全国卷3高考试题及答案理科数学.docx
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全国卷3高考试题及答案理科数学
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试题类型:
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.
4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
.选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1)设集合S=SxP(x2)(x3)0,Txx0,则SIT=
(A)[2,3]
(B)(-,
2]U[3,+)
(C)[3,+)
(D)(0,2]
U[3,+)
2)
若z=1+2i,则
4i
zz1
(A)1
(B)
-1
(C)i
(D)-i
3)
uuv已知向量BA
(1,2)(,)
uuuv
BC
31
(,),则ABC=
22
22
(A)300
(B)
450
(C)600
(D)120
4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低
气温的雷达图。
图中A点表示十月的平均最高气温约为150C,B点表示四月的平均最低气
温约为50C。
下面叙述不正确的是
(A)各月的平均最低气温都在00C以上
(B)七月的平均温差比一月的平均温差大
(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同
(D)平均气温高于200C的月份有5个
32
5)若tan,则cos22sin2
4
7)执行下图的程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=
A)3
B)4
C)5
D)6
1
8)在△ABC中,B=π,BC边上的高等于1BC,则cosA=
43
表面积为
A)18365
B)54185
C)90
D)81
(10)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球,若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是
(A)4π(B)9(C)6π(D)32
23
22
(11)已知O为坐标原点,F是椭圆C:
x2y21(ab0)的左焦点,A,B分别为C
ab
的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为
1123
(A)(B)(C)(D)
3234
(12)定义“规范01数列”{an}如下:
{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k2m,a1,a2,,ak中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:
本大题共3小题,每小题5分
(13)若x,y满足约束条件
则z=x+y的最大值为.
(14)函数
的图像可由函数的图像至少向右平移
个单位长度得到。
处的切线方程是。
(16)已知直线与圆交于A,B两点,过A,B分别做
l的垂线与x轴交于C,D两点,若,则.
三.解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
已知数列的前n项和,,其中0
(I)证明是等比数列,并求其通项公式
(II)若,求
(18)(本小题满分12分)
图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:
亿吨)的折线图
(I)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明
(II)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。
(19)(本小题满分12分)
如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥地面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
I)证明MN∥平面PAB;
II)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值
(20)(本小题满分12分)
已知抛物线C:
y22x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(I)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;
(II)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
(21)(本小题满分12分)
设函数f(x)=acos2x+(a-1)(cosx+1),其中a>0,记()的最大值为A.
(Ⅰ)求f'(x);
(Ⅱ)求A;
(Ⅲ)证明′()≤2A.
请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。
作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
如果多做,则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图,⊙O中AB的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.
(I)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小;
(II)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OG⊥CD.
23.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
x3cos(为参数)
在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为ysin(为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin()22.
4
(I)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(II)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
24.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知函数f(x)|2xa|a
(I)当a=2时,求不等式f(x)6的解集;
II)设函数g(x)|2x1|,当xR时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围
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试题类型:
新课标Ⅲ
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学答案
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)D
(2)C(3)A(4)D(5)A(6)A(7)B
(8)C(9)B(10)B(11)A(12)C
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第(22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:
本大题共3小题,每小题5分
(13)3
2
(14)
3
(15)y2x1
(16)4
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17)(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)由题意得a1S11a1,故1,a1
,a10.
an1
(1)an.由a10,
由Sn1an,Sn11an1得an1an1an,即
解得1
解:
(Ⅰ)由折线图这数据和附注中参考数据得
t4,(tit)228,(yiy)0.55,
tiyityi40.1749.322.89,i1
2.89
r0.99.
0.5522.646
因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关相当高,从而可以用线性回归模
型拟合y与t的关系.
a?
yb?
t1.3310.10340.92.
所以,y关于t的回归方程为:
y?
0.920.10t.
将2016年对应的t9代入回归方程得:
y?
0.920.1091.82.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.
(19)(本小题满分12分)
2
解:
(Ⅰ)由已知得AMAD2,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点
3
1
知TN//BC,TN1BC2.
2
又AD//BC,故TN平行且等于AM,四边形AMNT为平行四边形,于是MN//AT.
因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN//平面PAB.
