第21讲《生活中的轴对称》全章复习与巩固基础课程讲义例题练习含答案.docx

第21讲《生活中的轴对称》全章复习与巩固基础课程讲义例题练习含答案.docx

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第21讲《生活中的轴对称》全章复习与巩固基础课程讲义例题练习含答案

《生活中的轴对称》全章复习与巩固（基础）

【学习目标】

1.认识和欣赏身边的轴对称图形，增进学习数学的兴趣.

2.了解轴对称的概念，探索轴对称、轴对称图形的基本性质及它们的简单应用.

3.探索线段的垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质以及判定方法.

4.能按照要求，画出一些轴对称图形.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、轴对称

1.轴对称图形和轴对称　　

（1）轴对称图形

　　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：

轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

（2）轴对称

定义：

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.

要求诠释：

成轴对称的两个图形的性质：

①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；

②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.

（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系

要点诠释:

轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：

如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．

2.线段的垂直平分线

线段的垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

要点诠释：

线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.

三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.

3.角平分线

角平分线性质是：

角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；反过来，在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.

要点诠释：

前者的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；后者则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.

要点二、作轴对称图形

1.作轴对称图形

（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；

（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.

要点三、等腰三角形

1.等腰三角形

（1）定义：

有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.

如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

要点诠释：

等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．

∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝

．

（2）等腰三角形性质

　①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；

②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.

（3）等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等　　　边”）.

要点诠释：

等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理．

2.等边三角形

（1）定义：

三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.

要点诠释：

由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包

括等边三角形．

（2）等边三角形性质：

等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　

（3）等边三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形；

②三个角都相等的三角形是等边三角形；

③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.

【典型例题】

类型一、轴对称的判断与应用

1、（•泰安模拟）如图所示，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是（　　）

　A．

B．

C．

D．

【答案】B．

【解析】按照题意，动手操作一下，可知展开后所得的图形是选项B．

【总结升华】对于一下折叠、展开图的问题，亲自动手操作一下，可以培养空间想象能力．

举一反三：

【变式】如图,是一只停泊在平静水面上的小船,它的“倒影”应是图中的（）.

【答案】B；

提示：

从水中看物体——上下颠倒

2、如图，C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A、B是桌面上的两个球，怎样击打A球，才能使A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球？

请画出A球经过的路线，并写出作法．

【答案与解析】

解：

作点A关于直线CF对称的点G，连接BG交CF于点P，则点P即为A球撞击桌面边缘CF的位置，A球经过的路线如下图.

【总结升华】这道题利用了轴对称的性质，把AP转化成了线段GP，通过找A点的对称点，从而确定点P的位置.

举一反三：

【变式】已知∠MON内有一点P，P关于OM，ON的对称点分别是

和

，

分别交OM,ON与点A、B，已知

＝15，则△PAB的周长为（）

A.15B7.5C.10D.24

【答案】A；

提示：

根据轴对称的性质，PA=P1A，PB=P2B，△PAB的周长等于

.

类型二、线段垂直平分线性质

3、如图，已知AD是线段BC的垂直平分线，且BD=3cm，△ABC的周长为20cm，求AC的长．

【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质，可得AB=AC，BD=CD，然后根据等量代换，解答出即可．

【答案与解析】

解：

∵AD是线段BC的垂直平分线，

∴AB=AC，BD=CD，

又∵BD=3cm，

∴BC=6cm，

又∵△ABC的周长=AB+BC+AC=20cm，

∴2AC=14，

AC=7cm．

【总结升华】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

举一反三

【变式】如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（　　）

Ａ．ED=CD　　Ｂ．∠DAC=∠B　　Ｃ．∠C＞2∠B　　Ｄ．∠B+∠ADE=90°

【答案】Ｄ；

类型三、角平分线性质

4、如图，点O到△ABC的两边AB，AC的距离相等，且OB=OC．求证：

AB=AC．

【思路点拨】根据题意过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，则OE=OF，已知OB=0C，可证Rt△OEB≌Rt△OFC，从而得∠OBE=∠OCF，又由OB=OC得∠OBC=∠OCB，可得∠ABC=∠ACD，即AB=AC．

