版高中数学第三章圆锥曲线与方程11椭圆及其标准方程一学案含答案北师大版选修21.docx
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版高中数学第三章圆锥曲线与方程11椭圆及其标准方程一学案含答案北师大版选修21
1.1 椭圆及其标准方程
(一)
学习目标 1.了解椭圆的实际背景,经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.
知识点一 椭圆的定义
思考1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板,一支铅笔,如何画出一个椭圆?
思考2 在上述画椭圆过程中,笔尖移动需满足哪些条件?
如果改变这些条件,笔尖运动时形成的轨迹是否还为椭圆?
梳理
(1)我们把平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于______(大于|F1F2|)的点的集合叫作______.这两个定点叫作椭圆的______,两焦点间的距离叫作椭圆的______.
(2)椭圆的定义用集合语言叙述为:
P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}.
(3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表:
条件
结论
2a>|F1F2|
动点的轨迹是椭圆
2a=|F1F2|
动点的轨迹是线段F1F2
2a<|F1F2|
动点不存在,因此轨迹不存在
知识点二 椭圆的标准方程
思考1 在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗?
思考2 若两定点A、B间的距离为6,动点P到两定点的距离之和为10,如何求出点P的轨迹方程?
梳理
(1)椭圆标准方程的两种形式
形式一:
+=1(a>b>0),表示中心在原点,焦点在______上的椭圆的标准方程,其中b2=a2-c2.
形式二:
+=1(a>b>0),表示中心在原点,焦点在y轴上的椭圆的标准方程,其中b2=a2-c2.
(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系
椭圆在坐标系中的位置
标准方程
+=1(a>b>0)
+=1(a>b>0)
焦点坐标
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
a,b,c的关系
b2=a2-c2
(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标
判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些,即“谁大在谁上”.如方程为+=1的椭圆,焦点在y轴上,而且可求出焦点坐标F1(0,-1),F2(0,1),焦距|F1F2|=2.
类型一 椭圆的定义解读
例1 点P(-3,0)是圆C:
x2+y2-6x-55=0内一定点,动圆M与已知圆相内切且过P点,判断圆心M的轨迹.
引申探究
若将本例中圆C的方程改为x2+y2-6x-27=0呢?
反思与感悟 椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视.
定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量.
常数(2a)必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.
跟踪训练1 下列命题是真命题的是________.(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点F1(-1,0),F2(1,0),则满足|PF1|+|PF2|=的点P的轨迹为椭圆;
②已知定点F1(-2,0),F2(2,0),则满足|PF1|+|PF2|=4的点P的轨迹为线段;
③到定点F1(-3,0),F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.
类型二 求椭圆的标准方程
命题角度1 用待定系数法求椭圆的标准方程
例2 求中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过两点P(,),Q(0,-)的椭圆的标准方程.
引申探究
求与椭圆+=1有相同焦点,且过点(3,)的椭圆方程.
反思与感悟
(1)若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论,也可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).
(2)与椭圆+=1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为+=1(a>b>0,b2>-λ),与椭圆+=1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为+=1(a>b>0,b2>-λ).
跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(-4,0),F2(4,0),椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10;
(2)椭圆过点(3,2),(5,1);
(3)椭圆的焦点在x轴上,且经过点(2,0)和点(0,1).
命题角度2 用定义法求椭圆的标准方程
例3 已知一动圆M与圆C1:
(x+3)2+y2=1外切,与圆C2:
(x-3)2+y2=81内切,试求动圆圆心M的轨迹方程.
反思与感悟 用定义法求椭圆标准方程的思路:
先分析已知条件,看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义,若符合椭圆的定义,可以先定位,再确定a,b的值.
跟踪训练3 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为和,过点P作长轴的垂线,垂足恰好为椭圆的一个焦点,求此椭圆的方程.
类型三 椭圆中焦点三角形问题
例4
(1)已知P是椭圆+=1上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积;
(2)已知椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,求∠F1PF2的大小.
反思与感悟 在椭圆中,当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时,这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形,这个三角形就是焦点三角形.这个三角形中一条边长等于焦距,另两条边长之和等于椭圆定义中的常数.
在处理椭圆中的焦点三角形问题时,可结合椭圆的定义|MF1|+|MF2|=2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解.
跟踪训练4
(1)在椭圆C:
+=1(a>b>0)的焦点三角形PF1F2中,∠F1PF2=α,点P的坐标为(x0,y0),求证:
△PF1F2的面积S△PF1F2=c|y0|=b2tan.
(2)已知椭圆的方程为+=1,椭圆上有一点P满足∠PF1F2=90°(如图).求△PF1F2的面积.
1.已知A(-5,0),B(5,0).动点C满足|AC|+|BC|=10,则点C的轨迹是( )
A.椭圆B.直线C.线段D.点
2.若方程3x2+ky2=1表示焦点在y轴上的椭圆,则k的可能取值为( )
A.1B.3C.0D.-2
3.已知椭圆C:
+=1内有一点M(2,3),F1,F2分别为椭圆的左,右焦点,P为椭圆C上一点,则|PM|+|PF1|的最大值为________,最小值为________.
