版新高考地区高考数学人教版大一轮复习第2讲 充分条件与必要条件全称量词与存在量词.docx
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版新高考地区高考数学人教版大一轮复习第2讲充分条件与必要条件全称量词与存在量词
第2讲 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词
一、知识梳理
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q
p
p是q的必要不充分条件
p
q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p
q且q
p
[注意] 不能将“若p,则q”与“p⇒q”混为一谈,只有“若p,则q”为真命题时,才有“p⇒q”,即“p⇒q”⇔“若p,则q”为真命题.
2.全称命题和特称命题
(1)全称量词和存在量词
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有些、某些等
∃
(2)全称命题和特称命题
名称
形式
全称命题
特称命题
结构
对M中任意一个x,有p(x)成立
存在M中的一个x0,使p(x0)成立
简记
∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,p(x0)
否定
∃x0∈M,﹁p(x0)
∀x∈M,﹁p(x)
常用结论
1.从集合的角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则关于充分条件,必要条件又可以叙述为:
(1)若A⊆B,则p是q的充分条件;
(2)若A⊇B,则p是q的必要条件;
(3)若A=B,则p是q的充要条件;
(4)若AB,则p是q的充分不必要条件;
(5)若AB,则p是q的必要不充分条件;
(6)若A
B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件.
2.全称命题与特称命题的否定
(1)改写量词:
确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写.
(2)否定结论:
对原命题的结论进行否定.
二、教材衍化
1.“(x-1)(x+2)=0”是“x=1”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:
选B.若x=1,则(x-1)(x+2)=0显然成立,但反之不成立,即若(x-1)(x+2)=0,则x的值也可能为-2.故选B.
2.命题“∃x0∈R,log2x0+2<0”的否定是________________________.
答案:
∀x∈R,log2x+2≥0
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( )
(2)q不是p的必要条件时,“p
q”成立.( )
(3)写特称命题的否定时,存在量词变为全称量词.( )
(4)∃x0∈M,p(x0)与∀x∈M,﹁p(x)的真假性相反.( )
答案:
(1)√
(2)√ (3)√ (4)√
二、易错纠偏
(1)全称命题或特称命题的否定出错;
(2)对充分必要条件判断错误.
1.命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是__________________________.
答案:
存在两个全等三角形的面积不相等
2.设x∈R,则“2-x≥0”是“(x-1)2≤1”的________条件.
答案:
必要不充分
考点一 全称命题与特称命题(基础型)
理解全称量词与存在量词的意义,能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
核心素养:
数学抽象
1.(2020·西安模拟)命题“∀x>0,
>0”的否定是( )
A.∃x<0,
≤0B.∃x>0,0≤x≤1
C.∀x>0,
≤0D.∀x<0,0≤x≤1
解析:
选B.因为
>0,所以x<0或x>1,所以
>0的否定是0≤x≤1,所以命题的否定是∃x>0,0≤x≤1,故选B.
2.下列命题中的假命题是( )
A.∀x∈R,ex>0B.∀x∈N,x2>0
C.∃x0∈R,lnx0<1D.∃x0∈N*,sin
x0=1
解析:
选B.对于B.当x=0时,x2=0,因此B中命题是假命题.
3.已知命题p:
∃m∈R,f(x)=2x-mx是增函数,则﹁p为 ( )
A.∃m∈R,f(x)=2x-mx是减函数
B.∀m∈R,f(x)=2x-mx是减函数
C.∃m∈R,f(x)=2x-mx不是增函数
D.∀m∈R,f(x)=2x-mx不是增函数
解析:
选D.由特称命题的否定可得﹁p为“∀m∈R,f(x)=2x-mx不是增函数”.
4.(2020·宁夏石嘴山期中)若命题“∃t∈R,t2-2t-a<0”是假命题,则实数a的取值范围是______.
解析:
因为命题“∃t∈R,t2-2t-a<0”为假命题,所以命题“∀t∈R,t2-2t-a≥0”为真命题,所以Δ=(-2)2-4×1×(-a)=4a+4≤0,即a≤-1.
答案:
(-∞,-1]
(1)全称命题与特称命题的否定
①改写量词:
确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写;
②否定结论:
对原命题的结论进行否定.
