《直线的倾斜角和斜率》教学设计精品.docx
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《直线的倾斜角和斜率》教学设计精品
《直线的倾斜角和斜率》教学设计
本节课是《全日制普通高级中学教科书(必修)教学第二册(上)》(人教版)第七章第1节课《7.1直线的倾斜角和斜率》。
根据实际情况,这是第一课时。
本节教学是高中解析几何内容的开始。
直线的倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一,是刻画直线倾斜程度的几何要素和代数表示,是平面直角坐标系内以解析法
(坐标法)的方式来研究直线及其几何性质(如直线的位置关系、夹角、点到直线的距离等)的基础。
通过本节内容的学习,帮助学生初步了解直角坐标系内几何要素代数化的过程和意义,初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法,进一步培养学生对函数、数形结合、分类讨论思想的应用知识。
本课有着开启全章,奠定基调,渗透方法的作用。
用坐标法解决几何问题是解析几何的主要目标,其本质是抽象的代数语言和直观的集合语言之间的数学对话。
对直线的方程和方程的直线的概念的理解需要一个过程。
在本节教学中,将一次函数与其图象的对应关系,直接转换成直线方程与直线的对应关系,只需学生对其有一个初步的了解,为今后学习曲线和方程的概念作准备。
直线的倾斜角和斜率都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的。
倾斜角是直接
用几何要素反映这种倾斜程度的。
斜率等于倾斜角的正切值,是用函数刻画直线倾斜程度的代数表示,定义本身从“数”和“形”两方面沟通了表示直线倾斜程度的内在联系,将直线的倾斜度和实数之间建立对应关系,使几何问题的研究具有了普遍性。
由于在解析几何中,通过过两点的直线的斜率公式,把斜率坐标化,在研究直线时比使用倾斜角更方便。
因此,它是研究直线问题的重要工具。
正确理解斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,是学习直线方程,研究直线的位置关系等许多问题的关键。
目标:
了解直线的方程和方程的直线概念,理解直线的倾斜角和斜率概念,掌握过两点的直线的斜率公式。
目标解析:
通过斜率概念的构建和斜率公式的探究,经厉几何问题代数化的过程,
渗透数形结合、分类讨论的思想方法,强化函数的应用意识,训练学生的逆向思维
能力。
通过师生的双边活动使学生进一步获得分类讨论、抽象概括等研究数学的规律和方法,培养学生周密思考,主动学习、合作交流的意识和勇于探索的良好品质。
1、两点确定一条直线,这是学生知道的,但就已知一点再需要增加什么量才能确
定直线,以及如何来刻画这个量,对学生来说有点困难,所以在教学过程中,通过逐个给出的三个问题,让学生在讨论后形成倾斜角的概念。
2、斜率概念的学习是本节的难点,学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向,而且每一条直线的而倾斜角是唯一的,而斜率却不这样,另外,为什么要用倾斜角的正切定义斜率对学生也有一定的困难,教学中从计算具体的直线的倾斜角入手,通过师生对话探究,从学习斜率的必要性、合理性、完备性三个角度进行突破。
3、过两点的斜率概念的建立是本节又一难点,受思维定势影响,在坐标系中,学
