二因数与倍数.docx
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二因数与倍数.docx
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二因数与倍数
第二单元因数与倍数
(一)单元教学目标
1.使学生掌握因数、倍数、质数、合数等概念,知道有关概念之间的联系和区别。
2.使学生通过自主探索,掌握2、5、3的倍数的特征。
3.逐步培养学生的数学抽象能力。
(二)单元教学重难点
1.重点:
(1)掌握因数、倍数、质数、合数等概念的联系及其区别。
(2)掌握2.5.3的倍数的特征。
2.难点:
质数和奇数的区别
第一课时
因数与倍数
教学内容:
教材第1——14页例1和例2。
教学目标:
1.从操作活动中理解因数和倍数的意义,会判断一个数是不是另一个数的因数或倍数。
了解一个数的因数是有限的,倍数是无限的;能较熟练地找一个数的因数和倍数。
2.培养学生的观察能力,抽象、概括的能力。
3.渗透事物之间相互联系、相互依存的辩证唯物主义的观点。
教学重点:
1、理解因数和倍数的含义。
2、掌握找一个数的因数和倍数的方法。
教学难点:
能熟练地找一个数的因数和倍数。
教学过程:
一、创设情境,引入新课
在数学中,数与数之间也存在着多种关系。
如在乘法算式中,两个因数相乘得到的结果叫做它们的积。
乘法算式表示的是一种相乘的关系。
在整数乘法中还有另外一种关系,这一节课我们就来一起探讨因数与倍数关系。
(板书课题:
因数与倍数)
二、认识因数与倍数
(出示12页的图1)观察上面的图,你看到了什么?
用算式怎样表示?
师:
像这样,我们就说2和6是12的因数,12是2的倍数,也是6的倍数。
问:
因为2×6=12,所以12是倍数,2和6是因数,这种说法正确吗?
为什么?
师:
在描述因数或倍数时,必须说清楚谁是谁的倍数或因数。
不能单独说谁是倍数或因数,也就是说:
因数和倍数不能单独存在,它们是相互依存的。
(出示12页的图2)从图上你可以列出怎样的算式?
根据算式,你知道谁是谁的因数,谁又是谁的倍数吗?
想一想,还有哪些数是12的因数?
(组织学生在小组中讨论独立自交流,然后汇报。
)
可以说12是12的因数吗?
为什么?
(12×1=12,1和12都是12的因数。
)
11÷2=5……1。
问:
11是2的倍数吗?
为什么?
(不是,因为11除以2有余数。
)
师:
你能举一个算式,并说说谁是谁的倍数,谁是谁的因数吗?
小结:
在研究因数和倍数时,我们所说的数一般指整数,不包括0。
根据上面的分析,我们可以得出:
如果两个非零整数相乘得另一个整数,我们就说,前两个整数是另一个整数的因数,另一个整数是前两个数的倍数。
三、找因数。
1、出示例1:
18的因数有哪几个?
从上面三组算式中,我们知识道12的因数有1、2、3、4、6和12。
那么怎样求一个数的因数呢?
下面让我们一起找找18的因数有哪些?
学生尝试完成,然后全班交流。
[板书:
18的因数有:
1,2,3,6,9,18]师说明:
我们在写的时候一般都是从小到大排列的。
师:
说说看你是怎么找的?
(预设:
方法一用乘法一对一对找,如1×18=18,2×9=18…;方法二用整除的方法,18÷1=18,18÷2=9,18÷3=6,18÷4=…;)教师引导学生按照一定的规律来找。
其实写一个数的因数除了这样写以外,还可以用集合表示:
师:
18的因数中,最小的是几?
最大的是几?
2、用这样的方法,请你再找一找36的因数有那些?
汇报36的因数有:
1,2,3,4,6,9,12,18,36
师:
你是怎么找的?
举错例(1,2,3,4,6,6,9,12,18,36)
师:
这样写可以吗?
为什么?
(不可以,因为重复的因数只要写一个就可以了,所以不需要写两个6)
仔细看看,36的因数中,最小的是几,最大的是几?
3、你还想找哪个数的因数?
(30、5、42……)请你选择其中的一个在自练本上写一写,然后指名个别全班交流,其它同桌互查。
4、观察思考:
一个数的最小因数是什么?
