高考辽宁卷理科数学试题及解答.docx
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高考辽宁卷理科数学试题及解答
普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)
数学(供理科考生使用)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ
卷3至4页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷(选择题共60分)
参考公式:
如果事件A,B互斥,那么球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)S=4πR2
如果事件A,B相互独立,那么其中R表示球的半径
P(AB)=P(A)P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么
球的体积公式
V=4πR33
n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径
nn
P(k)=Ckpk(1-p)n-k(n=0,1,2,,n)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={2,3,4},则(CUA)⋂(CUB)=()
A.{1}B.{2}C.{2,4}D.{1,2,3,4}
2.若函数y=f(x)的反函数图象过点(1,5),则函数y=f(x)的图象必过点()
A.(1,1)
B.(1,5)
C.(5,1)
D.(5,5)
3.若向量a与b不共线,ab≠0,且c=a-⎛aa⎫b,则向量a与c的夹角为()
⎝⎭
π
A.0B.
6
ππ
C.D.
32
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()
A.63B.45C.36D.27
5.若θ∈⎛3π5π⎫,则复数(cosθ+sinθ)+(sinθ-cosθ)i在复平面内所对应的点在()
,⎪
⎝4⎭
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
6.若函数y=f(x)的图象按向量a平移后,得到函数y=f(x+1)-2的图象,则向量a=()
A.(-1,-2)
B.(1,-2)
C.(-1,2)
D.(1,2)
7.若m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是()
A.若m⊂β,α⊥β,则m⊥α
C.若m⊥β,m∥α,则α⊥β
B.若αγ=mβγ=n,m∥n,则α∥β
D.若α⊥γ,α⊥β,则β⊥γ
⎧x-y+2≤0
8.已知变量x,y满足约束条件⎪x≥1,
⎪x+y-7≤0
y
则的取值范围是()
x
A.⎛9,6⎫
B.⎛-∞9⎤[6,+∞)
ç5⎪
ç,⎥
⎝⎭
C.(-∞,3][6,+∞)
⎝5⎦
D.[3,6]
11
A.B.
2211
32
C.D.
2211
10.设p,q是两个命题:
p:
log(|x|-3)>0,q:
x2-5x+1>0,则p是q的()
2
166
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
2y2
11.设P为双曲线x-12=1上的一点,F1,F2是该双曲线的两个焦点,若|PF1|:
|PF2|=3:
2,则
△PF1F2的面积为()
A.6
B.12C.12
D.24
12.已知f(x)与g(x)是定义在R上的连续函数,如果f(x)与g(x)仅当x=0时的函数值为0,且
f(x)≥g(x),那么下列情形不.可.能.出现的是()
A.0是f(x)的极大值,也是g(x)的极大值B.0是f(x)的极小值,也是g(x)的极小值
C.0是f(x)的极大值,但不是g(x)的极值D.0是f(x)的极小值,但不是g(x)的极值
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分.
⎧acosx(x≥0),
⎩
13.已知函数f(x)=⎨x2-1(x<0)在点x=0处连续,则a=.
x2
14.设椭圆
y2
1上一点P到左准线的距离为10,F是该椭圆的左焦点,若点M满足
OM=
2516
1
(OP+DF),则|OM|=.
2
15.若一个底面边长为为.
,棱长为
2
的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上,则此球的体积
16.将数字1,2,3,4,5,6拼成一列,记第i个数为ai(i=1,2,,6),若a1≠1,a3≠3,a5≠5,
a1 三、解答题: 本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=sin⎛ωx+π⎫+sin⎛ωx-π⎫-2cos2ωx,x∈R(其中ω>0) ç6⎪ç6⎪2 ⎝⎭⎝⎭ (I)求函数f(x)的值域; (II)若对任意的a∈R,函数y=f(x),x∈(a,a+π]的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点,试确定ω的值(不必证明),并求函数y=f(x),x∈R的单调增区间. 18.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90,AC=BC=a,D,E 1 分别为棱AB,BC的中点,M为棱AA上的点,二面角M-DE-A为30. (I)证明: A1B1⊥C1D; (II)求MA的长,并求点C到平面MDE的距离. A1C1 M AC 19.(本小题满分12分)某企业准备投产一批特殊型号的产品,已知该种产品的成本C与产量q的函 q32 数关系式为C=-3q 3 +20q+10(q>0) 该种产品的市场前景无法确定,有三种可能出现的情况,各种情形发生的概率及产品价格p与产量q的函数关系式如下表所示: 市场情形概率价格p与产量q的函数关系式 好0.4 中0.4 差0.2 p=164-3qp=101-3qp=70-4q 设L1,L2,L3分别表示市场情形好、中差时的利润,随机变量ξk,表示当产量为q,而市场前景无法确定的利润. (I)分别求利润L1,L2,L3与产量q的函数关系式; (II)当产量q确定时,求期望Eξk; (III)试问产量q取何值时,Eξk取得最大值. 