生应用几何法探究斜率公式是必然,应重视这一方法,除此之外,要积极引导学生应用向量法,把几何要素用点的坐标来刻画描述,使几何问题代数化。
1、教学上应用新课标理念,以启发式为主。
亚里士多德讲:
“思维从问题,惊讶从
开始”。
通过问题驱动法,采用师生对话的方式,能使学生在讨论探究中激发学习
占
八\、
新知识的兴趣和欲望,也可加深对得到概念的理解。
2、本节课采用学导式,改变了以往研究斜率的方法,让学生从数、形两个不同
的角度对斜率公式进行一个全方位的研究,不仅仅是通过对比总结得到斜率的计算公式,更重要的预期是向学生渗透坐标法,体会向量法的优越性,教师可以真正做到“授之以渔”。
3、应用多媒体教具的电教手段弥补在直观感、立体感和动态感方面的不足,增
大了教学内容,增强了学生的思维训练密度。
4、通过合作学习,上台展示,让学生在活动中感受教学思想方法之和谐优美。
教学重点:
直线的倾斜角和斜率概念,过两点的直线的斜率公式。
教学难点:
斜率概念的学习和过两点的直线的斜率公式的建立。
教学
程序
教学情境
学情预设
设计意图
情
帮助学生回忆初
由函数的概
境
师:
在初中不与坐标轴平行的直线可以用一次
中平面几何中的
念引入解析几
创
相关概念。
可指
何,显得比较
设
函数来表示,开口向上或向下的抛物线可以用二次
出前面研究问题
自然,学生并
引
函数来表示,这样就把对图形的研究转化为对函数
的方法称为“几
不陌生。
同时
出
的研究,这里沟通数形关系的桥梁是坐标系。
这种
何法”,并提示同
为日后体会
课
以坐标系为桥梁,把几何问题转化为代数问题,通
学们注意它与今
“坐标法”解
题
过代数运算研究几何图形性质的方法,叫坐标法。
后研究问题所用
决问题的一般
用坐标法研究几何的学科称为解析几何。
的“坐标法”有
何异同。
性埋下伏笔。
探究一:
直线的方程和方程的直线(约3分钟)
(1)个别学生
1.直线方
师
第一步:
作:
请同学们在直角坐标系中任意画一个
有可能画出形如
程的概念通过
生
一次函数的图像,并任取一点标上坐标。
y=a或x=a
一次函数的解
互
第二步:
想:
所画一次函数的解析式是否是方程?
的图像,应及时
析式与图像的
动
如果是,是何方程?
指出它们虽不是
对应关系引入
第三步:
探讨:
方程的解和直线上的点有何对应关
一次函数,但仍
比较自然。
探
系?
是直线,可引导
究
当学生归纳出方程的解和直线上的点存在一一对
同学们考虑其中
2.直线方程
新
应关系时,师生共同总结出直线的方程和方程的直
方程的解和直线
的概念学习需
知
线(幻灯片):
上的点的关系。
要一个过程,
以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点;
为后面分类讨论
直线的方程和
反之,这条直线上点的坐标都是这个方程的解。
这
作准备。
方程的直线概
时,这个方程就叫做这条直线的方程,这条直线叫
⑵学生准确说
念的描述中体
做这个方程的直线。
出方程的解和直线上的点的对应关系有一定的困难,可积极引导
现出来的逆向思维与本节学习重点直线的倾斜角和斜率
探究二:
直线的倾斜角(约5分钟)
问题逐个给出:
14、
大家观察刚才所画的图像,对于平面
直角坐标系内的一条直线L,它的位置由哪些条件确定?
(2)一点能确定一条直线吗?
再加一个什么条件就可以确定一条直线?
⑶什么是直线的倾斜角?
如何定义?
范围是
什么?
