秋季离散数学综合考试.docx
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秋季离散数学综合考试.docx
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秋季离散数学综合考试
姓名:
严先贵
学号1944201250206得分:
教师签名:
离散数学形成性考核作业4
离散数学综合练习书面作业
要求:
学生提交作业有以下三种方式可供选择:
1.可将此次作业用A4纸打印出来,手工书写答题,字迹工整,解答题要有解答过程,完成作业后交给辅导教师批阅.
2.在线提交word文档.
3.自备答题纸,将答题过程手工书写,并拍照上传.
一、公式翻译题
1.请将语句“小王去上课,小也去上课.”翻译成命题公式.
设:
P:
小王去上课。
Q:
小去旅游。
则PQ
2.请将语句“他去旅游,仅当他有时间.”翻译成命题公式.
设:
P:
他去旅游
Q:
他有时间
则PQ
3.请将语句“有人不去工作”翻译成谓词公式.
设 A(x):
x是人
B(x):
去工作
x(A(x)﹁B(x))
4.请将语句“所有人都努力学习.”翻译成谓词公式.
设 A(x):
x是人
B(x):
努力学习
x(A(x)B(x))
二、计算题
1.设A={{1},{2},1,2},B={1,2,{1,2}},试计算
(1)(AB);
(2)(A∩B);(3)A×B.
解
(1)(AB)={{1},{2}}
(2)(A∩B)={1,2}
(3)A×B={<1},1>,{{1},2>
2.设A={1,2,3,4,5},R={
解:
R={〈1,1〉,〈1,2〉,〈1,3〉,〈2,1〉,〈2,2〉,〈3,1〉},
S=φ
RS=φ
SR=φ
R-1={〈1,1〉,〈2,1〉,〈3,1〉,〈1,2〉,〈2,2〉,〈1,3〉}
S-1=φ
r(S)={〈1,1〉,〈2,2〉,〈3,3〉,〈4,4〉,〈5,5〉}
s(R)={〈1,1〉,〈1,2〉,〈1,3〉,〈2,1〉,〈2,2〉,〈3,1〉}
3.设A={1,2,3,4,5,6,7,8},R是A上的整除关系,B={2,4,6}.
(1)写出关系R的表示式;
(2)画出关系R的哈斯图;
(3)求出集合B的最大元、最小元.
解:
R={〈1,1〉,〈1,2〉,〈1,3〉,〈2,1〉,〈2,2〉,〈3,1〉},
S=φ
RS=φ
SR=φ
R-1={〈1,1〉,〈2,1〉,〈3,1〉,〈1,2〉,〈2,2〉,〈1,3〉}
S-1=φ
r(S)={〈1,1〉,〈2,2〉,〈3,3〉,〈4,4〉,〈5,5〉}
s(R)={〈1,1〉,〈1,2〉,〈1,3〉,〈2,1〉,〈2,2〉,〈3,1〉}
4.设A={1,2,3,4,5,6,7,8},R是A上的整除关系,B={2,4,6}.
(1)写出关系R的表示式;
(2)画出关系R的哈斯图;
(3)求出集合B的最大元、最小元.
解:
(1)R={〈1,1〉,〈1,2〉,〈1,3〉,〈1,4〉,〈1,5〉,〈1,6〉,〈1,7〉,〈1,8〉,〈2,2〉,〈2,4〉,〈2,6〉,〈2,8〉,〈3,3〉,〈3,6〉,〈4,4〉,〈4,8〉,〈5,5〉,〈6,6〉,〈7,7〉,〈8,8〉}
(2)关系R的哈斯图
(3)集合B的没有最大元,最小元是2.
4.设G=
(1)给出G的图形表示;
(2)写出其邻接矩阵;
(3)求出每个结点的度数;(4)画出其补图的图形.
解:
(1)
(2)邻接矩阵为
(3)v1结点度数为1,v2结点度数为2,v3结点度数为3,v4结点度数为2,v5结点度数为2
(4)补图图形为
5.图G=
(1)画出G的图形;
(2)写出G的邻接矩阵;
(3)求出G权最小的生成树及其权值.
解:
(1)G的图形如下:
(2)写出G的邻接矩阵
3)G权最小的生成树及其权值
6.设有一组权为2,3,5,7,17,31,试画出相应的最优二叉树,计算该最优二叉树的权.
权为2*5+3*5+5*4+7*3+17*2+31=131
7.求P®QÚR的析取式,合取式、主析取式,主合取式.
8.设谓词公式
.
(1)试写出量词的辖域;
(2)指出该公式的自由变元和约束变元.
9.设个体域为D={a1,a2},求谓词公式(y)(x)P(x,y)消去量词后的等值式;
三、证明题
1.对任意三个集合A,B和C,试证明:
若A´B=A´C,且A¹
,则B=C.
证明:
(1)对于任意〈a,b〉∈AB,其中a∈A,b∈B,因为AB=AC,必有〈a,b〉∈AC,其中b∈C,因此B
C。
(2)同理,对于任意〈a,c〉∈AC,其中a∈A,c∈C,因为AB=AC,必有〈a,c〉∈AB,其中c∈B,因此C
B。
由
(1)、
(2)得:
B=C.
2.试证明:
若R与S是集合A上的自反关系,则R∩S也是集合A上的自反关系.
证明:
若R与S是集合A上的自反关系,则任意x∈A,<x,x>∈R,<x,x>∈S,
从而<x,x>∈R∩S,注意x是A的任意元素,所以R∩S也是集合A上的自反关系。
3.设连通图G有k个奇数度的结点,证明在图G中至少要添加
条边才能使其成为欧拉图.
证明:
由定理3.1.2,任何图中度数为奇数的结点必是偶数,可知k是偶数.
又根据定理4.1.1的推论,图G是欧拉图的充分必要条件是图G不含奇数度结点.因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边,使图G的所有结点的度数变为偶数,成为欧拉图.
故最少要加
条边到图G才能使其成为欧拉图.
4.试证明(P(QR))PQ与(PQ)等价.
5.试证明:
Ø(A∧ØB)∧(ØB∨C)∧ØCÞØA.
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