20.(本小题满分14分)已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2=2x上,其中O为坐标原点,设圆C是OAB的内接圆(点C为圆心) (I)求圆C的方程; (II)设圆M的方程为(x-4-7cosθ)2+(y-7cosθ)2=1,过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE,PF,切点为E,F,求CE,CF的最大值和最小值. 21.(本小题满分12分)已知数列{an},{bn}与函数f(x),g(x),x∈R满足条件: an=bn,f(bn)=g(bn+1)(n∈N*). n (I)若f(x)≥tx+1,t≠0,t≠2,g(x)=2x,f(b)≠g(b),lima存在,求x的取值范围; n→∞ (II)若函数y=f(x)为R上的增函数,g(x)=f-1(x),b=1,f (1)<1,证明对任意n∈N*,lima n→∞n (用t表示). 22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2t-2t(x2+x)+x2+2t2+1,g(x)=1f(x). 2 (I)证明: 当t<2 时,g(x)在R上是增函数; (II)对于给定的闭区间[a,b],试说明存在实数k,当t>k时,g(x)在闭区间[a,b]上是减函数; 3 (III)证明: f(x)≥. 2 绝密★启用前 2007年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 数学(供理科考生使用)试题答案与评分参考 说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题: 本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分60分. (1)B (2)C(3)D(4)B(5)B(6)A (7)C(8)A(9)D(10)A(11)B(12)C 二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. (13)-1(14)2(15)4 三、解答题 π(16)30 (17)本小题主要考查三角函数公式,三角函数图象和性质等基础知识,考查综合运用三角函数有关知识的能力.满分12分. (Ⅰ)解: f(x)= 3sinωx+1cosωx+3sinωx-1cosωx-(cosωx+1) 2222 =2( 3sinωx-1cosωx)-1 22 =2sin(ωx-π)-1·····························································5分 6 由-1≤sin(ωx- π)≤,得-3≤2sin(ωx- 6 π)-1≤1. 6 可知函数f(x)的值域为[-3,1].················································7分 (Ⅱ)解: 由题设条件及三角函数图象和性质可知,y= 即得 f(x)的周期为π,又由ω>0,得2π=π, 2 ω=2.···········································································9分 于是有f(x)=2sin(2x- π)-1,再由2kπ-2 π≤2x- 2 π≤2kπ+π62 (k∈Z),解得 kπ-π≤x≤kπ+π(k∈Z). 63 所以y=f(x)的单调增区间为[kπ- π,kπ+ 6 π](k∈Z).········12分 3 (18)本小题主要考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识,考查空间想象能力与思维满分 12分. (Ⅰ)证明: 连结CD. ∵三棱柱ABC-A,BC是直三棱柱. ∴CC1⊥平面ABC. ∴CD为C1D在平面ABC内的射影. ∵△ABC中,AC=BC,D为AB中点. ∴AB⊥CD, ∴AB⊥C1D, ∵A1B1//AB, ∴A1B1⊥C1D. (Ⅱ)解法一: 过点A作CE的平行线,交ED的延长线于F,连结MF. ∵D、E分别为AB、BC的中点. ∵DE//AC, 又AF//CE,CE⊥AC, ∴AF⊥DE, ∵AF为MF在平面ABC内的射影, ∴MF⊥DE, ∴∠MFA为二面角M-DE-A的平面角,∠MFA=30︒. 在Rt△MAF中,AF=1BC=a, ∠MFA=30︒, 22 ∴AM=a. 6 作AG⊥MF,垂足为G. ∵MF⊥DE,AF⊥DE, ∴DE⊥平面AMF. ∴平面MDE⊥平面AMF. ∴AG⊥平面MDE. a 在Rt△GAF中, a ∠MFA=30︒,AF=, 2 a ∴AG=,即A到平面MDE的距离为. 44 ∵CA//DE,∴CA//平面MDE, a ∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等,为, 4 解法二: 过点A作CE的平行线,交ED的延长线于F,连结MF. ∵D、E分别为AB、CB的中点, ∴DE//AC, 又∵AF//CE,CE⊥AC, ∴AF⊥DE, ∵MA⊥平面ABC, ∴AF为MF在平面ABC内的射影, ∴MF⊥DE, ∴∠MFA为二面角M-DE-A的平面角,∠MFA=30︒. 1a 在Rt△MAF中,AF= BC=, 22 ∠MFA=30︒, ∴AM=a. 6 设C到平面MDE的距离为h. ∵VM-CNE=VC-MDE, 11 ∴3S∆CDE·MA=3S∆MDE·h. S∆CDE =1CE·DE= 2 a,MA=a,86 S=1CE·MF=1DE,AF=3a2, ∆MDE2 1a2 2cos30︒6 2 ∴⨯⨯a 3812 a ⨯ h, a ∴h=,即C到平面MDE的距离相等,为 44 (19)本小题主要考查数学期望,利用导数求多项式函数最值等基础知识,考查运用概率和函数知识建模解决实际问题的能力.