届高考数学二轮复习文数考前冲刺突破6类解答题学案含答案全国通用.docx
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届高考数学二轮复习文数考前冲刺突破6类解答题学案含答案全国通用
突破6类解答题
三角函数问题重在“变”——变角、变式与变名
三角函数类解答题是高考的热点,其起点低、位置前,但由于其公式多,性质繁,使不少同学对其有畏惧感.突破此类问题的关键在于“变”——变角、变式与变名.
(1)变角:
已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用.如α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(β+α)-(β-α).
(2)变式:
根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式,其手法通常有“常值代换”“逆用、变形用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等.
(3)变名:
通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”“升次与降次”等.
例 (2016课标全国Ⅰ理,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.
(1)求C;
(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.
解析
(1)
由已知2cosC(acosB+bcosA)=c及正弦定理得
2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,①
即2cosCsin(A+B)=sinC,
故2cosCsinC=sinC.②
可得cosC=,所以C=.
(2)由已知得absinC=.
又C=,所以ab=6.
由已知及余弦定理得a2+b2-2abcosC=7,
故a2+b2=13,从而(a+b)2=25,即a+b=5.
所以△ABC的周长为5+.
①变式:
利用正弦定理把已知等式中的边a,b,c变为sinA,sinB,sinC.
②变角:
利用两角和的正弦公式及三角形的内角和定理把等式中sinAcosB+sinBcosA变为sin(A+B)再变为sinC.
跟踪集训
(2017陕西西安八校联考)已知△ABC内接于单位圆,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2acosA=ccosB+bcosC.
(1)求cosA的值;
(2)若b2+c2=4,求△ABC的面积.
数列问题重在“归”——化归、归纳
首项与公差(比)称为等差(比)数列的基本量.凡是涉及等差或等比数列的问题,通常是把已知条件化归为等差或等比数列的基本量间的关系,从而达到解决问题的目的,这种化归为基本量处理的方法,是等差或等比数列特有的方法,对于不是等差或等比的数列,可从简单的特殊的情景出发,从中归纳出一般的规律、性质,这种归纳思想便形成了解决一般性数列问题的重要方法:
观察、归纳、猜想、证明.由于数列是一种特殊的函数,也可根据题目的特征,将数列问题化归为函数问题解决.
例 (2017课标全国Ⅲ,17,12分)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
解析
(1)
因为a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,故当n≥2时,
a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1).
两式相减得(2n-1)an=2.
所以an=(n≥2).①
又由题设可得a1=2,
从而{an}的通项公式为an=(n∈N).
(2)记的前n项和为Sn.
由
(1)知==-.②
则Sn=-+-+…+-=.
①归纳:
通过条件“a1+3a2+…+(2n-1)an=2n”可归纳出“a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1)(n≥2)”进而得出{an}的通项公式.
②化归:
把数列的通项分拆后,用裂项相消法求和.
跟踪集训
(2017广西三市第一次联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n-1(n∈N).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log4an+1,求{bn}的前n项和Tn.
立体几何问题重在“转”——转化、转换
立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合,以某个几何体为依托,分步设问,逐层加深,解决这类题目的原则是转化、转换.转化——空间平行关系间的转化,垂直关系间的转化、平行与垂直关系间的转化以及平面几何与立体几何的互相转化等;转换——对几何体的面积、锥体体积考察顶点转换.
例 (2016课标全国Ⅲ,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(1)证明MN∥平面PAB;
(2)求四面体N-BCM的体积
解析
(1)证明:
由已知得AM=AD=2,
取BP的中点T,连接NT,AT,
由N为PC中点知
TN∥BC,
TN=BC=2.
又AD∥BC,故TNAM,
所以四边形AMNT为平行四边形,
于是MN∥AT.
因为MN⊄平面PAB,AT⊂平面PAB,
所以MN∥平面PAB.①
(2)因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,
所以N到平面ABCD的距离为PA.
取BC的中点E,连接AE.
由AB=AC=3得AE⊥BC,
AE==.
由AM∥BC得M到BC的距离为,
故S△BCM=×4×=2.
所以四面体N-BCM的体积
VN-BCM=·S△BCM·=.②
①转化:
平行关系间的转化.线∥线⇒线∥面.