【答案与解析】

证明：

过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，

由题意知，OE=OF．

在Rt△OEB和Rt△OFC中，

∵OE=OF，OB=OC，

∴Rt△OEB≌Rt△OFC，

∴∠OBE=∠OCF，

又由OB=OC知∠OBC=∠OCB，

∴∠ABC=∠ACD，

∴AB=AC．

【总结升华】本题考查了三角形全等的判定与性质．关键是根据题意证明三角形全等，得出相等角，利用等角对等边证明结论．

举一反三

【变式】点D到△ABC的两边AB、AC的距离相等，则点D在（　　）

A.BC的中线上B.BC边的垂直平分线上

C.BC边的高线上D.∠A的平分线所在的直线上

【答案】D；

类型四、等腰三角形的性质与判定

5、已知：

一等腰三角形的两边长

，

满足方程组

，则此等腰三角形的周长为（　　）

A.5B.4C.3D.5或4

【思路点拨】通过解方程组算出等腰三角形的两边长，由于没有指定边长是腰还是底，所以需要分类讨论，最后还要注意检验能否构成三角形.

【答案】A；

【解析】

解：

解方程组

得

，

当腰为1，2为底时，1＋1＝2，不能构成三角形，

当腰为2，1为底时，能构成三角形，周长为2＋2＋1＝5

【总结升华】本题从边的方面考查等腰三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．

举一反三：

【变式】已知等腰三角形的一个内角为70°，则另两个内角的度数是（　　）

A.55°，55°B.70°，40°C.55°，55°或70°，40°D.以上都不对

【答案】C；

提示：

当70°为顶角时,另外两个角是底角，它们的度数是相等的，为（180°－70°）÷2＝55°，当70°为底角时,另外一个底角也是70°,顶角是180°－140°＝40°．

6、（春•杨浦区期末）已知：

如图，在△ABC中，AC=BC，点D在AB边上，DE∥AC交BC边于点E，DF⊥AB，垂足是D，交直线BC于点F，试说明△DEF是等腰三角形的理由．

【思路点拨】由等边对等角和平行线的性质得：

∠B=∠BDE=∠A，由DF⊥AB得△BDF是直角三角形，得∠BDE+∠EDF=90°和∠B+∠F=90°，则∠F=∠EDF，从而得出结论．

【答案与解析】

解：

∵AC=BC，

∴∠A=∠B，

∵DE∥AC，

∴∠BDE=∠A，

∴∠B=∠BDE，

∵FD⊥AB，

∴∠BDF=90°，

∴∠BDE+∠EDF=90°，

∵∠B+∠F+∠BDF=180°，

∴∠B+∠F=90°，

∴∠F=∠EDF，

∴DE=DF，

即△DEF是等腰三角形．

【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质和判定，是常考题型；熟练掌握等边对等角，等角对等边；以及直角三角形的两个锐角互余．

举一反三：

【变式1】如图，∠1＝∠2，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，请判断△AEC的形状，并说明理由．

【答案】

解：

△AEC是等腰三角形．

理由如下：

∵∠1＝∠2，

∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3，即∠BAC＝∠DAE，

又∵AB＝AD，∠B＝∠D，

∴△ABC≌△ADE（ASA），

∴AC＝AE．

即△AEC是等腰三角形．

【变式2】如图，∠BAC＝90°，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的数量关系．

【答案】ED＝2AM

解：

连接DE，

∵∠BAC＝90°，M是BC的中点

∴AM＝BM＝MC＝

∠EAD＝∠BAC＝90°，AE＝AB，AC＝AD

∴△ABC≌△AED

∴ED＝BC

∴ED＝2AM

类型五、等边三角形的性质与判定

7、如图，设Ｄ为等边△ABC内一点，且AD＝BD，BP＝AB,∠DBP＝∠DBC.求∠BPD的度数.

【答案与解析】

解：

如图，连接CD，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，又AD＝BD，DC是公共边，

∴△BDC≌△ADC（SSS），

∴∠DCB＝∠DCA＝

×60°＝30°，∠DBC＝∠DAC，

∵∠DBP＝∠DBC，

∴∠DAC＝∠DBP，

又已知BP＝AB，

∴BP＝AC，

∴△DBP≌△DAC（SAS），

∴∠P＝∠ACD＝30°．

【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，在判定三角形

全等时，关键是选择恰当的判定条件．

举一反三：

【变式】（•营口）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（　　）

　A．25°B．30°C．35°D．40°

【答案】B．

解：

分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，

分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：

∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，

∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；

∵点P关于OB的对称点为C，

∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，

∴OC=OP=OD，∠AOB=

∠COD，

∵△PMN周长的最小值是5cm，

∴PM+PN+MN=5，

∴DM+CN+MN=5，

即CD=5=OP，

∴OC=OD=CD，

即△OCD是等边三角形，

∴∠COD=60°，

∴∠AOB=30°；

故选：

B．

【巩固练习】

一.选择题

1.（•河北）一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（　　）

　A．

B．

C．

D．

2．直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（）

A.形内    B.形外    C.斜边的中点  D.不能确定

3.以下叙述中不正确的是（）

A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线

B．其中有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形

C．等腰三角形一定是锐角三角形

D．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等

4．下列条件①有一个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高与中线重合的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．能判定三角形为等边三角形的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

