考研数学所有知识点总结高等数学知识点.docx
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考研数学所有知识点总结高等数学知识点
考研数学知识点-高等数学
一.函数的概念
1.用变上、下限积分表示的函数
(1)y=
(2)y=连续,则
公式1.lim
sinx
=1
x→0x
n
u
∫
x
f(t)dt,其中f(t)连续,则
x
2
dy
=f(x)dx
∫ϕ()f(t)dt,其中ϕ(x),ϕ(x)可导,f(t)
ϕ2(x)
⎛1⎞⎛1⎞
公式2.lim⎜1+⎟=e;lim⎜1+⎟=e;
n→∞u→∞
⎝n⎠⎝u⎠
lim(1+v)=e
v→0
1v
dy
′(x)−f[ϕ1(x)]ϕ1′(x)=f[ϕ2(x)]ϕ2
dx
2.两个无穷小的比较
4.用无穷小重要性质和等价无穷小代换5.用泰勒公式(比用等价无穷小更深刻)(数学一和数学二)
f(x)设limf(x)=0,limg(x)=0,且lim=lgx
(1)l=0,称f(x)是比g(x)高阶的无穷小,记以
x2xn
当x→0时,e=1+x++Λ++0xn
2!
n!
x
()(
f(x)=0[g(x)],称g(x)是比f(x)低阶的无穷
小。
(2)l≠0,称f(x)与g(x)是同阶无穷小。
(3)l=1,称f(x)与g(x)是等价无穷小,记以
x3x5x2n+1n
sinx=x−++Λ+(−1)+0x2n+1
2n+1!
3!
5!
)
2n
x2x4nx
cosx=1−+−Λ+(−1)+0x2n
2n!
2!
4!
()
n
x2x3n+1x
ln(1+x)=x−+−Λ+(−1)+0xn
23n
()(
f(x)~g(x)
3.常见的等价无穷小
当x→0时
sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x
2n+1
x3x5n+1x
arctanx=x−+−Λ+(−1)+0x2n+1
352n+1
)
(1+x)α=1+αx+α(α−1)x2+Λ+α(α−1)Λ[α−(n−1)]xn+0(xn)
2!
n!
6.洛必达法则法则1.(
1−cosx~
12
x,ex−1~x,ln(1+x)~x,2
(1+x)α
−1~αx
型)设
(1)limf(x)=0,limg(x)=00
二.求极限的方法
1.利用极限的四则运算和幂指数运算法则2.两个准则
准则1.单调有界数列极限一定存在
(1)若xn+1≤xn(n为正整数)又xn≥m(n为正整数),则limxn=A存在,且A≥m
n→∞
(2)x变化过程中,f′(x),g′(x)皆存在
f′(x)=A(或∞)(3)lim
g′x则lim
f(x)=A(或∞)gxf′(x)不存在且不是无穷大量情形,则g′x
(2)若xn+1≥xn(n为正整数)又xn≤M(n为正整数),则limxn=A存在,且A≤M
n→∞
(注:
如果lim
准则2.(夹逼定理)设g(x)≤f(x)≤h(x)若limg(x)=A,limh(x)=A,则limf(x)=A3.两个重要公式
不能得出lim
f(x)不存在且不是无穷大量情形)
gx法则2.(
∞
型)设
(1)limf(x)=∞,limg(x)=∞∞
Editedby杨凯钧2005年10月
(2)x变化过程中,f′(x),g′(x)皆存在
考研数学知识点-高等数学
f′(x)(3)lim=A(或∞)g′x则lim
值,如果对于区间[a,b]上的任一点x,总有f(x)≤M,则称M为函数f(x)在[a,b]上的最大值。
同样可以定义最小值m。
定理3.(介值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上则对于介于m连续,且其最大值和最小值分别为M和m,和M之间的任何实数c,在[a,b]上至少存在一个ξ,使得
f(x)=A(或∞)
gx7.利用导数定义求极限
f(x0+∆x)−f(x0)
=f′(x0)[如果基本公式:
lim
∆x→0∆x
存在]
8.利用定积分定义求极限
f(ξ)=c
推论:
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号,则在(a,b)内至少存在一个点ξ,使得
1n⎛k⎞1
基本公式lim∑f⎜⎟=∫f(x)dx[如果存在]
0n→∞nk=1⎝n⎠
三.函数的间断点的分类
函数的间断点分为两类:
(1)第一类间断点
设x0是函数y=f(x)的间断点。
如果f(x)在间断点
f(ξ)=0
这个推论也称为零点定理五.导数与微分计算1.导数与微分表
x0处的左、右极限都存在,则称x0是f(x)的第一类间断
点。
第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。
(2)第二类间断点
第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。
常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。
四.闭区间上连续函数的性质
在闭区间[a,b]上连续的函数f(x),有以下几个基本性质。
