全国高考1卷理科数学试题及答案.docx
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全国高考1卷理科数学试题及答案
苦
2012年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
其中真命题为
第1页共13页
Ab
(B)为印总,…,a”的算式平均数
2
(C)A和B分别是印忌…,a”中最大的数和最小的数
(D)A和B分别是6忌…,a”中最小的数和最大的数
(7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某
几何体的三视图,则此几何体的体积为
(A)6(B)9
(8)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在
(C)12(D)18
x轴上,C与抛物线y216x的准线交于A,B两点,
|AB|4,3,则C的
实轴长为
2
(A=
(B)乜
(c)t
(D)_!
6
6
3
2
(12)设点P在曲线
1x,片
ye上,点
2
Q在曲线y
ln(2x)上,
则|PQ|的最小值为
(A)1In2
(B)-2(1
ln2)(C)
1ln2
(D)-2(1ln2)
(A)2(B)22(C)4(D)8
(9)已知
0,函数f(x)
sin(x-)在一,单调递减,则的取值范围
4
2
(A)
15
[1,5](B)
[1,3]
1
(C)(0,丄](D)(0,2]
24
24
2
1
(10)已知函数f(x)
,则y
f(x)的图像大致为
In(x
1)x
y0,
1或元件2正常工作,且元件
(15)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件
正常工作,则部件正常工作。
设三个电子元件的使用寿命(单位:
小时)均服从正态分布
2
N(1000,50),且各个元件能否正常工作互相独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的
概率为
(16)数列an满足an1
(1)nan2n1,则a.的前60项和为.
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边,acosC-、3asinCbc0.
(i)求A;
(n)若a2,ABC的面积为3,求b,c.
(18)(本小题满分12分)
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售•如果当天卖不
完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(i)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:
元)关于当天需求量n(单位:
枝,nN)的函数解析式;
(n)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:
枝),整理得下表:
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率
(i)若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:
元),求X的分布列、数学期望及
(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?
请说明理由
(19)
(本小题满分12分)
1
如图,直三棱柱ABCAB1C1中,ACBC—AA,D是棱AA的
径的圆F交I于B,D两点.
(1)
若BFD90o,ABD的面积为4.2,求p的值及圆F的方程;
(2)若代B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C之有一个公共点,求坐标原点到
m,n距离的比值.
(21)(本小题满分12分)
1已知函数f(x)满足f(x)f
(1)ex1f(0)xx2.
2
(1)求f(x)的解析式及单调区间;
(2)若f(x)x2axb,求(a1)b的最大值.
2
请考生在第22、23、24题中任选一道作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
作答时请写清题号。
(22)(本小题满分10分)选修4—1;几何证明选讲
如图,D,E分别为ABC边AB,AC的中点,直线DE交ABC的外接圆于F,G两点,若CF//AB,证明:
(I)CDBC;
(n)BCDsGBD
序排列,点A的极坐标为2,—.
2
(I)求点A,B,C,D的直角坐标;
2222
(n)设P为Ci上任意一点,求|PA||PB||PC||PD|的取值范围
(24)(本小题满分10分)选修4—5;不等式选讲
已知函数f(x)|xa||x2|
(1)当a3时,求不等式f(x)3的解集;
(2)若f(x)|x4|的解集包含[1,2]求a的取值范围
2012年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
•选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)【解析】选D
2,y1共10个
5,y1,2,3,4,x4,y1,2,3,x3,y1,2,x
【解析】
P1:
|z
.2,
2小
P2:
Z2i,P3
z的共轭复数为
1i,
P4:
z的虚部为
1
(4)
【解析】选
C
F2PF|是底角为
30o的等腰三角形
PF2
F2F1
2®
c)
2ce
c
a
3
4
(5)
【解析】选
D
1i)(1i)
2(1i)(
a4
*72,印&78
a4
4,a7
2或a42,a74
a4
4,a7
2a8G01
a
a10
7
a4
2,a7
4a。
8,a11
a
a10
7
(6)【解析】选C
(7)【解析】选B
该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为3
此几何体的体积为V
1
1
6339
3
2
(8)【解析】选C
设C:
x2y2a2(a
0)交
y216x的准线l:
x4于A(4,23
>)B(4,23)
得:
a2
(4)2(23)2
4
a22a4
(9)【解析】
选
A
2
(
x
)[5
9]
不合题意排除(D)
44
4
1
(
x
3
4)[4,
5
4]
合题意排除(B)(C)
g(x)ln(1x)xg(x)
(11)【解析】选A
?
