N
xX
XNNNNxX
XNxX
XNN
FxxxNPXxXxXxFxxxNpxxxNxxx=≤≤≤∂=
∂∂∂
1.2.2数字特征
1.数学期望()()()()nx
xnnmnExnxnpx,ndx∞
-∞
==⎡⎤⎣⎦⎰(3)
2.均方值与方差
均方值:
()()22
nnxnnEXxnpx,ndx∞
-∞
⎡⎤=⎣⎦⎰(4)
方差:
()()()222
2x
nxnxnEXmnEXmnσ⎡⎤⎡⎤=-=-⎣⎦⎣⎦
(5)
3.相关函数和协方差函数
自相关函数:
()()n
m
**nmnmX,Xnmnmrn,mEXXxxpx,n,x,mdxdx∞∞
-∞-∞⎡⎤==⎣⎦⎰⎰(6)
自协方差函数:
()
()()
()*
*cov,,nmn
m
nmnXm
XxxX
X
XXEXmX
mrnmmm⎡⎤
=--⎢⎥⎣
⎦=-(7)
由此可进一步推出互相关函数和互协方差函数。
1.2.3平稳随机序列
严平稳:
N维概率密度函数或分布函数与时间n起始位置无关。
宽平稳:
均值、方差和均方值与时间无关;二维概率密度函数、自相关函数和自协方差函数与时间间...隔.
有关。
严平稳可以推出宽平稳的条件,反过来不成立。
对于两个随机序列则要求各自平稳且联合平稳。
其相关函数满足:
()
()*xy
yxrmrm=-,()()*
xxxxrmrm=-(8)
()0xyrm=表示互为正交,()()0covxyxyxyrmmmm=⇒=表示互不相关。
实平稳...
随机序列相关函数、协方差函数的性质:
(1)自相关函数和自协方差函数是偶函数
()()()()()()()()
covcov,covcovxxxxxxxxxyyxxyyxrmrmmmrmrmmm=-=-=-=-(9)
(2)
0m=,自相关变为均方值
()2
0xxnrEX⎡⎤=⎣⎦(10)
(3)
m→∞,自相关变为均值的平方,即随着时间间隔增大,序列内部相关性愈来愈若
()()2
lim,limxxxxyxymmrmmrmmm→∞
→∞
==(11)(4)
0m=,协方差变为方差
()()()220cov,covxxxxxxxxmrmmσ=-=(12)
1.2.4平稳随机序列功率谱密度
由1.2.3性质(3)知,m
→∞时,()2
xxx
rmm→,若0xm=则()xxrm收敛,即平稳随机序列均值为0,自相关函数收敛,存在Z变换,其收敛域包含单位圆,傅里叶变换存在。
()()()()()
()()()
11212mxxxxmmxxxxcjjmxxxxmjjmxx
xxPzrmzrmPzzdzjPermermPeedωωπωωππω
π∞
-=-∞-∞
-=-∞-⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩∑⎰∑⎰(13)
()jxxPeω
即为平稳随机序列的功率谱密度。
即自相关函数和功率谱互为傅里叶变换对。
(令0m=,()()1
02j
xxxxrPedπ
ωπωπ
-
=
⎰为随机序列平均功率,故称()jPeω
功率谱
密度)
实、平稳随机序列功率谱性质:
(1)
偶函数
()()xxxxPPωω=-(14)
1.2.5各态历经性
平稳随机序列样本的时间平均....依概率趋于序列的集合平均....
则平稳随机序列具有各态历经性。
前面已经提到,随机序列各统计特征是时间的函数,如均值是时间的函数mx(n)。
时间平均就是对该函数求时间上的平均
∙
:
(
)
()1
21limN
xxNnN
fnfnN→∞=-=+∑(15)1.2.6
特定的随机序列1.
正态(高斯)随机序列
单变量正态分布概率密度函数:
(
)()22
2expxpxμσ⎡⎤
-⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦
(16)正态随机序列()x
n的N维(N个时刻的随机变量)联合概率密度函数可表示为:
()()
()()11212
2
1
122//,,
expTNNpxxxπ-⎡⎤
=
--∑-⎢⎥⎣⎦
∑
XμXμ(17)
式
1
12
121
2
212
12122
2
2,,,,,
N
NNNNT
NT
Nxxxxxxxx
xxxxxxxxxxμμμσσσσσσσσσ⎡⎤=⎣⎦
⎡⎤=⎣⎦
⎡⎤
⎢
⎥
⎢⎥
∑=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
Xμ(18)
,∑Xμ分别为样本列向量、均值列向量和协方差矩阵。
2.
白噪声序列
白噪声:
随机序列x(n),在各时刻的随机变量两两互不相关,即
()220cov,nmnmnm
nm
mnxxmnδσ
σ⎧≠⎪==⎨=⎪⎩(19)
均值为...0.的平稳..随机白噪声...
功率谱密度()2
jxx
Peω
σ
=。
(20)
若各变量取值服从正态分布,则噪声为高斯白噪声,高斯分布互不相关和相互独立等价。
3.