满分12分. (Ⅰ)解: 由题意可得 q2 L1=(164-3q)·q-( 3 -3q2 +20q+10) =-q3+ 3 144q -10 q3 (q>0). 同理可得L2=-3+81q-10(q>0) q3 L3=-3+50q-10(q>0)·················································4分 (Ⅱ)解: 由期望定义可知 Eξ=0.4L1+0.4L2+0.2L3 =0.4⨯(-q 3 +144q-10)+0.4⨯(-q 3 +81q-10)+0.2⨯(-q 3 +50q-10) =-q3+ 3 100q -10. (Ⅲ)解: 由(Ⅱ)可知Eξ是产量q的函数,设 q3 f(q)=Eξ=- 3 +100q-10(q>0) 得f'(q)=-q2+100.令f'(q)=0解得 q=10,q=-10(舍去). 由题意及问题的实际意义(或当0<q<10时,f′(q)>0;当q>10时,f(q)<0=可知,当q=10时,f(q)取得最大值,即Eξ最大时的产量q为10. (20)本小题主要考查平面向量,圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识,考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.满分14分. y2 (Ⅰ)解法一: 设A、B两点坐标分别为(1 y2 y),(2,y ),由题设知 2122 y2y2 ==(1-2)2+(y-y)2.解得 2212 y2=y2=12, 12 所以A(6,23),B(6,-23)或A(6,-2 2 3),B(6,23). 设圆心C的坐标为(r,0),则r= ⨯ 6=4.因此圆C的方程为 3 (x-4)2+y2=16.·····························································4分解法二: 设A、B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由题设知 x2+y2=x2+y2. 1122 又因为y2=2x,y2=2x,可得x2+2x=x2+2x,即 11221122 (x1-x2)(x1+x2+2)=0. 由x1>0,x2>0,可知x1=x2,故A、B两点关于x轴对称,所以圆心C在x轴上. 3 设C点的坐标为(r,0),则A点坐标为(r, 3 r),于是有( 3r)2=2⨯3r,解得r=4,所以 圆C的方程为 2222 (x-4)2+y2=16.·····························································4分 (Ⅱ)解: 设∠ECF=2a,则 CE·CF=|CE|·|CF|·cos2a=16cos2a=32cos2a-16.········8分 在Rt△PCE中,cosa= r |PC| =4 |PC| .由圆的几何性质得 |PC|≤|MC|+1=7+1=8,|PC|≥|MC|-1=7-1=6,······10分 所以1≤cosα≤2 23 ,由此可得 -8≤CE·CF≤-. 9 故CE·CF的最大值为-16,最小值为-8.·····························14分 9 (21)本小题主要考查数列的定义,数列的递推公式,等比数列,函数,不等式等基础知识,考查数学归纳法解法问题的能力.满分12分. ⎧an+1=tbn+1+1t (Ⅰ)解法一: 由题设知⎨ ⎩ an=2bn+1, 得an+1=2an+1,又已知t≠2,可得 an+1 +2 t-2 =t(a 2n +2). t-2 由f(b)≠g(b),t≠2,t≠0,可知a+2 =tb+t ≠0,t ≠0,所以⎧a+ 2⎫是等比 其首项为tb+ t t-2 公比为t 2 .于是 1t-2 t-22 ⎨nt-2⎬ an+ 2 t-2 =(tb+ t t-2 )(t 2 t )n-1,即a + (tb+ t)( t-2 t)n-1- 2 t. t-2 又liman存在,可得0<| |<1,所以-2<t<2且t≠0. 2 lima n→∞ =2. 2-t 解法二.由题设知tbn+1=2bn+1,且t≠2.可得 bn+1 +1 t-2 =t(b 2n +1). t-2 由f(b)≠g(b),t≠2,t≠0,可知b+1 ≠0,t ≠0,所以⎧b+ 1⎫是首项为b+1,公 t 的等比数列. 2 t-22 ⎨nt-2⎬ t-2 bn+ 1 t-2 =(b+ 1)( t-2 t)n-1,即b 2n =(b+ 1)( t-2 t)n-1- 2 1. t-2 t 由an+2bn+1可知,若liman存在,则limbn存在.于是可得0<| |<1,所以-1<t≠0. liman=2limbn= n→∞ 2. n→∞2 n→∞ n→∞ 2-t 解法三: 由题设知tbn+1=2bn+1,即 t1 bn+1=2bn+2,①于是有 t1 bn+2=2bn+1+2,② t ②-①得bn+2-bn+1=2(bn+1-bn),令cn=bn+1-bn,得 c=tc. n+12n (t-2)b+1t 由f(b)≠g(b),t≠2,t≠0可知c1=b2-b1= t 为的等比数列,于是 2 ≠0, 22 ≠0,所以{cn}是首项为b公比 1-(t)n bn+1 =(c1 +c2 +⋯⋯+cn )+b1 =2(b 2 1-t -b1)+b. 2 4[1-(t)n] an=2b n+1 =2(b2-b1)+2b. 2-t 又lima n→∞ 存在,可得0< t<1,所以-2<t<2且t≠0. 2 lima n→∞ =4 2-t (b2 -b1)+2b= 2. 2-t 说明: 数列{an}通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一,其他过程和结果参照以标准. (Ⅱ)证明: 因为g(x)= f-1(x),所以a=g(b)= f-1(b),即b= f(an). 下面用数学归纳法证明an+1<an(n∈N*). (1)当n=1时,由f(x)为增函数
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