②转换:
距离与体积的计算转换.点面距、点线距⇒体积的计算,由AE=⇒点M到BC的距离为;点N到平面ABCD的距离为PA⇒四面体N-BCM的体积.
跟踪集训
(2017四川成都第二次诊断性检测)如图,已知梯形CDEF与△ADE所在的平面垂直,AD⊥DE,CD⊥DE,AB∥CD∥EF,AE=2DE=8,AB=3,EF=9,CD=12,连接BC,BF.
(1)若G为AD边上一点,DG=DA,求证:
EG∥平面BCF;
(2)求多面体ABCDEF的体积.
概率问题重在“辨”——辨析、辨型
概率与统计问题的求解关键是辨别它的概率模型,只要找到模型,问题便迎刃而解.而概率与统计模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程,同时,还需清楚概率模型中等可能事件、互斥事件,对立事件等事件间的关系,注意放回和不放回试验的区别,合理划分复杂事件.
例 (2016课标Ⅱ,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:
元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件:
“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;
(2)记B为事件:
“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160”.求P(B)的估计值;
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
解析
(1)
事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.①
由所给数据知,
一年内出险次数小于2的频率为=0.55,
故P(A)的估计值为0.55.②
(2)
事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.③
由所给数据知,
一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3,
故P(B)的估计值为0.3.④
(3)由所给数据得
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查的200名续保人的平均保费为
0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.1925a.
因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.
①辨析:
判断事件A包括试验发生的情况为:
一年内出险次数小于2,即出险次数为0和1两种情况.
②辨型:
该问题为求随机事件的概率,利用互斥事件的概率加法公式求解.
③辨析:
判断事件B所包含的基本事件.
④辨型:
随机事件的概率,并代入公式求解.
跟踪集训
(2017陕西高三教学质量检测
(一))某校高一年级学生全部参加了体育目的达标测试,现从中随机抽取40名学生的测试成绩,整理数据并按分数段[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]进行分组,假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,则得到体育成绩的折线图(如图).
(1)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”.已知该校高一年级有1000名学生,试估计该校高一年级中“体育良好”的学生人数;
(2)为分析学生平时的体育活动情况,现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的学生中随机抽取2人,求在抽取的2名学生中,至少有1人体育成绩在[60,70)的概率.
解析几何问题重在“设”——设点、设线
解析几何试题涉及知识点多,运算量大,综合性强,在高考试题中大都是在压轴题的位置出现,是考生“未考先怕”的题型之一,不是怕解题无思路,而是怕解题过程中繁杂的运算.因此,在遵循“设——列——解”程序运算的基础上,应突出解析几何“设”的重要性,以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾,突破如何避繁就简这一瓶颈.
例 (2017课标全国Ⅰ,20,12分)设A,B为曲线C:
y=上两点,A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率;
(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.
解析
(1)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,①
于是直线AB的斜率k===1.②
(2)由y=,得y'=,
设M(x3,y3),由题设知=1,
解得x3=2,于是M(2,1).
设直线AB的方程为y=x+m,③
故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.
将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.
当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2.
从而|AB|=|x1-x2|=4.
由题设知|AB|=2|MN|,
即4=2(m+1),解得m=7.
所以直线AB的方程为y=x+7.
①设点:
要求直线AB的斜率;设出A、B两点的坐标.
②设而不求:
利用斜率公式及曲线方程,采用设而不求思想求k.
③设直线:
根据
(1),设出直线方程的斜截式,然后求解.
跟踪集训
设椭圆C1的中心和抛物线C2的顶点均为原点O,C1,C2的焦点均在x轴上,在C1,C2上各取两个点,将其坐标记录于表格中:
x
3
-2
4
y
-2
0
-4
-
(1)求C1,C2的标准方程;
(2)过C2的焦点F作斜率为k的直线l,与C2交于A,B两点,与C1交于C,D两点,若=,求直线l的方程.
函数与导数重在“分”——分离、分解
以函数为载体,导数为工具的综合问题常常是高考的压轴大题,多涉及含参函数的单调性、极值或最值的探索与讨论,复杂函数的零点的讨论,函数不等式中参数范围的讨论,恒成立和能成立问题的讨论等.对于此类综合试题,一般先求导,再变形或分解出基本函数,再根据题意处理.
例 已知函数f(x)=lnx+x2-(a+1)x.
(1)若曲线y=f(x)在x=
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