专题四第2讲高二理科学生版.docx
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专题四第2讲高二理科学生版
第2讲 空间中的平行与垂直
热点一 空间线面位置关系的判定
例1
(1)设a,b表示直线,α,β,γ表示不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A.若a⊥α且a⊥b,则b∥α
B.若γ⊥α且γ⊥β,则α∥β
C.若a∥α且a∥β,则α∥β
D.若γ∥α且γ∥β,则α∥β
(2)平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A.存在一条直线a,a∥α,a∥β
B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β
C.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
设m、n是不同的直线,α、β是不同的平面,有以下四个命题:
①若α⊥β,m∥α,则m⊥β
②若m⊥α,n⊥α,则m∥n
③若m⊥α,m⊥n,则n∥α
④若n⊥α,n⊥β,则β∥α
其中真命题的序号为( )
A.①③B.②③
C.①④D.②④
热点二 平行、垂直关系的证明
例2
如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点,求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
如图所示,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.
求证:
(1)AF∥平面BCE;
(2)平面BCE⊥平面CDE.
热点三 图形的折叠问题
例3
如图
(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图
(2).
(1)求证:
DE∥平面A1CB;
(2)求证:
A1F⊥BE;
(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?
请说明理由.
如图
(1),已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°,AB=BC=2AD=4,E,F分别是AB,CD上的点,EF∥BC,AE=x.沿EF将梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF(如图
(2)所示),G是BC的中点.
(1)当x=2时,求证:
BD⊥EG;
(2)当x变化时,求三棱锥D-BCF的体积f(x)的函数式.
真题感悟
1.已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n
C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α
D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α
2.如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.
(1)求证:
EF⊥平面BCG;
(2)求三棱锥D-BCG的体积.
附:
锥体的体积公式V=
Sh,其中S为底面面积,h为高.
押题精练
1.如图,AB为圆O的直径,点C在圆周上(异于点A,B),直线PA垂直于圆O所在的平面,点M为线段PB的中点.有以下四个命题:
①PA∥平面MOB;
②MO∥平面PAC;
③OC⊥平面PAC;
④平面PAC⊥平面PBC.
其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号).
2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.
(1)证明:
平面ADC1B1⊥平面A1BE;
(2)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F∥平面A1BE?
并证明你的结论.
(推荐时间:
60分钟)
一、选择题
1.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
2.已知m和n是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )
A.α⊥β,且m⊂αB.m∥n,且n⊥β
C.α⊥β,且m∥αD.m⊥n,且n∥β
3.ABCD-A1B1C1D1为正方体,下列结论错误的是( )
A.BD∥平面CB1D1B.A1C⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1D.AC1⊥BD1
4.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD.则在三棱锥A-BCD中,下列命题正确的是( )
A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面ABC
5.直线m,n均不在平面α,β内,给出下列命题:
①若m∥n,n∥α,则m∥α;②若m∥β,α∥β,则m∥α;③若m⊥n,n⊥α,则m∥α;④若m⊥β,α⊥β,则m∥α.其中正确命题的个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
6.在正三棱锥S-ABC中,M,N分别是SC,BC的中点,且MN⊥AM,若侧棱SA=2
,则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是( )
A.12πB.32π
C.36πD.48π
二、填空题
7.已知两条不同的直线m,n和两个不同的平面α,β,给出下列四个命题:
①若m∥α,n∥β,且α∥β,则m∥n;②若m∥α,n⊥β,且α⊥β,则m∥n;③若m⊥α,n∥β,且α∥β,则m⊥n;④若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n.其中正确的个数为_______________________.
8.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号).
9.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=________时,CF⊥平面B1DF.
10.如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC上一动点(不包括端点).现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是________.
三、解答题
11.(2014·浙江)如图,在四棱锥A-BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=
.
(1)证明:
AC⊥平面BCDE;
(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值.
(1)证明
12.如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,D,E分别为A1B1,AA1的中点,点F在棱AB上,且AF=
AB.
(1)求证:
EF∥平面BC1D;
(2)在棱AC上是否存在一个点G,使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1∶15,若存在,指出点G的位置;若不存在,请说明理由.
13.如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC=4,∠ABC=120°,E,M分别为AB,DE的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,F为A′C的中点,A′C=4.
(1)求证:
平面A′DE⊥平面BCD;
(2)求证:
FB∥平面A′DE.
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