3>:
6
ABC的外接圆的半径r—,点0到面ABC的距离dR2r2——
33
SC为球O的直径点S到面ABC的距离为2d
二填空题:
本大题共4小题,每小题5分。
(13)【解析】Ibl3迁
rrrrr2rr
2ab*10(2ab)2104|b|4|b|cos4510|b|3血
(14)【解析】zx2y的取值范围为[3,3]
约束条件对应四边形OABC边际及内的区域:
0(0,0),A(0,1),B(1,2),C(3,0)
则zx2y[3,3]
(15)【解析】使用寿命超过1000小时的概率为
三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1000,502)
acosC3asinCbc0sinAcosC3sinAsinCsinBsinC
sinAcosC3sinAsinCsin(aC)sinC
A3030A60
(2)S^bcsinA<3bc42
222
abc2bccosAbc4
解得:
bc2(Ifxlby)
18.【解析】
(1)当n
16时,
y16
(10
5)
80
当
n15时,
y5n
5(16
n)
10n
80
得:
10n
80(n
15)/
N)
y“
"、(n
80
(n
16)
(2)(i)X可取60,70,80
P(X60)0.1,P(X70)0.2,P(X80)0.7
X的分布列为
X
60
70
80
P
0.1
0.2
0.7
EX600.1700.2800.776
222
DX160.160.240.744
(ii)购进17枝时,当天的利润为
y(14535)
0.1
(1552
5)(
0.2(165
15)
0.161750.5476.4
76.4
76
得:
应购进
17枝
(19)【解析】
(1)
在Rt
DAC中,
AD
AC
得:
ADC
;45
同理:
AD。
45
CDC190
得:
DC1
DC,DC1
BD
DC1面
BCD
DC1BC
(2)DC1BC,CGBC
BC
面ACGA
BC
AC
取AB1的中点O,过点O作OHBD于点H,连接CQ,GH
A|C1B1C1C1O
AB1,
面ABG面ABD
C1O面ABD
OHBDC1H
BD得
:
点H与点D重合
且GDO是二面角
ABD
C1的平面角
设ACa,贝UC1O
2a
C1D2a2C1O
C1DO30
2
既二面角A,BDC1的大小为30
(20)【解析】
(1)由对称性知:
BFD是等腰直角,斜边|BD|2p
点A到准线I的距离d|FA||FB|J2p
Sabd4町2—BDd4^2p2
2
圆F的方程为x2(y1)28
2
(2)由对称性设A(x0,Xo)(x0
2p
0),则叫)
点代B关于点F对称得:
B(
2
x0、
X。
,P—)
2p
2
x
2p
得:
A(3p,—),直线
2
m:
y
3pp
22x
3p
3y
3P0
2
x2
2py
2
x
y2p
3
——x
3
切点
p(3黑)
直线
3p)
3丿
x3y
坐标原点到
m,n距离的比值为:
乞3P
(21)【解析】
(1)f(x)
f
(1)ex1
f(0)x
f(x)f
(1)ex1
f(0)x
1得:
f(0)
f(x)
f
(1)ex1
得:
f(x)
12
x-x
2
12—x
2
f(0)
g(x)
g(x)ex
g(x)在x
f(x)0
f(0)
0,f(x)
得:
f(x)的解析式为
f(x)exx
且单调递增区间为
(2)f(x)
1x2axb
2
①当
10时,h(x)
时,h(x)
②当
10时,h(x)
f
(1)e1
(x)ex
f
(1)
R上单调递增
0f(0)
(0,),单调递减区间为
h(x)e
与h(x)
0)
(a1)xb
0得h(x)
(a1)
h(x)在xR上单调递增
0矛盾
ln(a1),h(x)0x
ln(a
1)
得:
当x
ln(a1)时,
h(x)min
(a1)
(a
1)ln(a1)b0
(a1)b
(a1)2(a
1)2ln(a
1)(a1
0)
令F(x)
x2x2Inx(x
0);则
F(x)
x(1
2lnx)
F(x)0
0xe,F(x)
0x
e
当xe时,F(X)maxc
2
当ae1,be时,(a1)b的最大值为e
2
请考生在第22,23,24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,
做答时请写清题号。
(22)【解析】
(1)CF//AB,
DF//BC
CF//BD//AD
CDBF
CF//AB
AF
BC
BC
CD
(2)BC//GF
BG
FC
BD
BC//GF
GDE
BGD
DBCBDC
BCD:
GBD
(23)【解析】
(1)点A,B,C,D的极坐标为(2,),(2,5),(2,4),(2,11)
3636
点A,B,C,D的直角坐标为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)
X2cos、”…,
(2)设P(xo,y。
);则o.(为参数)
y03sin
tIPA2|pb|2|PC2|pd|24X24y240
2x4x在[1,2]上恒成立
a2x在[1,2]上恒成立
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