最大的因数是什么?
一个数的因数的个数是无限的吗?
5、小结:
我们找了这么多数的因数,你觉得怎样找才不容易漏掉?
从最小的自然数1找起,也就是从最小的因数找起,一直找到它的本身,找的过程中一对一对找,写的时候从小到大写。
(二)找倍数:
1、我们一起找到了18的因数,那2的倍数你能找出来吗?
(汇报:
2、4、6、8、10、16、……)
师:
表示一个数的倍数情况,除了上面这种表示的方法外,还可以用集合来表示
怎么找到这些倍数的?
为什么找不完?
强调要写省略号。
(只要用2去乘1、乘2、乘3、乘4、…因为整数的个数是无限的,所以一个数倍数的个数也是无限的)
那么2的倍数最小是几?
最大的你能找到吗?
2、让学生完成做一做1、2小题。
补充提问:
3和5的最小倍数分别是多少?
有最大倍数吗?
由此大家可以总结出什么结论?
师总结:
一个数的倍数的个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数)
三、课堂小结:
我们一起来回忆一下,这节课我们重点研究了一个什么问题?
你有什么收获呢?
请学生对此部分教学内容疑问。
如学生没有疑问,则教师提出下面问题,引发学生思考:
因为5×0.8=4,所以5和0.8是4的因数,
4是5和0.8的倍数,对吗?
为什么?
四、独立作业:
完成练习二1、4、5题
板书设计:
因数和倍数
(1)18的因数有:
1、2、3、6、9、18
(2)2的倍数有2、4、6……
一个数最小因数是1
一个数的最小倍数是它本身
最大因数是它本身
没有最大倍数
一个数的因数个数是有限的
一个数的倍数个数是无限的。
有关数论的这部分知识是传统教学内容,但教材在传承以往优秀做法的同时也进行了较大幅度的
改动。
无论是从宏观方面——内容的划分,还是从微观方面——具体内容的设计上都独具匠心。
因此,在教学中,我有两点最深的体会:
研读教材,走进去;活用教材,走出来。
有关“数的整除”我已教学过多次,仅第一课时就与原教材有以下两方面的区别:
(1)新课标
教材不再提“整除”的概念,也不再是从除法算式的观察中引入本单元的学习,而是反其道而行
之,通过乘法算式来导入新知。
(2)“约数”一词被“因数”所取代。
这样的变化原因何在?
教师必须要认真研读教材,深入了解编者意图,才能够正确、灵活驾驭教材。
因此,我通过学习
了解到以下信息:
[研读教材]
学生的原有知识基础是在已经能够区分整除与余数除法,对整除的含义有比较清楚的认识,不出
现整除的定义并不会对学生理解其他概念产生任何影响。
因此,本教材中删去了“整除”的数学
化定义。
彼“因数”非此“因数”。
在同一个乘法算式中,两者都是指乘号两边的整数,但前者是相对于“积”而言的,与“乘数”
同义,可以是小数。
而后者是相对于“倍数”而言的,与以前所说的“约数”同义,说“X是X
的因数”时,两者都只能是整数。
“倍数”与“倍”的区别。
“倍”的概念比“倍数”要广。
我们可以说“1.5是0.3的5倍”,但不能说”1.5是0.3的倍
数”。
我们在求一个数的倍数时,运用的方法与“求一个数的几倍是多少”是相同的,只是这里
的“几倍”都是指整数倍。
(以上几段话,均引自于《教参》)
[教学感悟]根据乘法算式说明因数和倍数的概念比以往用“约数和倍数”来描述,学生掌握得更
快、更好。
我想成功源自于充分利用了“因数”与“因数”、“倍数”与“倍”之间的共同点,
使学生找到学习新概念的助推器。
[活用教材]
虽然学生已接触过整除与有余数的除法,但我班学生对“整除”与“除尽”的内涵与外延并不清
晰。
因此在教学时,补充了两道判断题请学生辨析:
11÷2=5……1。
问:
11是2的倍数吗?
为什么?
因为5×0.8=4,所以5和0.8是4的因数,
4是5和0.8的倍数,对吗?
为什么?
