数学建模实验答案概率模型.docx
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数学建模实验答案概率模型
实验10概率模型(2学时)
(第9章概率模型)
1.(验证)报童的诀窍p302~304,323(习题2)
关于每天报纸购进量的优化模型:
已知b为每份报纸的购进价,a为零售价,c为退回价(a>b>c),每天报纸的需求量为r份的概率是f(r)(r=0,1,2,…)。
求每天购进量n份,使日平均收入,即
达到最大。
视r为连续变量,f(r)转化为概率密度函数p(r),则所求n*满足
已知b=0.75,a=1,c=0.6,r服从均值
=500(份),均方差
=50(份)的正态分布。
报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高,这个最高收入是多少?
[提示:
normpdf,normcdf]
(i)计算正态变量的概率密度函数的调用形式为:
Y=normpdf(X,mu,sigma)
正态变量的概率密度函数为
其中:
X是x的一组值,Y对应一组函数值。
mu为
,sigma为
。
当
=0,
=1时,为标准正态变量的概率密度函数。
(ii)计算正态变量的分布函数的调用形式为:
P=normcdf(X,mu,sigma)
正态变量的分布函数为
且
标准正态变量的概率密度函数对应标准正态变量的分布函数。
要求:
(1)在同一图形窗口内绘制
和
的图形,观察其交点。
程序:
n=500:
530;
mu=500;sigma=50;
y1=normcdf(n,mu,sigma)-normcdf(0,mu,sigma);
a=1;b=0.75;c=0.6;
y2=(a-b)/(a-c)*ones(size(n));
plot(n,[y1;y2]);
gridon;
[提示]
,
☆
(1)运行程序并给出结果:
(2)求方程
的根n*(四舍五入取整),并求G(n*)。
程序:
functiony=fun(n)
mu=500;sigma=50;
a=1;b=0.75;c=0.6;
y=normcdf(n,mu,sigma)-normcdf(0,mu,sigma)-(a-b)/(a-c);
clear;clc;
n=fzero('fun',515);
n=round(n)
mu=500;sigma=50;
a=1;b=0.75;c=0.6;
r=n+1;
while(a-b)*n*normpdf(r,mu,sigma)>1e-6
r=r+1;
end
r=n+1:
r;
G=sum((a-b)*n*normpdf(r,mu,sigma));
r=0:
n;
G=G+sum(((a-b)*r-(b-c)*(n-r)).*normpdf(r,mu,sigma))
☆
(2)运行程序并给出结果:
2.(编程)轧钢中的浪费p307~310
设要轧制长l=2.0m的成品钢材,由粗轧设备等因素决定的粗轧冷却后钢材长度的均方差σ=0.2m,问这时钢材长度的均值m应调整到多少使浪费最少。
平均每得到一根成品材所需钢材的长度为
其中,
求m使J(m)达到最小。
等价于求方程
的根z*。
其中:
是标准正态变量的分布函数,即
是标准正态变量的概率密度函数,即
(1)绘制J(m)的图形(l=2,σ=0.2),观察其最小值的位置。
★
(1)给出程序和运行结果:
clc;clear;
m=2:
0.001:
2.5;%根据l=2
l=2;sigma=0.2;
J=m./(1-normcdf(l,m,sigma));
plot(m,J);
gridon;
(2)求使J(m)达到最小值的m*。
由
(1)可观察到J(m)达到最小值的区间。
分别用求无约束最小值的MATLAB函数fminbnd,fminsearch,fminunc求解,并比较结果。
★
(2)给出程序及运行结果(比较[310]):
functiony=Jfun(m)
l=2;sigma=0.2;
y=m/(1-normcdf(l,m,sigma));
(3)在同一图形窗口内绘制
和
的图形,观察它们的交点。
(参考题1的
(1))
★(3)给出程序及运行结果(比较[309]图2):
z=-2:
0.1:
2;
y1=(1-normcdf(z,0,1))./normpdf(z,0,1);
l=2;sigma=0.2;
y2=l/sigma-z;
plot(z,[y1;y2]);
gridon;
(4)求方程
的根z*,并求m=l-σz*。
(参考题1的
(2))
提示:
由(3)得到的图形可观察到z*的大概位置。
★(4)给出程序及运行结果(比较[310]):
functiony=fun(z)%方程
l=2;sigma=0.2;
y=l/sigma-z-(1-normcdf(z,0,1))./normpdf(z,0,1);
3.(验证)航空公司的预订票策略p313~316
模型如下:
给定λ,n,p,b/g,求m使单位费用获得的平均利润J(m)最大。
约束条件为
其中:
m预订票数量的限额。
λ(<1)利润调节因子。
n飞机容量。
p每位乘客不按时前来登机的概率,q=1–p。
b每位被挤掉者获得的赔偿金。
g机票价格。
b/g赔偿金占机票价格的比例。
不按时前来登机的乘客数K服从二项分布,其概率为
被挤掉的乘客数超过j人的概率为
(等价于m位预订票的乘客中不按时前来登机的不超过m–n–j–1人)
该模型无法解析地求解,我们设定几组数据,用程序作数值计算。