谐波过程
()()1
cosN
i
i
i
ixnAnωθ==
+∑(21)
式iA和iω为常数,iθ服从均匀分布且相互独立。
1.2.7
随机信号采样定理
与确定信号有类似结论,即满足奈奎斯特采样定理。
1.3.随机序列数字特征的估计1.3.1估计准则
1.偏移性
偏移量ˆBEαα⎡⎤=-⎣⎦0B=为无偏估计,为lim0NB→∞
=渐近无偏估计
2.估计量的方差(有效性)
无偏估计的情况下,有()
2
2ˆˆˆEEασαα⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎢⎥⎣⎦
3.一致性(均方误差)
估计量的均方误差()2
2ˆEEαα
α⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎢⎥⎣⎦
1.3.2均值的估计
10
1
ˆNxi
imx
N
-==
∑
2
2ˆ1,ˆxxxmx
EmmNσσ⎡⎤==⎣⎦(数据内部不相关时,无偏一致的好估计)1.3.3方差的估计
()
()112
2
20
11ˆˆNNx
i
xi
xiix
mx
mN
N
σ--===
-⇒
-∑∑
2
2
1ˆxxNEN
σσ-⎡⎤=
⎣⎦(数据内部不相关时,有偏估计)修改估计式使得估计为无偏
()12
2220
1
ˆˆˆ1
Nx
i
xxxix
mENσσσ-=⎡⎤=-⇒=⎣⎦
-∑1.3.4自相关函数的估计
1.无偏估计
()()()1
1
ˆNmxx
nrmxnxnmNm
--==+-∑
2.有偏估计
()()()1
1
ˆNmxx
nrmxnxnmN
--==+∑
渐近无偏,渐近一致估计,估计误差比无偏估计的小,实际用这种有偏估计。
1.4.平稳随机序列通过线性系统
1.4.1系统响应(即输出信号)的均值、自相关函数和平稳性分析
线性时不变系统,系统响应()
()()kynhkxnk∞
=-∞
=
-∑
输出的均值()
()
0jyx
xnmmhnmHe∞
=-∞
==∑,即若mx与时间无关,my也与时间无关
输出的自相关函数()()()
yyxxhhrmrmrm=*相关卷积定理:
卷积的相关等于相关的卷积............
()()()()()()
()()()***yyxxhhynxnhnrmrmrmynxnhn⎧=⎪⇒=⎨
=⎪⎩其,()()()()()
****hhrmhmhmhmhm=-=-也可以通过相关卷积定理推出(,hhrrδδ)。
1.4.2输出响应的功率谱密度函数
自相关函数和频谱互为Z变换对,和功率谱互为傅里叶变换对。
由相关卷积定理可得
()()()()()()
**
2
1
yyxxjw
jw
jw
yyxxPzPzHzHzPe
Pe
He⎛⎫=⎪⎝⎭=
对于实序列有
()()()()
1yyxxPzPzHzHz-=
1.4.3系统的输入、输出互相关函数
输入输出互相关函数
()()()()()*
*xyxxrmExnynmhmrm⎡⎤=+=⎣⎦
可以通过定义来求,也可以通过相关卷积定理来求。
(()
()()()hrm
E
nhnmhmδδ⎡⎤=+=
⎣⎦)
()()()()()()
()()()
1
jwjw
jw
xyxxxyxx
yxxx
PzHzPzPeHePePzHz
Pz-=⇒==
1.5.时间序列信号模型
时间序列信号模型法采用的是线性模型,是一种研究平稳随机序列的有效方法。
信号模型:
图()w
n是均值为0、方差为2
w
σ的白噪声。
许多平稳随机序列都可以看成是由典型噪声源(一般是白噪声序列)激励一个线性系统产生。
1.5.1三种时间序列模型
信号模型用差分方程表示:
()()()()()()1111pqxnaxnaxnpwnbwnbwnq+-++-=+-++-
()xn是需要研究的序列,根据系数取值可分为三种模型:
MA、AR和ARMA。
1.MA(MovingAverage)(全零点)
系统函数:
()12121qqH
zbzbzbz---=+++
+,只有零点,没有极点。
相应的,差分方程系数0123
i
a,i,,,p==,变为:
()()()()11qxnwnbwnbwnq=+-+
+-
如果零点全部在单位圆内,则为最小相位系统,系统可逆。
2.AR(Autoregressive)(全极点)
系统函数:
()12121
1p
qH
zazazaz
---=
+++
+,只有极点,没有零点。
相应的,差分方程系数0123i
b,i,,,q==,变为:
()()()()11pxnaxnaxnpwn+-+
+-=
只有当全部极点在单位圆内时,系统才稳定。
3.ARMA(零极点)
系统函数:
()12
1211
2
1211111q
iqiqip
p
i
qiibzbzbzbz
H
zazazaz
az----=----=+++++=
=
+++
++∑∑
()12121ppAzazazaz---=++++()12121qqBzbzbzbz---=+++
+
任何一个平稳随机序列可以分解为确定信号与平稳随机MA序列之和。
任意一个MA序列可用无限阶AR信号模型表示,或用足够大的模型近似。
三种模型可以相互转化,都具有普遍适用性,仅对不同序列效率不同。
AR适用于仅有尖峰的信号,MA适用于仅有深谷的信号,ARMA适用于尖峰深谷都有的情况。
1.5.2自相关函数、功率谱与时间序列信号模型的关系
自相关函数、功率谱和时间序列信号模型三者互为等价关系。
实平稳随机信号x(n)的功率谱可表示为:
1.有理谱信号
有理谱信号:
信号模型输出的功率谱是jeω
或()cos
ω的有理函数。
显然,如果
iz是()xxPz的极点,1iz-也是()xxPz的极点,即()xxPz的分母包含因子
()()()1121iiiizzzzzzzz----=-++
2.谱分解定理
有理谱分解:
平稳随机序列()xn的有理谱()jxxPeω一定存在一个零极点均在单位圆内的有理
函数()H
z,
()()()
()
()
111
1
11q
k
kpk
kzBzHzAzzβα-=-=-==
-∏∏
使得
()()()2
1xxwPzHzHzσ-=
已知信号功率谱()xxPz,就可以利用有理谱分解的方法得到信号的系统模型()Hz和对应的
白噪声方差2
wσ。
附录Z变换的常用结论
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