(2)全称命题与特称命题真假的判断方法
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题为真
否定为假
假
存在一个对象使命题为假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题为真
否定为假
假
所有对象使命题为假
否定为真
[提醒] 因为命题p与﹁p的真假性相反,因此不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.
考点二 充分条件、必要条件的判断(基础型)
理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
核心素养:
逻辑推理
(1)(2020·烟台模拟)已知a,b都是实数,那么“b>a>0”是“
>
”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
(2)(2020·佛山模拟)已知p:
x=2,q:
x-2=
,则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】
(1)若
>
,则
-
=
>0.当0 > 成立;当a>0,b<0时,满足 > ,但0a>0”是“ > ”的充分不必要条件,故选A. (2)当x-2= 时,两边平方可得(x-2)2=2-x,即(x-2)(x-1)=0,解得x1=2,x2=1.当x=1时,-1= ,不成立,故舍去,则x=2,所以p是q的充要条件,故选C. 【答案】 (1)A (2)C 充分条件、必要条件的2种判断方法 (1)定义法: 根据p⇒q,q⇒p进行判断. (2)集合法: 根据p,q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断. [提醒] 判断充要条件需注意3点 (1)要分清条件与结论分别是什么. (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断. (3)直接判断比较困难时,可举出反例说明. 1.(2019·高考天津卷)设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析: 选B.由x2-5x<0可得0 2.(2020·安徽淮南二模)设λ∈R,则“λ=-3”是“直线2λx+(λ-1)y=1与直线6x+(1-λ)y=4平行”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析: 选A.当λ=-3时,两条直线的方程分别为6x+4y+1=0,3x+2y-2=0,此时两条直线平行; 若直线2λx+(λ-1)y=1与直线6x+(1-λ)y=4平行,则2λ×(1-λ)=-6(1-λ),所以λ=-3或λ=1,经检验,两者均符合. 综上,“λ=-3”是“直线2λx+(λ-1)y=1与直线6x+(1-λ)y=4平行”的充分不必要条件,故选A. 考点三 充分条件、必要条件的探求及应用(综合型) 复习指导 寻求充分、必要条件的思路 (1)寻求q的充分条件p,即求使q成立的条件p; (2)寻求q的必要条件p,即求使q为条件可推出的结论p. 已知条件p: 集合P={x|x2-8x-20≤0},条件q: 非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若p是q的必要条件,求m的取值范围. 【解】 由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10, 所以P={x|-2≤x≤10}, 由p是q的必要条件,知S⊆P. 则 所以0≤m≤3. 所以当0≤m≤3时,p是q的必要条件, 即所求m的取值范围是[0,3]. 【迁移探究】 (变结论)若本例条件不变,问是否存在实数m,使p是q的充要条件. 解: 若p是q的充要条件,则P=S, 所以 所以 即不存在实数m,使p是q的充要条件. 根据充要条件求解参数范围的方法及注意事项 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解. (2)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象. 1.命题“∀x∈[1,3],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A.a≥9B.a≤9 C.a≥10D.a≤10 解析: 选C.命题“∀x∈[1,3],x2-a≤0”⇔“∀x∈[1,3],x2≤a”⇔9≤a.则a≥10是命题“∀x∈[1,3],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件.故选C. 2.若“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件,则a的最小值为________. 解析: 由x2-x-6>0,解得x<-2或x>3. 因为“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件, 所以{x|x>a}是{x|x<-2或x>3}的真子集,即a≥3,故a的最小值为3. 答案: 3 [基础题组练] 1.(2020·安徽蚌埠第一次教学质量检查)命题p: 存在常数列不是等比数列,则命题﹁p为( ) A.任意常数列不是等比数列 B.存在常数列是等比数列 C.任意常数列都是等比数列 D.不存在常数列是等比数列 解析: 选C.