特别是第2小题极具价值。
价值不仅体现在它帮助学生通过辨析明确了在研究因数和倍数时,我
们所说的数都是指整数(一般不包括0),及时弥补了未进行整除概念教学的知识缺陷,还通过
此题对“因数”与乘法算式名称中的“因数”,倍数与倍进行了对比,所以别看题少,它所承载
的数学问题还真不少呢?
[练习反馈]
练习二第1题“15的因数有哪些?
15是哪些数的倍数?
”第二问许多学生看到“倍数”不假思
索,直接写出15的倍数。
因此,此题教师应加强引导,帮助学生明确求“15是哪些数的倍数”
其实质也就是求“15的因数有哪些”。
练习二第4题“找48的因数”,由于个数较多,因此部分学生有遗漏。
看来乘法口算有待进一
步加强。
练习二第5题“1是1、2、3、……的因数”,许多学生判断失误。
在此,可引导学生先找出几
个数的因数,然后通过观察推理得出1是所有整数(0除外)的因数;也可以通过“一个数最小
的因数是1”的结论通过逻辑推理得出正确判断。
第二课时练习课
教学内容:
15——16页练习二第2——6题。
.
教学目标:
1、巩固因数和倍数的概念和特征。
2、能熟练地求一个数的因数和倍数。
3、培养学生的观察能力。
教学重、难点:
能熟练地找一个数的因数和倍数。
教学过程:
一、复习引入
同学们,在“因数和倍数”中,我们学习了哪些知识?
导入:
这节课,我们就通过练习来巩固一下这些知识。
[板书课题]
二、练习巩固
1、填空
(1)如果A*B=C(A、B、C都是整数),那么A和B都是C的(),C是A和B的()。
(2)16的因数有(),16是()的倍数。
提醒学生注意审题,第二问其实还是求16的因数。
(3)30以内4的倍数有()。
(4)已知A=2*3*5,那么A的所有因数有()。
2、练习二第2题。
比赛找因数,看谁找得又完整又快。
观察这两组因数,你发现了什么?
(1、2、3、4、6、12既是36的因数,也是60的因数)
3、练习二第3题。
比赛看谁找得快,汇报结果。
观察这两组倍数,你发现了什么?
(72和14既是8的倍数,又是9的倍数)
4、判断。
(1)一个数越大,它的因数就越多。
()
(2)一个数的最大因数和最小倍数相同。
()
(3)1是所有整数的因数。
()
5、练习三第6题。
同桌合作,你说我猜,自由活动,教师巡视活动。
答案:
42,18,1。
本节练习课除了指导完成教材中的习题外,还背负着另一大重要使命,就是对上一课时中学生知识的薄弱点及时进行查缺补漏。
因此,我自主设计了两道题。
填空第1小题不仅体现了数学符号化的思想,同时也快速反馈了学生对“因数和倍数”概念的理解情况。
第2小题主要是针对学生练习第1题出现的问题而设计的,主要是复习找因数的方法。
第3小题主要是复习找倍数的方法。
第4小题是一道变式练习,部分学生受A=2*3*5的影响,错误得出它的因数只有2,3,5。
这里应引导学生分析其错误原因,找到正确方法。
这里学生找因数的方法也比较多样,有的学生先通过算式计算出A的值,再按照一般方法依次寻找;还有的同学是在2、3、5的基础上补充,一个数的最小因数是1,所以在最前面加上1,再用2*3=6,2*5=10,3*5=15,最后加上2*3*5=30,共计8个,这种方法也很巧妙。
判断第1小题其实是为后续质数与合数的学习作铺垫,许多学生在举反例的过程中,不约而同的运用到7、11、13等质数与其它较小合数的因数个数相比较。
有了这样的体验,相信学习质数与合数时学生一定会轻车熟路。
第2小题主要是综合考查学生对一个数的最大因数与最小倍数的掌握情况,同时也为猜数游戏做准备。
第3小题则是针对昨天学生错误较多习题的再次巩固练习。
[练习反馈]练习二第6题,在玩猜数游戏过程中,许多学生错误地将第1小题两问一分为二。
“它还是2和3的倍数”看成“它是2和3的倍数”大大降低了难度。
这里应提醒学生注意审题,养成良好的阅读习惯。
2、2、5、3的倍数的特征
第一课时2、5的倍数的特征
教学内容:
17-18页的内容以及练习3的第1-3题。
教学目标:
1、通过自主探索,掌握2、5倍数的特征,会判断一个数是不是2或者5的倍数。
2、理解并掌握奇数和偶数的概念,会判断一个数是偶数还是奇数。
3、经历探索2和5倍数的特征的过程,体现观察探究、归纳总结的学习方法。
4、在学习活动中,感受数学知识的奥妙,体验发现知识的乐趣,激发学习数学知识的兴趣,培养热爱数学的良好情绪。
教学重点和难点:
1、掌握2、5倍数的数的特征。
2、奇数和偶数的概念。
教学过程设计:
一、引入新课
同学们,我们在前几节课中已经掌握了倍数和因数的特征,像2、3、5这些数,它们的倍数又有哪些特征呢?
