随机向量数字特征44.docx
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随机向量数字特征44
随机向量数字特征4-4
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.随机向量数字特征:
b两个随机变量函数的均值公式
(1)设?
-(*异)为二维连缜那!
随机向輦*概率密度为户(宀
,),则对于Z=f{X.Y)有
'十G
设£=(X/r)为二维离散型随机向幽其概率分布为
尸{JY=益,y—J/;)=松(f1,1*21*•*>.
则对于z=y(x,n有
£ CAX,y): S=SS/ f? 设(X,y》的联合分布为F{〔X,F)=(益5)}=卅心\2…1j=142,则 2.协方差与相关系数 (1〉定义称数值£{cx-£(x)? cy-£(y)n为xw的协方差(斜方差),记为cov(X,y)或对于D 称 为随机变量X.Y的相关系数,在不致引起混淆时,也可简记作0・ (2)性质 a)当独立时,协方差⑹相关系数[PxyKI. ")1x1=1的充分必要条件是P(y=d+5X}=1・(其中均为當数).^ (3)二维正态分布的第五个参数"就是相关系数&r・ 脚=L厂VV^yy 例1设X,Y为两个随机变量,X等可能的取值为1.2,3.而y®值为1至X,求 (»$=(天,y)的概率分布: (2)(X,F)的关于y的边缘分布. 当X取值是1时,依题意y取值是1至X,所以y只能取值为1,比时,(X,Y)的可能取值是(1,0,而事件{X=l,y-2},{X=1,Y=3}是不可能事件• C知F{XnO=+,G=l,2,3〉,于是可得 P{X=bY-n=P{X-l}•P{Y=i|X=H=y•1 P{X=: l.Y=2}=F{X=l,y=3}=0* 当X取值是2时,低题意Y取值可能为1,2,此时(X,Y)可能取值是(2.1),(2.2),而事件{X=2»y=3}是不可能事件. F{X=2・Y=1}=P{X=2}•P{y=l|X=2}=YXy=+, 川X=2・Y=2}=P{X=2}•P{Y=2lX=2}=vX"^="^ 360 P{X=2,Y=3}=O・ 同理可得 即为所求w=(x・y〉的概率分布• <2)求(x,y)的关于y的边缴分布,只需在(x,y)的分布表中我列相加,8P可求出Pb-yAp,的分布,具体作迖-是'由 (1)的分布表 X 1 2 3 1 1 0 0 3 2 1 ] 0 T ・■! 6 3 ] ] 1 g 9 9 Fgy*} 11 i■ 18 5 IS 2 1& 列出分布表 p 11 2 Ui 它就是(x,y)关于y的边缘分布.例2设随机向量(X』)的联合密度为 其它. (n确定常数为. (2〉求(X,Y)落在区域D的概率,其中久Wh 0<5<2). (2)求(X,Y)落在区域Q内的概率,使用公式 PUX*y)€D}=p(x^y)(ij: dy. 此时 Du{ 于是有 P{0 6一陀工Tef曲 0J0 r 7川-(一厂巧IAO—£—3)(1一亡T) 例3没随机向a(X,Y)服从IE态分布,其密度 oc P(丁7)=饭xio? e7(»八汩,(一8<工<十00;— 十18)・ 求槪率尸 解将(x,y)看作是平面上随机点的坐标,则{y £>},这里D=是平面上直线夕=工上方的部分,于是 列X冬Y}=F{(X,Y)€Q} =.]'示知k#徐活血心 D 被积函数中含有H’+r,因此使用极坐标计算这个积分,令 x=rcos5;5'=rsin0, P+y2=d.dxdy^rdrdff^ r由0到+oo,e由V到V兀,则 44 J書知刼山4 £> =寺〔已-益对2=号 当龙V—・或£孑0时»Px(x)=O» 当一yWV0时, e十1 Px(H)=I4dy=4(2jr+1), 所以 考査当X取值为一i,y取值为]时的情形 尸{X=-i,Y=i}=中 P{x=—1}=寻■,p{y=i}■寺, 可见 =•P[Y=li. 所以不相互独立. 显然,由上面联合分布表知 F{X十=-1}=佥 11? 2P〈x=*}we-irp訂备. F{X=y,y=-n=P{X=y}-P{y=—L}, (0,4几(hl)Ml,2),d,4)・由于X和Y相互独立,因此 尸{X=—2,y=l}=P{X=-2}•P{Y=-li=y•-^=~ 同理•可以求出其它的尸于是可得(x,y)的概率分布表为 -2 儕8设二维ffi机向董(x.y)的I[率密度为 yzAOWX2,G<>*V1$ 其它• 从而 PxQ)k 0•其它. 再求岀(x.y)关于y的边缘分布密度. 当><0及yAl时,pY 当OWjzVl时 从而 [3>\ 如30=1 其它. lo. 因此,对于任«的有 戏立•所以X和Y相互独立. 例9设(XY)在+yw]服从均匀分布,问dy相互 te立吗? 解法一 w圆域k+bW】的面积以(X.Y)的联合密度为 c>其它. 对于事件心舌心為}的療率 gI护jr.>> I1 由于在D上pQ°〉=o,所以p{x^-^-0. 而P心由"F心火叽所以 于是可以知道X,丫不是相互独立的」 »法二 先求出(X,D关于X,Y的边缘分布处G)・pyO)・f/j4),-IQWl; 0〈才』)3=<丿_vC7 •牛3休(刃= J■3 I-™i/i—F>=r Io. 同理可得 显然 0, 其它 其它• : 0,其它, —-/i—•Z*/].—上. X 所以,在圆域工2{bMl内,/>(工")一仙6),仙(『)不恒成立,于是可知x,y不相互独立・ At E(X)=dxJo *21/2(2x^+2x)dx=——0o3 由公式 设X〜N(0,4),y服从(0,4)上的均匀分布,并且X 例12 和Y相互独立,求D(X+Y)Q(2X+3y),D(2X-3y).解由正态分布和均匀分布的方差知 ZXX)=4,D(y)= (b—ay_16_4 12~=Tr=£ 由于X和y独立,因此,2X和3丫也相互独立,从而 D(x+y)=D(X〉+D(y)=4亠令-y, D(2X+3y)=D(2X)+D〈3y)=4D〈X)+9D(y)=2& Q(2X—30=0(2X)+0(350=2& 此处要注意,当X,Y独立时Q(2X—3Y)=Q(2X)+D(3Y〉・ 例14对二维随机向量(X』人设X服从〔一1J〕上的均匀分布丫=*人证明cov 证由均匀分布的期望 £00=¥=二^" 因此 cov(x,y)^£CX-A ! =£fXCY-£(y): }=E〔xy—X£(TO =£(X')—£(X)>£(Y)=£(X印儿 小结'由本例可Sl,cov(A,y)=0,Aty不相关“旦并不 例15设X与Y相互独立,且£(X)=£(Y)=O』(X)= D(Y〉=/E,求E(戈一vy. 解£(X-y)=£(X)-£(Y)=O, 因X,Y独立,所以 Q(X-y)=DCO+D(Y〉S甘=2Gf备 £? (X>=£ 可推出 £cxo=Dan+〔£(y〉N 于是可知 n(X4: Y)-z) 成立,而 D(X)=E(X2}-: £(X)y=20-22=16, D(F〉=£(Y2〉一〔E(y)F=34-3'=25, 又由于 cov(A,y) “XY="-•=0.5, ZD
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- 随机 向量 数字 特征 44