(Ⅱ)取BC的中点E,连结AE,由ABAC得AEBC,从而AEAD,且
AEAB2BE2AB2(BC)25.
以A为坐标原点,AE的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,由
题意知,
5
P(0,0,4),M(0,2,0),C(5,2,0),N(25,1,2),
5
PM(0,2,4),PN(2,1,2),
设n(x,y,z)为平面PMN的法向量,则
nPM0
,即
nPN0
4z0
2
,可取
xy2z0
n(0,2,1),
|n||AN|25
1
20)解:
由题设F(,0).设l1:
ya,l2:
yb,则ab0,且
2
22
a2b2111ab
A(,0),B(,b),P(,a),Q(,b),R(,).
222222
记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x(ab)yab0.3
Ⅰ)由于F在线段AB上,故1ab0.
记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则
abab1ab
k122bk2.
1a2a2abaa
所以AR∥FQ.
Ⅱ)设l与x轴的交点为D(x1,0),
1
则SABF2
11
baFDbax1
221
12,SP
ab
QF
由题设可得1bax11
12
a2b,所以x10
21
舍去),x11.
设满足条件的AB的中点为
E(x,y).
当AB与x轴不垂直时,由
2
kABkDE可得
ab
y
xy1(x1).
而aby,所以y2x1(x1).
2
当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2x1.12分
(21)(本小题满分12分)解:
(Ⅰ)f'(x)2asin2x(a1)sinx.
(Ⅱ)当a1时,
|f'(x)||asin2x(a1)(cosx1)|a2(a1)3a2f(0)因此,A3a2.⋯⋯⋯4分
当0a1时,将f(x)变形为f(x)2acos2x(a1)cosx1.
令g(t)2at2(a1)t1,则A是|g(t)|在[1,1]上的最大值,g
(1)a,g
(1)3a2,
1a11
令11,解得a(舍去),a.
4a35
1
(ⅰ)当0a时,g(t)在(1,1)内无极值点,|g
(1)|a,|g
(1)|23a,5
|g
(1)||g
(1)|,所以A23a.
ⅱ)当
11a
a1时,由g
(1)g
(1)2(1a)0,知g
(1)g
(1)g().
54a
23a,0a1
5
2
a26a11
a1.
8a5
3a2,a1
(Ⅲ)由(Ⅰ)得|f'(x)||2asin2x(a1)sinx|2a|a1|.
1'
当0a时,|f'(x)|1a24a2(23a)2A.
5
当1a1时,Aa131,所以|f'(x)|1a2A.
588a4当a1时,|f'(x)|3a16a42A,所以|f'(x)|2A.请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。
作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
如果多做,则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
解:
(Ⅰ)连结PB,BC,则BFDPBABPD,PCDPCBBCD.
因为APBP,所以PBAPCB,又BPDBCD,所以BFDPCD.又PFDBFD180,PFB2PCD,所以3PCD180,因此PCD60.(Ⅱ)因为PCDBFD,所以PCDEFD180,由此知C,D,F,E四点共圆,其圆心既在CE的垂直平分线上,又在DF的垂直平分线上,故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心,所以G在CD的垂直平分线上,因此OGCD.
23.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
x22
解:
(Ⅰ)C1的普通方程为y21,C2的直角坐标方程为xy40.⋯⋯5分
132
(Ⅱ)由题意,可设点P的直角坐标为(3cos,sin),因为C2是直线,所以|PQ|的最小值,
即为P到C2的距离d()的最小值,
|3cossin4|
d()2|sin()2|.23
⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
当且仅当2k(kZ)时,d()取得最小值,最小值为2,此时P的直角坐标6
为(3,1).⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
22
24.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
解:
(Ⅰ)当a2时,f(x)|2x2|2.
解不等式|2x2|26,得1x3.
因此,f(x)6的解集为{x|1x3}.⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
(Ⅱ)当xR时,f(x)g(x)|2xa|a|12x|
|2xa12x|a
|1a|a,
1当x时等号成立,
2
7分
所以当xR时,f(x)g(x)3等价于|1a|a3.①当a1时,①等价于1aa3,无解.
当a1时,①等价于a1a3,解得a2.
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