这节课,我们就一起先来探究2、5的倍数的特征。
[板书课题]
二、学习新课:
(一)2的倍数的特征。
1、长江大桥在过节车流量过大时,常会进行交通管制。
按车牌单双号分别放行。
如果一、三、五、周日则单号车通过,如果二、四、周六则双号车通过。
如果你是交警,今天是周几?
(周二),你能判断一下,下列哪些车辆违规通行了吗?
鄂A。
Y7134 鄂A。
31228 鄂A。
G4087 鄂A。
23980 鄂A。
86323
你怎么这么快就找出来了呢?
双号的这些数有什么特点?
它们和2有什么联系?
2、找倍数
在前面,我们已经学习过怎样求2的倍数,谁能够按一定顺序说出一些2的倍数来。
[师板书:
2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30……]
3、观察特征
请观察这些2的倍数,你发现有什么特征?
如果学生有困难,则提示观察:
它们个位上的数有什么特点?
(个位上是0,2,4,6,8。
)
4、验证发现
请任意写出两个个位上是0、2、4、6、8的数,用算式进行验证,看看符不符合这个特点?
5、得出结论
谁能说一说2的倍数的数的特征?
[板书:
个位上是0,2,4,6,8的数,都是2的倍数。
]
6、师:
自然数中,是2的倍数的数叫做偶数(0也是偶数)。
不是2的倍数的数叫奇数。
奇数、偶数在我们日常生活中习惯上称它们为什么数?
(单数、双数。
)
3、练习:
(先分小组小说,再全班统一回答。
)
①P17做一做。
指名说一说为什么是偶数或奇数。
②说出3个不是2的倍数的三位数。
③说出15~35以内的偶数。
④50以内的偶数有多少个?
奇数有多少个?
(二)5的倍数的特征。
1、刚才我们学习了2的倍数的特征,了解了奇数和偶数的概念。
下面你们能不能用与研究2的倍数的特征的相同方法,找出5的倍数的特征呢?
先请学生自己动手找5的倍数,然后观察、讨论。
说一说5的倍数的特征。
再举几个多位数验证。
最后得出5的倍数的特征。
[板书:
个位上是0或者5的数,都是5的倍数。
]
2、练习:
①(投影片)下面哪些数是5的倍数?
240,345,431,490,545,543,709,725,815,922,986,990。
②P18做一做
问:
你是怎么找到哪些数既是2的倍数,又是5的倍数?
方法一:
把2的倍数和5的倍数找出来,再找它们的共有部分。
方法二:
2*5=10,所以既是2的倍数又是5的倍数的数,一定是10的倍数。
再在这种些数中找到10的倍数的数。
学生口答后教师板书:
个位是0的数,既是2的倍数,又是5的倍数。
教师随口说出数,请立即说出这个数是2的倍数还是5的倍数,或者同时是2和5的倍数,并说明判断的依据。
三、巩固反馈:
1、比75小,比50大的奇数有()。
2、在1~100的自然数中,2的倍数有()个,5的倍数数有()个。
3、个位是()的数同时是2和5的倍数。
4、最大的两位偶数是(),最小的三位奇数是()。
5、用0,7,4,5,9五个数字组成2的倍数;5的倍数;同时是2和5的倍数的数。
四、全课总结:
这节课你学会了什么?
有什么收获?