这些性质以后都要用到。
定理1.(有界定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)必在[a,b]上有界。
定理2.(最大值和最小值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在这个区间上一定存在最大值M和最小值m。
其中最大值M和最小值m的定义如下:
定义设f(x0)=M是区间[a,b]上某点x0处的函数
(c)′=0d(c)=0
(x)′=αx
α
α−1
(α实常数)dx
()=αx
α
α−1
dx(α实常数)
(sinx)′=cosxdsinx=cosxdx(cosx)′=−sinxdcosx=−sinxdx(tanx)′=sec2xdtanx=sec2xdx(cotx)′=−csc2xdcotx=−csc2xdx(secx)′=secxtanxdsecx=secxtanxdx(cscx)′=−cscxcotxdcscx=−cscxcotxdx
1
(a>0,a≠1)xlnadx
(a>0,a≠1)dlogax=
xlna
(lnx)′=1dlnx=1dx
xx
(ax)′=axlna(a>0,a≠1)
(logax)′=
dax=axlnadx(a>0,a≠1)
Editedby杨凯钧2005年10月
考研数学知识点-高等数学
(e)′=e
x
x
de=edx
xx
ψ′(t)存在,且ϕ′(t)≠0,则
1−x2
1−x
2
(arcsinx)′=(arccosx)
′
1−x2
1−x
darcsinx=dx
dyψ′(t)=(ϕ′(t)≠0)
′dxϕt二阶导数
=−
2
darccosx=−dx
11
arctan=dxdx
1+x21+x2
(arccotx)′=−12darccotx=−12dx
1+x1+x
(arctanx)′=
⎡dy⎤
d⎢dx⎥d2y⎣⎦==
dxdx2
⎡dy⎤
d⎢⎣dx⎦⋅1=ψ′′(t)ϕ′(t)−ψ′(t)ϕ′′(t)
dxdtϕ′t3dt
[ln(x+
(
x+a
22
)]=
′
1x+a
1x2+a2
2
2
5.反函数求导法则
设y=f(x)的反函数x=g(y),两者皆可导,且
dlnx+x2+a2=
)
dx
f′(x)≠0
则g′(y)=
[ln(x+
(
x−a
22
)]=
′
1x−a
1x−a
2
2
2
2
11
(f′(x)≠0)=
f′xf′gydlnx+x2−a2=
2.四则运算法则
)
dx
⎡1⎤d⎢
f′x⎥d[g′(y)]⎣⎦⋅1=二阶导数g′′(y)=
dydydx
dx
[f(x)±g(x)]=f′(x)±g′(x)[f(x)⋅g(x)]=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
′
′
=−
f′′(x)f′′[g(y)](f′(x)≠0)=−33f′xf′gy′
⎡f(x)⎤f′(x)g(x)−f(x)g′(x)=(g(x)≠0)⎢2
gx⎣gx⎦
3.复合函数运算法则
设y=f(u),u=ϕ(x),如果ϕ(x)在x处可导,f(u)在对应点u处可导,则复合函数y=f[ϕ(x)]在x处可导,且有
6.隐函数运算法则
设y=y(x)是由方程F(x,y)=0所确定,求y′的方法如下:
把F(x,y)=0两边的各项对x求导,把y看作中间变量,用复合函数求导公式计算,然后再解出y′的表达式(允
dydydu
==f′[ϕ(x)]ϕ′(x)dxdudx
许出现y变量)
7.对数求导法则
先对所给函数式的两边取对数,然后再用隐函数求导方法得出导数y′。
对数求导法主要用于:
①幂指函数求导数
②多个函数连乘除或开方求导数关于幂指函数y=[f(x)]
g(x)
对应地dy=f′(u)du=f′[ϕ(x)]ϕ′(x)dx
由于公式dy=f′(u)du不管u是自变量或中间变量都成立。
因此称为一阶微分形式不变性。
4.由参数方程确定函数的运算法则
设x=ϕ(t),y=ψ(t)确定函数y=y(x),其中ϕ′(t),
常用的一种方法
Editedby杨凯钧2005年10月
考研数学知识点-高等数学
y=eg(x)lnf(x)这样就可以直接用复合函数运算法则进行。
8.可微与可导的关系
f(x)在x0处可微⇔f(x)在x0处可导。
9.求n阶导数(n≥2,正整数)先求出y′,y′′,Λ,总结出规律性,然后写出y用归纳法证明。
有一些常用的初等函数的n阶导数公式
(1)y=ey
x
(1)在闭区间[a,b]上连续;
(2)在开区间(a,b)内可导;则存在ξ∈(a,b),使得
(n)
,最后
f(b)−f(a)=f′(ξ)b−a
或写成f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)(a<ξ
(n)
=ex
(2)y=ax(a>0,a≠1)y(n)
=ax(lna)n
(3)y=sinxy
(n)
=sin⎛
⎜nπ⎞⎝x+2⎟⎠
(4)y=cosxy
(n)
=cos⎛
⎜⎝
x+nπ⎞2⎟⎠(5)y=lnxy
(n)
=(−1)n−1
(n−1)!