[提示:
binopdf,binocdf]
(i)二项分布的概率密度函数:
Y=binopdf(X,N,P)
计算X中每个X(i)的概率密度函数,其中,N中对应的N(i)为试验数,P中对应的P(i)为每次试验成功的概率。
Y,N,和P的大小类型相同,可以是向量、矩阵或多维数组。
输入的标量将扩展成一个数组,使其大小类型与其它输入相一致。
N中的值为正整数,P中的值从[0,1]取。
已知x和参数n,p,二项分布概率密度函数为
q=1–p。
y为n次独立试验中成功x次的概率,其中,每次试验成功的概率为p。
x=0,1,...,n。
(ii)二项式累积分布函数:
Y=binocdf(X,N,P)
计算X中每个X(i)的二项式累积分布函数,其中,N中对应的N(i)为试验数,P中对应的P(i)为每次试验成功的概率。
Y,N,和P的大小类型相同,可以是向量、矩阵或多维数组。
输入的标量将扩展成一个数组,使其大小类型与其它输入相一致。
N中的值为正整数;X中的值从[0,N]取;P中的值从[0,1]取。
已知x和参数n,p,累积分布函数为
q=1–p,x=0,1,2,…,n。
要求:
(1)已知n=300,λ=0.6,p=0.05,b/g=0.2和0.4,取一组值m=300:
2:
330,求出对应的J(m)、P5(m)和P10(m),程序如下。
(与教材p315表1n=300时的计算结果比较。
)
%9.6航空公司的预订票策略
functionmain()
clear;clc;formatshortg;
n=300;m=[300:
2:
330]';p=0.05;%修改的参数
lambda=0.6;%λ值
b_g1=0.2;b_g2=0.4;
J1=zeros(size(m));J2=zeros(size(m));
fori=1:
length(m)
J1(i)=J(m(i),n,lambda,p,b_g1);
J2(i)=J(m(i),n,lambda,p,b_g2);
end
P5=binocdf(m-n-5-1,m,p);%二项分布
P10=binocdf(m-n-10-1,m,p);
round(10000*[m,J1,J2,P5,P10])/10000%显示结果
functiony=J(m,n,lambda,p,b_g)%均是标量
q=1-p;k=0:
m-n-1;
y=1/(lambda*n)*(q*m-(1+b_g)*sum((m-k-n).*binopdf(k,m,p)))-1;
☆
(1)运行程序并给出结果(比较[315]表1(n=300)):
(2)对
(1)中改变p=0.1和m=300:
2:
344,求对应的结果。
☆
(2)运行程序并给出结果(比较[315]表1(n=300)):
(3)对
(1)中改变n=150和m=150:
2:
170,求对应结果。
(与教材时的计算结果比较。
)
☆(3)运行程序并给出结果(比较[316]表2(n=150)):
(4)对
(1)中改变n=150、m=150:
2:
176和p=0.1,求对应结果。
注意!
结果与教材相差较大,原因待查。
☆(4)运行程序并给出结果(比较[316]表2(n=150))):
4.(编程)航空公司的预订票策略(改进)p316~317
已知:
第2类乘客(t人)都按时前来登机。
第1类乘客(m–t人)不按时前来登机的乘客数K服从二项分布,其概率为
被挤掉的第1类乘客数超过j人的概率为
(等价于预订的第1类乘客中不按时前来登机的不超过(m–t)–(n–t)–j–1人)
单位费用获得的平均利润为
要求:
已知n=300,λ=0.6,p=0.05,b/g=0.2,β=0.75,t=100,取一组值m=300:
2:
330,求出对应的J(m)、P5(m)和P10(m)。
参考实验10.3的程序,编写解决本问题的程序。
运行结果参考示例:
★给出编写的程序和运行结果:
%9.6航空公司的预订票策略(改进)
functionmain()
clear;clc;formatshortg;
n=300;m=(300:
2:
330)';p=0.05;%修改的参数
lambda=0.6;%λ值
b_g=0.2;
t=100;beta=0.75;
J1=zeros(size(m));
fori=1:
length(m)
J1(i)=J(m(i),n,lambda,p,b_g,t,beta);
end
P5=binocdf(m-n-5-1,m-t,p);%二项分布
P10=binocdf(m-n-10-1,m-t,p);
round(10000*[m,J1,P5,P10])/10000%显示结果
functiony=J(m,n,lambda,p,b_g,t,beta)%均是标量
q=1-p;k=0:
m-n-1;
y=1/(lambda*(n-(1-beta)*t))...
*(q*m-(1-beta-p)*t-(1+b_g)*sum((m-k-n).*binopdf(k,m-t,p)))-1;
附1:
实验提示
附2:
第9章概率模型
[302]9.2报童的诀窍
[304]****本节完****
[307]9.4轧钢中的浪费
[309]题2(3)答案
[310]题2
(2)(4)答案****本节完****
[313]9.6航空公司的预订票策略
[315]题3
(1)
(2)答案
[316]题3(3)(4)答案
[317]****本节完****
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