教学板书:
2、3的倍数的特征
个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
个位上是0或5的数都是5的倍数。
自然数中,是2的倍数的数叫做偶数(0也是偶数),不是2的倍数的数叫做奇数。
个位上是0的数既是2的倍数,又是5的倍数。
今天的教学对教材进行了两处较大改动:
一是删改了2的倍数特征主题图;二是删去了用来探索5的倍数表。
为什么将教材中这么重要的两大篇幅进行删改了?
我有自己的一点思考:
一、联系生活实际,创设问题情境。
如今随着影视业迅猛发展,我市电影展厅变多,单间展厅面积变小,已不再分单双号进入,所以这一生活情境学生基本没有体验。
其次,即使有这样的电影院,学生也并非必须按单双号入口进入才能找到座位,因为从单号入口进入同样也能坐在双号座位上。
根据以上两点原因,我改变问题情境。
以近两年来武汉新变化——过桥分单、双号为切入口,邀请学生当交警来导入新课,学生不仅学习积极性高涨,而且也充分体现出数学在生活中的应用。
二、学会迁移,培养能力。
2、5的倍数特征有共同之处,既都要关注个位上的数字。
我在教学2的倍数特征时下功夫较多,由找倍数——观察特征——验证发现——得出结论,每一环节都使学生明确活动目的,找到学习方法。
再到5的倍数特征时,何不由扶到放,充分发挥学生的自主能力性呢?
因此,我完全放手,给学生以充分的时间和空间,让他们在观察、探索中体验成功的喜悦。
教材中所提供的1——100的表格并非必不可少,且少了表格下的“个位上是()或()的数,是5的倍数”给学生思维空间更大,对他们的抽象概括能力要求更高,因此全部删掉。
第二课时3的倍数的特征
教学内容:
第19页和练习3的第4-5题。
教学目标:
1、经历在100以内的自然数表中找3的倍数的活动,在活动的基础上感悟3的倍数的特征,并尝试用自己的语言总结特征。
2、在探索活动中,感受数学的奥妙;在运用规律中,体验数学的价值。
教学重、难点:
是3的倍数的数的特征。
教学准备:
每人准备20根火柴梗(或小棒)、计算器。
教学过程:
一、复习引入
1、2的倍数有什么特征?
5的倍数呢?
什么样的数既是2的倍数,又是5的倍数?
2、下列各数中,哪些是2的倍数?
哪些是5的倍数?
哪些既是2的倍数,又是5的倍数?
85、87、94、32、50、102、230、715、528、143、
3、导入
同学们,我们已经知道了2、5的倍数的特征,那么3的倍数会有什么特征呢?
谁能猜测一下?
生1:
个位上是3、6、9的数是3的倍数。
生2:
不对,个位上是3、6、9的数不定是3的倍数,如l3、l6、19都不是3的倍数。
生3:
另外,像60、12、24、27、18等数个位上不是3、6、9,但这些数都是3的倍数。
师:
看来只观察个位不能确定是不是3的倍数,那么究竟什么样的数才是3的倍数呢?
这节课我们就来研究3的倍数的特征。
(板书课题:
3的倍数的特征)
二、自主探索,总结3的特征
师:
1、下面我们就来进行“火柴梗摆数”游戏(小黑板出示实验表),老师示范游戏方法。
首先用竖式算一算这个数是否是3的倍数,然后根据数据在数位表中相应的数位摆上相应的火柴梗,最后数一数摆这个数共用多少根火柴梗。
2请同学们任选下列一组数,边摆边在表上记录你所摆的结果。
第一组:
11、30、46;第二组:
23、222、263;第三组:
211、513、436;
第四组:
16、219、509;第五组:
26、348、79。
“火柴梗摆数”实验表
数据
是不是3的倍数
所用火柴根数
3全班交流,教师汇总。
师:
看着这份实验表,你有什么想说的吗?
师:
用3根、6根、9根、12根、15根火柴梗摆出来的数都是3的倍数。
用2根、4根、7根、8根、10根、11根、13根、14根、16根火柴梗摆出来的数都不是3的倍数。
是真的吗?
请大家再补充两个数用计算器验证,还有没有不同的发现?
师:
如果原来摆出来的数不是3的倍数,那么增加3根火柴后……?
如果原来摆出来的数是3的倍数,那么增加3根火柴后……?
师:
照同学们这样说,接下来用多少根火柴梗摆出来的数应该是3的倍数?