x−n两个函数乘积的n阶导数有莱布尼兹公式
[n
u(x)v(x)]
(n)
=∑Cku(k)
n−k)n(x)v((x)k=0
其中Ck
n!
n=
k!
n−k!
,u(0)
(x)=u(x),v(0)(x)=v(x)
假设u(x)和v(x)都是n阶可导。
微分中值定理一.罗尔定理设函数f(x)满足
(1)在闭区间[a,b]上连续;
(2)在开区间(a,b)内可导;(3)f(a)=f(b)
则存在ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=0二.拉格朗日中值定理设函数f(x)满足
(0<θ<1)
这里x0相当a或b都可以,∆x可正可负。
1(,f)(xa,((xa)内fc三.柯西中值定理(数学四不要)设函数f(x)和g(x)满足:
(1)在闭区间[a,b]上皆连续;
(2)在开区间(a,b)内皆可导;且g′(x)≠0则存在ξ∈(a,b)使得
f(b)−f(a)gb−ga=f′(ξ)g′ξ(a<ξ
柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广,特殊情形g(x)=x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
)
四.泰勒定理(泰勒公式)(数学一和数学二)
定理1.(皮亚诺余项的n阶泰勒公式)设f(x)在x0处有n阶导数,则有公式
f(x)=f(xf′(x0)f′′(x0)2f(n)(x0)n0)+!
(x−x0)+2!
(x−x0)+Λ+n!
(x−x0)+Rn(x)
14
Editedby杨凯钧2005年10月
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(x→x0)
其中Rn(x)=0(x−x0)(x→x0)称为皮亚诺
n
的一个极小值,称x0为函数f(x)的一个极小值点。
[]
余项。
⎛⎞Rn(x)⎜⎟lim⎜x→x0x−xn=0⎟
0⎝⎠
前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形,根据不
同情形取适当的n,所以对常用的初等函数如
函数的极大值与极小值统称极值。
极大值点与极小值点统称极值点。
2.必要条件(可导情形)
设函数f(x)在x0处可导,且x0为f(x)的一个极值点,则f′(x0)=0。
xf
中进一步去判断。
3.第一充分条件
设f(x)在x0处连续,在0 ex,sinx,cosx,ln(1+x)和(1+x)(α为实常数)等的n α 阶泰勒公式都要熟记。 定理2(拉格朗日余项的n阶泰勒公式) 设f(x)在包含x0的区间(a,b)内有n+1阶导数,在 [a,b]上有n阶连续导数,则对x∈[a,b],有公式 f(x)=f(x)+f′(x0)(x−x)+f′′(x0)(x−x)2+Λ+ 000 1! 2! f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x) n! f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1,(ξ在x0与x之其中Rn(x)= n+1! 间) 称为拉格朗日余项。 上面展开式称为以x0为中心的n阶泰勒公式。 当 f′(x0)不存在,或f′(x0)=0。 1°如果在(x0−δ,x0)内的任一点x处,有 f′(x)>0,而在(x0,x0+δ)内的任一点x处,有f′(x)<0,则f(x0)为极大值,x0为极大值点; 2°如果在(x0−δ,x0)内的任一点x处,有 x0=0时,也称为n阶麦克劳林公式。 如果limRn(x)=0,那么泰勒公式就转化为泰勒级 n→∞ 数,这在后面无穷级数中再讨论。 导数的应用: 一.基本知识1.定义 设函数f(x)在(a,b)内有定义,x0是(a,b)内的某一点,则 如果点x0存在一个邻域,使得对此邻域内的任一点 f′(x)<0,而在(x0,x0+δ)内的任一点x处,有f′(x)>0,则f(x0)为极小值,x0为极小值点; 3°如果在(x0−δ,x0)内与(x0,x0+δ)内的任一点x处,f′(x)的符号相同,那么f(x0)不是极值,x0不是 极值点。 4.第二充分条件 设函数f(x)在x0处有二阶导数,且f′(x0)=0, x(x≠x0),总有f(x) 的一个极大值,称x0为函数f(x)的一个极大值点;如果点x0存在一个邻域,使得对此邻域内的任一点 f′′(x0)≠0,则 当f′′(x0)<0时,f(x0)为极大值,x0为极大值点。 