普通高等学校招生全国统一考试理科数学和答案.docx
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普通高等学校招生全国统一考试理科数学和答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
(2)
注意事项:
1•答题前,考生先将自己的、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择題必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,
字体工整,笔迹清楚
3.请按照題号顺序在答题卡各题目的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效;在
草稿纸、试卷上答題无效
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀
一、选择題:
本题共12小题,每小題5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
3+//、
1.——=()
1+i
A.1+2/B.1—2iC.2+/D.2—z
2.设集合A={1,2,4},B=|xx2-4x+zn=o|.若AQB={1},则E=()
A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:
“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?
”意思是:
一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()
A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏
4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,学科&网粗实线画出的是某几何依的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为()
A.90龙B.63龙C.42龙D.36兀
2x+3y-3<0
5.设x,y满足约束条件<2/-3),+3»0,则z=2x+y的最小值是()
[y+3>0
A.-15B.-9C.1D.9
6.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()
A.12种B.18种C.24种D.36种
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:
你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,学科&网给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:
我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()
A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩
8.执行右面的程序框图,如果输入的a=-l,则输出的S二()
A.2B.3C.4D.5
9.若双曲线C:
务一缶=1(。
>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-ly+y2=4所截得的
弦长为2,则C的离心率为()
2/T
A.2B・*^3C・^2D・
3
10•已知直三棱柱ABC—AJBC中,ZABC=120\AB=2,BC=CC1=1,则异面直
线AB】与Bq所成角的余弦值为()
A.逅B•至C.迥D•逼
2553
11•若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-l)ex^的极值点,则/(x)的极小值为()
D.1
A.-112.已知AABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC—点,则Pd(PB+PC)的最小值是()
34
A.—2B.C.D.—1
23
二、填空题:
本題共4小题,每小题5分,共20分。
13.-批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX=・
n1
15.等差数列{陽}的前〃项和为S”,①“,S4=10,则工一=.
k=L\
16.已知F是抛物线C:
r=8%的焦点,是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若
M为FN的中点,贝'J|FN|=.
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。
第17~21题为必做题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(―)必考題:
共60分。
17.(12分)
AABC的角的对边分别为a,b,c,已知sui(A+C)=8sin2-.
⑴求cosB
(2)若a+c=6t^ABC面积为2•求b・
18.(12分)
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学丨科网,收获时各随机抽取了
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件:
旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
箱产量V50kg
箱产量$50kg
旧养殖法
新养殖法
(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)
P(疋斗)
0.050
0.
0.001
k
3.841
6.635
10.828
K?
_gad-bcF
(a+b)(c+d)(a+c)(Z?
+d)
19.(12分)
如图,四棱锥P-ABCD中,侧面刊〃为等比三角形且垂直于底面力位刀,
AB=BC=丄AD^BAD=ZABC=90\〃是勿的中点.
2
(1)证明:
直线CE//平面朋〃
(2)点〃在棱PC上,且直线旳/与底面力2刀所成锐角为45°,求二面角汗AB~D的余弦值
20.(12分)
设0为坐标原点,动点〃在椭圆C:
一+才=1上,过肘做X轴的垂线,垂足为M点P满
2
足丽=>/!
而.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设点0在直线尸-3上,且OPPQ=\.证明:
过点P且垂直于血的直线/过C的左焦点人
21.(12分)
已知函数f(x)=ax5-ax-xlnxy且f(x)>0.
(1)求召;
(2)证明:
f(x)存在唯一的极大值点兀,且e~2 (二)选考題: 共10分。 请考生在第22、23題中任选一题作答。 如果多做,按所做的第一题计分。 22.[选修4-4: 坐标系与参数方程](10分) 在直角坐标系刃炉中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线q的极坐标方程为qcos&=4. (1).1/为曲线G上的动点,点P在线段蚀上,且满足|OM|・|OP|=16,求点P的轨迹C? 的直角坐标方程; (2)设点力的极坐标为(2,彳),点3在曲线C,上,求△Q4S面积的最大值. 23.[选修4-5: 不等式选讲](10分) 已知a>0,b>0,a'+b‘=2,证明: (1)(a+b)(a3+b3)>4; (2)a+b<2. 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题答案 一、选择题 3.B 4.B 5.A 6.D 9.A 10.C 11.A 12.B 211 14.1 15-«+l 16.6 l.D2.C 7.D8.B 二、填空题 13.1.96 三、解答题 17•解: (1)由题设及Z+C"陶gs吩,故 sm3=4(1-cosB) 上式两边平方,整理得17cos汩-32cosB十15=0解得cosB=l(舍去),eosB^ (2)由cosB=—^sinB=—,故SXARr=-acsinB=—ac 1717217 17 又Swu=2,则ac=~^ 由余弦定理学科&网及a+c=6得b2=a2+c2-laccosB =(a+c)2-2ac(l+cosB) *o17门15、 =36-2x—x(l+—) 217 =4 所以b=2 1&解: (1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”,C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg” 由题意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C) 旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为 (0.040+0.034+0.024+0.014+0.012)x5=0.62 故P(3)的估计值为0.62 新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为 (0.068+0.046+0.010+0.008)x5=0.66 故P(c)的估计值为0.66 因此,事件A的概率估计值为0.62x0.66=0.4092 (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量<50kg 箱产量M50kg 旧养殖法 62 38 新养殖法 31 66 K—200x(62x66-34x38)-“5.705 100x100x96x104 由于15.705>6.635 故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. (3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50kg的直方图面积为 (0.004+0.020+0.044)x5=0.34<0.5, 箱产量低于55kg的直方图面积为 (0.004+0.020+0.044+0.068)x5=0.68>0.5 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 19.解: (1)取Q4中点F,连结EF,BF• 因为E为加的中点,所以EF\\AD,EF=^AD,由ZBAD=ZABC=90°得 BC//AD,又BC=-AD 2 所以EF丛C.四边形3C£F为平行四边形,CE//BF・又BFu平面PAB,CE(z平面PAB,故CE〃平面PAB (2) 由已知得朋丄AQ•以A为坐标原点,AP的方向为x轴正方向,卜同为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,V3), PC=(1,0,-笛),丽=(1,0,0)则 BM=(x-1,z),PM=(x,y-Lz~>/3) 因为BM与底面ABCD所成的角为45°,而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,所以cosIBM,n)|=sin45°,/冈=返 、彳J(x-厅+)+2 即(x-1)2+y2-z2=0 又M在棱PC上,学|科网设PM=xPG则 x==l,z=>/3->/32 2 由①,②得 …迥 2 Z= \ »从而AM= 3 22 X / 2 2 Z 严1 所以M 严1 (舍去)八 设加二(%儿,q)是平面ABM的法向量,则 w? ・4M=0出j(2-旋)兀+2y0+>/6^0=0m^AB=0[兀=0 所以可取研(0, 因此二面角M-AB-D的余弦值为如 5 20•解 (1)设P(x,y),M(xOtyo),设N(xOt0),NP=(x-x0,y)9NM=(0,y0) 由NP=yf2NM得xo=x,儿=—y 2 因为M(xo,yo)在C上,所以—+^-=1 22 因此点P的轨迹方程为F+>'==2 (2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则 OQ=(-3,t),PF=(一1一m,一“),OQ・PF=3+3m一tn, OP=(mn),PQ=(一3-加,f一畀), 由OP.PQ=1得-3m—nf+tn—n2=1»又由 (1)知m+m2=2,故 3+3m-tn=0 所以OQ.PF=0,即O0丄尸万•学.科网又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且 垂直于0Q的直线1过C的左焦点F. 21.解: (1)/(X)的定义域为(0,-ko) 设g(x)=or-“-Inx,则/(x)=xg(a).f(x)>0等价于g(a)>0 因为g(l)二0,g(a)>0,跄, (1)二0,而0(x)=a--,g' (1)二a_1,得a=1 若沪1,则0(x)=1-i•当0 (1)=0 综上,a=l (2)由 (1)知f(x)=x2一x_xInx,f'(x)=2y-2-Inx 设h(x)=2-y-2-Inx、则力'Cy)=2—丄 Xz\/\ 当XW0上时,力’(X) \2丿\2y(2丿 /iA 在l,+x单调递增 \2> /iA/! \\ 又力(八)>0,力-<0,A(l)=0,所以力(x)在0,-有唯一零点xo,在+x有唯一零点1,且当xe(0,%)时,力(x)>0;当x丘(无,1)时,力(牙)<0,当xe(1,+oo)时,力(at)>0.因为f'(X)=力(可,所以x=x。 是f(x)的唯一极大值点 由f'(A-o)=0得In-Yo=2(%-1),故f(.Yo)=^0(1-A-o) 由耳e(0,1)得f'(%)<# 因为X=Xo是f(x)在(0,1)的最大值点,由「e(0,l),f'(「)H0得 所以e-'Vf(%)<2七 22.解: (1)设P的极坐标为(°’&)(。 >0),M的极坐标为(久‘&)(久>°),由題设知 OP\=p,\OM=p、=—— 111cos<9 由|OM|・|OP|=16得q的极坐标方程p=4cos<9(p>0) 因此2的直角坐标方程为(x-2)"+y2=4(jvH0) (2)设点B的极坐标为(/Va)(d>0),由题设知 OA=2,心二4cosq,于是ZX0AB面积 S二丄网・d・sinZAOB 2 _V3 <2+>/3 当a二-一时,S取得最大值2•血 X厶 所以AOAB面积的最大值为2+>/3 23•解: (1) (d+b)仕+//)=/+於+a°b+Z? 6 =(/+Z? 3)2-2a3b3+ab(aA+fr1)=4+d? (/-b1) >4 (2)因为 (&+b)=a3+3cfb4-3ab2+b3 =2+3ab(d+Z? ) <2+3(J(o+b)=2+ 3(c/+Z? )~~4- 所以(a+b)3<8,因此a+bW2・
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