在学生讨论的同时,师板书(为了加深对概念
的理解),画出下图直线的倾斜角。
i
/
y」
/L1
'y
L2
O
x
O
■x
⑴
x
4
h
L4
1
O
1
>
师:
确定平面直角坐标系中一条直线位置关系的几
何要素是定点和倾斜角。
师生共同幻灯片归纳总结:
学生应用逆向思维。
的关系中的逆
向思维一致。
对于问题⑵,学
生如果回答“再
从研究直
加一个表示倾斜
线方程的需要
程度的量”就顺
出发,弓1入直
势引出倾斜角的
线在平面直角
概念。
如果学生
坐标系中的倾
已经看到课本上
斜角和斜率的
倾斜角的概念,
概念,符合学
就直接让学生讨
生的认知特
论问题(3)。
点。
关于问题(3),
学生可能说出直
通过环环
线向上的方向与
相扣的三个问
y轴正向之间所
题,让学生在
成的角是倾斜
讨论后得出倾
角。
此时应立即
斜角的概念,
点拨学生,为什
使学生有成就
么这样定义不合
感,亦可加深
适。
学生对得到概
在总结出直线的
念的理解。
倾斜角概念后可
根据学生理解的
对于直线和
实际情况做详
x轴平行或重
释:
合的认识理
直线的倾斜角是
解,可培养学
一个几何概念,
生周密的思维
它直观地描述和
能力,强化应
x
(1)在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相
交的直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转
到和直线重合时所转的最小角正角记为a,那么a
就叫做直线的倾斜角。
(2)当直线和x轴平行或重合时,规定直线的
倾斜角为0°。
故倾斜角的范围是0o 探究三: 让学生讨论给出直线的斜率的定义(约 分钟)。 1你能求出下图中直线的倾斜角吗? 师: 说说你们的算法! 可能出现的方法是: 表现了直线向上 的方向和x轴正 方向所成的最小 正角。 可简记为 “正”。 有的同学预习了 用分类讨论思 想的意识。 “上”, “正”,“正” 是将倾斜角概 念做出的精炼 概述,可加强 记忆。 课本,已见到斜 率的概念,可以 问为什么采用 tana, 而不 是别的三角函 数。 在学生经过 思考讨论后,让 学生明确: 平面内的任意一 条直线都有且只 1.通过师生对 话,引出用斜 率表示直线倾 斜程度的必要 性。 2.让学生自己 定义斜率的概 念,可增强成 就感,激发学 生1: 在Rt? AOB中, 生2: 在Rt? AOB中, 由tana=OB得出。 OA 由sin^=OB得出。 AB 生3: 应用y=cota和y=cosa也可以。 2同学们还能定义别的表示直线倾斜程度的量吗? 3应用哪一个三角函数更能合理地表示直线的倾斜 程度? 有一个倾斜角, 习兴趣,有利 倾斜角的大小确 定了,直线的方 向也就确定了, 倾斜角不同,直 线的倾斜程度也 不同。 那么所用 函数尽可能是 一映射且单调性 于该难点的突 破。 3.函数的应用 应与实际研究 问题的需要相 结合。 只有这 样直线的倾斜 角与斜率两个 借住师生、生生间的辨析得出斜率的概念: 定义: (1倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的 正切叫做直线的斜率。 用k表示,即k=tanot。 (2)倾斜角是90°的直线没有斜率。 教师可以接着问: 倾斜角为60°和120°的直线 的斜率为多少? 用幻灯片出示第36页例1,板书解的过程。 4师: 有了倾斜角的概念,为什么还用斜率来 表示直线的倾斜程度? 仅用倾斜角这个几何概念来刻画直线的方向是 不符合解析思想的(即用代数思想研究几何问题) 由此想到三角函数,因为tana忘R可设k=tana, 这样就可以从代数的角度去刻画直线对X轴的倾 斜程度。 一致才更加合理。 分析各种三角函数,采用k=tana,只需补充a=90°时斜率不存在即可。 对于定义 (2),可通过师生对话明确1.当倾斜角是90°时,直线的斜率不存在,并不是该直线不存在,此直线垂直于X轴2.所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率。 概念才能“和谐”共存,都能表示直线的倾斜程度,体现数学中的“和谐”美。 4.可加深对分类讨论思想的应用意识。 亦可完善对斜率概念的理解。 5.采用数形结合,将直线的倾斜度和实数之间建立对应关系,使几何问题的研究具有了普遍性,充分体现“坐标法”在数学研究中划时代的历史意义。 