当f′′(x0)>0时,f(x0)为极小值,x0为极小值点。 Editedby杨凯钧2005年10月 x(x≠x0),总有f(x)>f(x0),则称f(x0)为函数f(x) 考研数学知识点-高等数学 二.函数的最大值和最小值 1.求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的方法首先,求出f(x)在(a,b)内所有驻点和不可导点 y=f(x)在(a,b)内是凸的。 y第一步: 求出二阶导数f′′(x); 第二步: 求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点x1、x2、…、xk; 第三步: 对于以上的连续点,检验各点两边二阶导数的符号,如果符号不同,该点就是拐点的横坐标;第四步: 求出拐点的纵坐标。 四.渐近线的求法1.垂直渐近线 ∞()xx1,Λ,xk,其次计算f(x1),Λ,f(xk),f(a),f(b)。 最后,比较f(x1),Λ,f(xk),f(a),f(b), 其中最大者就是f(x)在[a,b]上的最大值M;其中最小者就是f(x)在[a,b]上的最小值m。 2.最大(小)值的应用问题 首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间,然后再求出目标函数在区间内的最大(小)值。 三.凹凸性与拐点1.凹凸的定义 设f(x)在区间I上连续,若对任意不同的两点x1,x2,恒有 f2.水平渐近线 = x ⎞⎛⎛x1+x2⎞1⎛x+x2⎞1 ()()[]f⎜1ffxfx<+⎟⎟>[f(x1)+f(x2)]⎜⎜12⎟⎟⎜2222⎝⎠⎠⎠⎝⎝ 则称f(x)在I上是凸(凹)的。 在几何上,曲线y=f(x)上任意两点的割线在曲线下(上)面,则y=f(x)是凸(凹)的。 如果曲线y=f(x)有切线的话,每一点的切线都在曲线之上(下)则y=f(x)是凸(凹)的。 2.拐点的定义 曲线上凹与凸的分界点,称为曲线的拐点。 3.凹凸性的判别和拐点的求法 设函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数f′′(x),如果在(a,b)内的每一点x,恒有f′′(x)>0,则曲线 f(x)0[)=baf()y)五.曲率(数学一和数学二) 设曲线y=f(x),它在点M(x,y)处的曲率 3.斜渐近线 k= y′′ 21+(y′) ,若k≠0,则称R= 1 为点M(x,y)处k 的曲率半径,在M点的法线上,凹向这一边取一点D,使MD=R,则称D为曲率中心,以D为圆心,R为半径的圆周称为曲率圆。 不定积分 一.基本积分公式 y=f(x)在(a,b)内是凹的; 如果在(a,b)内的每一点x,恒有f′′(x)<0,则曲线 xα+1 1.∫xdx=+C(α≠−1,实常数) α+1 α Editedby杨凯钧2005年10月 考研数学知识点-高等数学 2. 1 ∫xdx=lnx+C 1xx 3.∫adx=a+C(a>0,a≠1) lna xxedx=e+C∫ 是非常熟练地凑出微分。 常用的几种凑微分形式: (1) ∫ f(ax+b)dx= 1 f(ax+b)d(ax+b)a∫ (a≠0) (2)fax+bx 4.cosxdx=sinx+C5.sinxdx=−cosx+C6.secxdx= ∫∫ ∫(∫n ) n−1 dx= 1nn fax+bdax+b∫na ()() (a≠0,n≠0) (3) 1 ∫∫2=tanx+C 2 f(lnx) dx =∫f(lnx)d(lnx)cosx7.∫csc2 xdx=∫1sin2 x =−cotx+C8.∫tanxsecxdx=secx+C9.∫ cotxcscxdx=−cscx+C10.∫tanxdx=−lncosx+C11.∫ cotxdx=lnsinx+C12.∫secxdx=lnsecx+tanx+C13.∫ cscxdx=lncscx−cotx+C14. ∫ dxx a2−x2 =arcsin a +C(a>0)15.∫dxa2 +x2=1a arctanx a+C(a>0)16. ∫dx1aa2−x2=2aln+x a−x+C(a>0) 17. ∫ dx x2±a2 =lnx+x2±a2+C(a>0) 二.换元积分法和分部积分法1.