4.椭圆8x2+3y2=24的焦点坐标为________________.
5.求经过两点(2,-),(-1,)的椭圆的标准方程.
1.椭圆的定义式:
|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|).在解题过程中将|PF1|+|PF2|看成一个整体,可简化运算.
2.椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数,因而在解决问题时,若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容,应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决.
3.凡涉及椭圆上的点的问题,首先要考虑它应满足椭圆的定义|MF1|+|MF2|=2a(M为椭圆上的点,F1,F2为椭圆的焦点),一般进行整体变换,其次要考虑该点的坐标M(x0,y0)适合椭圆的方程,然后再进行代数运算.
提醒:
完成作业 第三章 §1 1.1
(一)
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 在纸板上固定两个图钉,绳子的两端固定在图钉上,绳长大于两图钉间的距离,笔尖贴近绳子,将绳子拉紧,移动笔尖即可画出椭圆.
思考2 笔尖到两图钉的距离之和不变,等于绳长.绳长大于两图钉间的距离.若在移动过程中绳长发生变化,即到两定点的距离不是定值,则轨迹就不是椭圆.若绳长不大于两图钉间的距离,轨迹也不是椭圆.
梳理
(1)常数 椭圆 焦点 焦距
知识点二
思考1 不一定,只需a>b,a>c即可,b,c的大小关系不确定.
思考2 以两定点的中点为坐标原点,以AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则A(3,0),B(-3,0).设P(x,y),依题意得|PA|+|PB|=10,所以+=10,即点P的轨迹方程为+=1.
梳理
(1)x轴
题型探究
例1 解 方程x2+y2-6x-55=0化标准形式为:
(x-3)2+y2=64,圆心为(3,0),半径r=8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点,所以|MC|+|MP|=r=8,根据椭圆的定义,动点M到两定点C,P的距离之和为定值8>6=|CP|,所以动点M的轨迹是椭圆.
引申探究
解 设M(x,y),据题意,圆C:
(x-3)2+y2=36,
圆心C(3,0),半径r=6.
据题意,有|MC|+|MP|=r=6=|CP|.
故动点M的轨迹是线段CP.
跟踪训练1 ②
例2 解 ①当椭圆焦点在x轴上时,可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
依题意有
解得
由a>b>0知不合题意,故舍去.
②当椭圆焦点在y轴上时,可设椭圆的标准方程为
+=1(a>b>0).
依题意有
解得
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
引申探究
解 据题意可设其方程为+=1(λ>-9),
又椭圆过点(3,),将此点代入椭圆方程,得
λ=11(λ=-21舍去),
故所求的椭圆方程为+=1.
跟踪训练2 解
(1)设其标准方程为
+=1(a>b>0).
据题意2a=10,c=4,故b2=a2-c2=9,
∴所求椭圆的标准方程为+=1.
(2)设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B),
则解得
故所求椭圆的标准方程为+=1.
(3)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
由解得
∴所求椭圆的标准方程为+y2=1.
例3 解 据题意C1(-3,0),r1=1,C2(3,0),r2=9,
设M(x,y),半径为R,
则|MC1|=1+R,|MC2|=9-R,
故|MC1|+|MC2|=10,
据椭圆定义知,点M的轨迹是一个以C1,C2为焦点的椭圆,且a=5,c=3,故b2=a2-c2=16.
故所求动圆圆心M的轨迹方程为+=1.
跟踪训练3 解 设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,
不妨取|PF1|=,|PF2|=,
由椭圆的定义,知2a=|PF1|+|PF2|=2.即a=.
由|PF1|>|PF2|知,PF2垂直于长轴.
在Rt△PF2F1中,4c2=|PF1|2-|PF2|2
=,
∴c2=,
∴b2=a2-c2=.
又所求的椭圆的焦点可以在x轴上,也可以在y轴上,
故所求的椭圆方程为+=1或+=1.
例4 解
(1)由椭圆的标准方程,
知a=,b=2,
∴c==1,∴|F1F2|=2.
又由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|
=2a=2.
在△F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2
=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2,
即4=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|cos30°,
即4=20-(2+)|PF1|·|PF2|,
∴|PF1|·|PF2|=16(2-).
∴S△F1PF2=|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2
=×16(2-)×=8-4.
(2)由+=1,知a=3,b=,
∴c=,
∴|PF2|=2a-|PF1|=2,
∴cos∠F1PF2
==-,
∴∠F1PF2=120°.
跟踪训练4
(1)证明 =|F1F2||y0|=c|y0|.
在△PF1F2中,根据椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=2a.
两边平方,得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=4a2.①
根据余弦定理,得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosα=4c2.②
①-②,得(1+cosα)|PF1||PF2|=2b2,
所以|PF1||PF
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