因为特称命题的否定是全称命题,命题p: 存在常数列不是等比数列的否定命题﹁p: 任意常数列都是等比数列,故选C. 2.设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析: 选A.由A⊆C,B⊆∁UC,易知A∩B=∅,但A∩B=∅时未必有A⊆C,B⊆∁UC,如图所示, 所以“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的充分不必要条件. 3.已知f(x)=sinx-x,命题p: ∃x∈ ,f(x)<0,则( ) A.p是假命题,﹁p: ∀x∈ ,f(x)≥0 B.p是假命题,﹁p: ∃x∈ ,f(x)≥0 C.p是真命题,﹁p: ∀x∈ ,f(x)≥0 D.p是真命题,﹁p: ∃x∈ ,f(x)≥0 解析: 选C.易知f′(x)=cosx-1<0,所以f(x)在 上是减函数,因为f(0)=0,所以f(x)<0,所以命题p: ∃x∈ ,f(x)<0是真命题,﹁p: ∀x∈ ,f(x)≥0,故选C. 4.(2020·郑州模拟)设平面向量a,b,c均为非零向量,则“a·(b-c)=0”是“b=c”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析: 选B.由b=c,得b-c=0,得a·(b-c)=0;反之不成立.故“a·(b-c)=0”是“b=c”的必要不充分条件. 5.(2020·宁夏银川一中模拟)王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ) A.充分条件B.必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析: 选B.“攻破楼兰”不一定“返回家乡”,但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”,故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件.故选B. 6.已知命题“∃x0∈R,使2x +(a-1)x0+ ≤0”是假命题,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,-1)B.(-1,3) C.(-3,+∞)D.(-3,1) 解析: 选B.原命题的否定为∀x∈R,2x2+(a-1)x+ >0,由题意知,其为真命题,则Δ=(a-1)2-4×2× <0,则-2 7.(多选)已知a,b,c是实数,下列结论中正确的是( ) A.“a2>b2”是“a>b”的充分条件 B.“a2>b2”是“a>b”的必要条件 C.“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件 D.“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件 解析: 选CD.对于A,当a=-5,b=1时,满足a2>b2,但是ab,但是a2 8.(多选)(2021·预测)下列命题说法错误的是( ) A.∃x0∈R,ex0≤0 B.∀x∈R,2x>x2 C.a+b=0的充要条件是 =-1 D.若x,y∈R,且x+y>2,则x,y中至少有一个大于1 解析: 选ABC.根据指数函数的性质可得ex>0,故A错误;x=2时,2x>x2不成立,故B错误;当a=b=0时, 没有意义,故C错误;因为“x+y>2,则x,y中至少有一个大于1”的逆否命题为“x,y都小于等于1,则x+y≤2”,是真命题,所以原命题为真命题,故选ABC. 9.若命题p的否定是“∀x∈(0,+∞), >x+1”,则命题p可写为____________________. 解析: 因为p是﹁p的否定,所以只需将全称量词变为存在量词,再对结论否定即可. 答案: ∃x0∈(0,+∞), ≤x0+1 10.在△ABC中,“A=B”是“tanA=tanB”的________条件. 解析: 由A=B,得tanA=tanB,反之,若tanA=tanB,则A=B+kπ,k∈Z.因为0 答案: 充要 11.条件p: x>a,条件q: x≥2. (1)若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是___________________________; (2)若p是q的必要不充分条件,则a的取值范围是____________________________. 解析: 设A={x|x>a},B={x|x≥2}, (1)因为p是q的充分不必要条件, 所以AB,所以a≥2; (2)因为p是q的必要不充分条件, 所以BA,所以a<2. 答案: (1)[2,+∞) (2)(-∞,2) 12.已知集合A={x|a-2 解析: A∩B=∅⇔ ⇔0≤a≤2. 答案: [0,2] [综合题组练] 1.(2020·辽宁丹东质量测试 (一))已知x,y∈R,则“x+y≤1”是“x≤ 且y≤ ”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析: 选B.当“x+y≤1”时,如x=-4,y=1,满足x+y≤1,但不满足“x≤ 且y≤ ”.当“x≤ 且y≤ ”时,根据不等式的性质有“x+y≤1”.故“x+y≤1”是“x≤ 且y≤ ”的必要不充分条件.故选B. 2.(2020·湖南雅礼中学3月月考)若关于x的不等式|x-1| A.a≤1B.a<1 C.a>3D.a≥3 解析:
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