第一换元积分法(凑微分法)设∫f(u)du=F(u)+C,又ϕ(x)可导,则 ∫f[ϕ(x)]ϕ′(x)dx=∫f[ϕ(x)]dϕ(x令u=ϕ(x) ∫f(u)du =F(u)+C=F[ϕ(x)]+C 这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”,也就 x (4) ∫ f⎛⎜1⎞⎝x⎟dx ⎛1⎞⎛1⎞⎠x2=−∫f⎜⎝x⎟⎠d⎜⎝x⎟⎠(5) ∫f xdxx =2∫fx)dx)(6) ∫f(ax)axdx= 1lna ∫f(ax)d(ax ) (a>0,a≠1) ∫f(ex) exdx=∫f(ex)d(ex) (7)∫f(sinx)cosxdx=∫f(sinx)d(sinx)(8)∫f(cosx)sinxdx=−∫f(cosx)d(cosx)(9) ∫f(tanx)sec2 xdx=∫f(tanx)d(tanx) (10)∫ f(cotx)csc2xdx=−∫f(cotx)d(cotx) 11)∫f(secx)secxtanxdx=∫f(secx)d(secx)12) ∫f(cscx)cscxcotxdx=−∫f(cscx)d(cscx) 13) ∫f(arcsinx)−x 2 dx=∫f(arcsinx)d(arcsinx)14) ∫ f(arccosx)−x 2 dx=−∫f(arccosx)d(arccosx) 15)∫f(arctanx)1+x2 dx=∫f(arctanx)d(arctanx) 16) ∫ f(arccotx)1+x 2 dx=−∫f(arccotx)d(arccotx)Editedby杨凯钧2005年10月 (((((( 考研数学知识点-高等数学 (17)( ∫ 1⎞⎛ f⎜arctan⎟ 1⎞⎛1⎞x⎠⎛⎝dx=−farctandarctan⎜⎟⎜⎟∫⎝x⎠⎝x⎠1+x2 18 ) x2+a2dlnx+x2+a2 −Al2−x−x02然后再作下列三种三角替换之一: ∫ flnx+x2+a2 x+a 2 2 dx=∫f[ln(x+ 19 )](()) (a>0)( ) x2−a2dlnx+x2−a2 ∫ flnx+x2−a2 x−a 2 2 dx=∫f[ln(x+ )](()) (a>0)(20) 3.分部积分法 ∫ f′(x)dx=lnf(x)+C(f(x)≠0)fx 2.第二换元积分法设 设u(x),v(x)均有连续的导数,则 , 若 x=ϕ(t)可导,且ϕ′(t)≠0 ∫u(x)dv(x)=u(x)v(x)−∫v(x)du(x)∫ ∫ ∫f[ϕ(t)]ϕ′(t)dt=G(t)+C, 则 或u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−u′(x)v(x)dx 使用分部积分法时被积函数中谁看作u(x)谁看作 ∫f(x)dx 令x=ϕ(t) ∫f[ϕ(t)]ϕ′(t)dt=G(t)+C=G[ϕ(x)]+C −1 v′(x)有一定规律。 ax 其中t=ϕ −1 (x)为x=ϕ(t)的反函数。 (1)Pn(x)e,Pn(x)sinax,Pn(x)cosax情形, 第二换元积分法绝大多数用于根式的被积函数,通过换元把根式去掉,其常见的变量替换分为两大类: Pn(x)为n次多项式,a为常数,要进行n次分部积分法, 每次均取e ax ax+b 第一类: 被积函数是x与ax+b或x与或 cx+d ,sinax,cosax为v′(x);多项式部分为 u(x)。 (2)Pn(x)lnx,Pn(x)arcsinx,Pn(x)arctanx情形,Pn(x)为n次多项式取Pn(x)为v′(x),而lnx, 由e构成的代数式的根式,例如ae+b等。 只要令根式gx=t,解出x=ϕ(t)已经不再有根式,那么就作这种变量替换x=ϕ(t)即可。 第二类: 被积函数含有如果仍令 xx Ax+Bx+C(A≠0), 2 arcsinx,arctanx为u(x),用分部积分法一次,被积函 数的形式发生变化,再考虑其它方法。 (3)e ax Ax2+Bx+C=t解出x=ϕ(t)仍是根号,那 sinbx,eaxcosbx情形,进行二次分部积分 么这样变量替换不行,要作特殊处理,将A>0时先化为 Ax−x0±l2 2 , A<0 时,先化为 法后要移项,合并。 (4)比较复杂的被积函数使用分部积分法,要用凑微 Editedby杨凯钧2005年10月 考研数学知识点-高等数学
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