师:
你发现了什么?
(只要火柴梗的根数是3的倍数,那么它摆出来的数都是3的倍数。
)
师:
是不是真的这样,咱们随便挑一个数做实验试试。
师生商议后,选定用3X根火柴梗实验。
结果发现用3X根火柴梗摆出来的数全部是3的倍数。
师:
看来,只要火柴梗的根数是3的倍数,那么它摆出来的数就一定是3的倍数。
可是,如果不借助火柴梗又该怎样判断呢?
比如说4785,它是不是3的倍数?
师:
大家观察一下,火柴梗的根数和它摆出来的数有什么关系?
师:
那么,怎样判断一个数是不是3的倍数?
[板书:
一个数各位上的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。
]
困惑:
为何教材不用“一个数各个数位上数字之和是3的倍数,这个数就一定是3的倍数”来概括呢?
这样的语言更符合学生的思维逻辑,这样的语言更便于学生理解掌握。
师:
“各位”什么意思?
能不能换成“个位”?
师:
同学们理解的很好。
这实质上就是3的倍数的特征。
全班齐读书上的结论。
同学们读读这个特征,和2、5的倍数特征有什么不同?
师:
不知同学们注意到了没有,其实3的倍数特征和2、5的倍数特征有一点还很像的,同学们知道哪一点很像吗?
师:
有了这个特征,同学们就可以便捷、快速地判断一个数是不是3的倍数?
同学们互相出题,考考你的同桌。
4拓展练习
同学自主出题,同桌相互挑战。
教师巡视,组织几个学生汇报。
师:
63992是3的倍数吗?
师:
实质上3的倍数判断有一种简便方法,“弃9法”,也就是当一个数数位比较多时,不必把所有数位的数相加,可以先把能凑成3、6、9的数舍去,再看剩下的数是不是3的倍数,如果是,说明原数是3的倍数。
反之,就不是3的倍数……
三、巩固练习:
完成p19做一做
四、课堂小结:
这节课你有什么收获?
板书设计:
3的倍数的特征
一个数的各位上的数的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。
(众所周知,一个数是不是2、5的倍数,只需看这个数的个位。
个位是0、2、4、6、8的数就是2的倍数,个位是0、5的数就是5的倍数。
而3的倍数特征则不然,一个数是不是3的倍数,不能只看个位,而要看它所有的数位,只有所有数位上的数的和是3的倍数,那么这个数才是3的倍数。
以往教学,教师更多的是看到前后两种特征思维着眼点的不同,因此,教学中往往刻意对比强化,凸显这种差异。
这样,学生在记住2、3、5倍数特征的同时,也常常收获一个错误印象:
一个数是否是2、5的倍数与一个数是否是3的倍数的判断方式是彼此孤立、相互割裂、甚至是前后对立的。
而本课显然有意纠正这一点,教师在引导学生发现3的倍数的独特特征的同时,也注意引导学生归纳2、3、5倍数特征的共同点。
别小看这寥寥数言的引导,实质它蕴藏着深意。
因为从数论角度讲一个数能否被2、3、5乃至被其它数整除,其研究的理论基础是一样的:
即如果各个数位上的数被某数除,所得的余数的和能够被某数整除,那么这个数也一定能被某数整除。
例如abc能不能被2、3、5整除,可以先按照位值制原则,将abc分解成a个“百”、b个“十”和c个“一”的和……由于100、10都是2、5的倍数,所以a个“百”、b个“十”当然也是2、5的倍数。
这样,如果个位上的数也是2、5的倍数,那么这个数的每一位除以2、5的余数都是0,进而,余数和也是0,当然,这个数能够被2、5整除。
同样的道理,10、100、1000……除以3的余数都是1,因此某计数单位上的数是几,则该计数单位上的数除以3的余数就可以看作是几个1,如abc百位上的数字a代表的数a×100除以3的余数是a个1(也就是a);十位上的数字b代表的数b×10除以3的余数是b个1;个位上的数字c除以3的余数是c个1;这样,各个数位上的数除以3所得的余数和,实质就是这个数各个数位上所有数字的和。
据此,判断一个数能否被3整除,实质就转化成看这些数各个数位上的数字和能否被3整除。
当然,小学生由于知识和思维特点的限制,还不可能从数论的
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