探究四: 直线的斜率公式(8分钟) 师: 在坐标平面内,已知两点Pi(xi,yi),P2(X2,y2), 就能确定一条直线,当倾斜角不等于90°时,这 条直线的斜率也是唯一确定的,那么,如何用两点 的坐标来表示直线PiR的斜率呢? 在探究中应 向学生指出: (1)斜率公 式与两点的顺序 无关,即横纵坐 标在公式中的前 后次序可以用时 问题 (1) 让学生复习斜 率概念可起到 承上启下的作 用。 第一步: 提出两个问题 (1)如何求斜率K? 颠倒; ⑵斜率公 问题 (2) (当a时,由k=tanaa引0,兀)) (2)计算tana可以从什么角度计算? 用什么方 式表明,直线对 引导学生从不 于x轴的倾斜程 同的角度计算 法? 度可以通过直线 斜率,并对学 上任意两点的坐 生进行数形结 (可以构造直角三角形由tana-对边入手,还可邻边 标表示,而不需 合、分类讨论、 以根据定义,将角平移使始边与x正半轴重合,顶 要求出斜角,使 般f特殊f 点与坐标原点重合,在终边上取一点P(x,y)用 用时比较方便; 一般等数学思 tana=—来计算) (3)当xi=X2时, 想方法的有机 x a=90°,斜 率不存在。 渗透。 第二步: 分组活动,合作学习 在坐标系中,学 生应用几何法探 通过合作 师: 下面就从这两个不同角度来计算斜率。 究斜率公式是必 学习,让学生 然,应重视这一 充当学习的主 (1)让学生分两大组,一组从构造直角三角形入手 方法。 学生有可 体,体会用“坐 计算斜率,另一组通过向量来计算斜率。 能对倾斜角为钝 标法”研究几 (2)每一大组再分几个合作小组,直线的倾斜角取 角的情况不太注 何问题的一般 不同的值。 意,应要求学生 方法和对得到 取不同的倾斜角 结论的理解。 第三步: 交流,总结 进行分析,并给 让学生上台展 予适时的点拨和 示可训练分析 教师在巡视中关注各组研究情况适时给予点拨、指 帮助。 和表达问题的 导。 条件成熟时,要求学生分析,除了公式是否还 应用向量法 能力。 可得到一些有价值的副产品(如对直线的方向向量 探究斜率公式的 的感性认识)。 学生,可能对 1— PlP2取向上 过两点 可选一些有代表性的小组上台展示成果,得出斜率公式: 的方向不太注 的直线的斜率 X2—X1 第四步: 归纳向量法推导斜率公式的要点,定 义直线的方向向量: 直线上的向量p1p2及与它平 行的向量都称为直线的方向向量,其坐标是: 几(X2-Xi,y2-yjkH0,当'x2^xi时,a=(1,k) 也是它的方向向量。 师: 求经过A(-2,0),B(-5,3)两点的直线 的斜率和倾斜角。 解: "-5-(-2厂1,即tag—1, 寫0° /.a=135° 「•直线的斜率是-1,倾斜角是135°。 师: 在平面直角坐标系中,画出经过原点, 斜率分别为1,-1,-2,-3的直线L1,L2, L3, L4。 分析: 要画经过原点的直线,只需再找一个点, L3 设L1上A(X1,y1)则由1= %-0x1-0 的X1=y1, 只需 取满足Xi=yi的任意点均可,如(1,1)。 类似可画 出其它直线。 意,将P1P2平移 至起点与坐标顶点重合时,结合三角函数的定义是思维上的障碍,考虑到学生的个体差异,教师应从向量的定义、三角函数的定义等方面对个别小组进行适时的点评、指导。 公式的建立是本节难点,让学生在交流中从两方面进行探究解决使该难点的突破显得自然。 同时让学生在探究中逐步意识到向量是处理直线方程中许多问题的重要工具。 本题考查公式的 通过典例分 直接应用问题, 析,训练斜率 学生估计能做的 公式的正用与 很好! 可找二同 逆用问题,培 学板演,其他同 养学生的逆向 学除做本题外, 思维能力。 还做书中P37练 习1,3。 学生画出图 后,可增强“坐 本题属斜率 标法”与数形 公式的逆用问 结合的意识。 题,学生有可能 让学生体会 对L1,L2求出 用“特例法” 倾斜角画直线。 解题带来的方 A3(1,2) 1 A2(1,-1) A1(1,1)►x A 1,-3) 师: 练习P39中4。 请2位同学板演4。 师: 做书上P39页练习2,并进一步讨论斜率与倾 斜角的取值范围。 可酌情给出:
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- 直线的倾斜角和斜率 直线 倾斜角 斜率 教学 设计 精品