5.如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，DE交AB于E,且AB＝BC，则下列结论中错误的是（）

A．BD⊥ACB．∠A＝∠EDAC．BC＝2ADD．BE＝ED

6.如图，△ABC中∠ACB＝90°,CD是AB边上的高，∠BAC的角平分线AF交CD于E，则△CEF必为（）

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

7.下列说法中不正确的是（）

A.等边三角形是轴对称图形

B.若两个图形的对应点连线都被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称

C.若△ABC≌△

则这两个三角形一定关于一条直线对称

D.直线MN是线段AB的垂直平分线，若P点使PA＝PB，则点P在MN上，若

，则

不在MN上

8．如图所示,Rt△ABC中，∠C＝90°,AB的垂直平分线DE交BC于D，交AB于点E．当∠B＝30°时，图中不一定相等的线段有（）

A．AC＝AE＝BEB．AD＝BDC．CD＝DED．AC＝BD

二.填空题

9.如图，O是△ABC内一点，且OA＝OB＝OC，若∠OBA＝20°,∠OCB＝30°，则∠OAC＝_________.

10.（春•苏州期末）如图，将一个等腰三角形（底角大于60°）沿对称轴对折后，剪掉一个60°的角，展开后得到如图的形状，若∠ABD=15°，则∠A=　　．

11.如图，△ABC中，∠C＝90°，D是CB上一点，且DA＝DB＝4，∠B＝15°,则AC的长为．

12.在△ABC中，AB＝AC，若∠A－∠B＝30°则∠A＝________，∠B＝________.

13.点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF＝80º，则∠CEG＝．

14．（•薛城区一模）一个汽车牌在水中的倒影为

，则该车牌照号码______．

15.等腰三角形的两边长分别为10

，6

，则它的周长为_________.

16.三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝80°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，如图所示∠1＝30°，则∠2＝_______．

三.解答题

17.已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等.

18.（春•绿园区期末）如图1是3×3的正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，（要求：

绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图2中的四幅图就视为同一种图案），请在图3中的四幅图中完成你的设计．

19．如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB＝AE，AC＝AD，求证：

∠DBC＝

∠DAB．

20．（秋•蓬江区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．

（1）求证：

△DEF是等腰三角形；

（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】C．

2.【答案】C；

【解析】直角三角形斜边的中点到三顶点的距离相等.

3.【答案】Ｃ；

　【解析】等腰三角形还有钝角三角形和直角三角形．

4.【答案】Ｂ；

【解析】②④均能判定三角形为等边三角形.

5.【答案】C；

【解析】因为BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，所以∠EBD＝∠DBC＝∠EDB，故B、D成立，由等腰三角形三线合一的性质知A成立.

6.【答案】A；

【解析】∠CFA＝∠B＋∠BAF，∠CEF＝∠ECA＋∠EAC，而∠B＝∠ECA，∠BAF＝∠EAC，故△CEF为等腰三角形.

7.【答案】C；

【解析】全等的两个三角形不一定关于一条直线对称.

8.【答案】D；

【解析】由角平分线的性质结合∠B＝30°，可知A、B、C均成立.

二.填空题

9.【答案】40°；

【解析】△AOB与△BOC与△AOC均为等腰三角形,∠OAC＝

＝40°.

10.【答案】30°．

【解析】连接AD，由题意可得出：

∠ACD=∠B=15°，∠BDC=60°，则∠ADB+∠ADC=360°﹣60°=300°，∵∠B+∠BAC+∠ADB+∠ADC+∠C=360°，∴∠BAC=360°﹣300°﹣15°﹣15°=30°．

11.【答案】2；

【解析】∠ADC＝30°，

.

12.【答案】80°，50°；

【解析】∠A－∠B＝30°，∠A＋2∠B＝180°，解方程组得∠A＝80°，∠B＝50°.

13.【答案】40°；

【解析】∠BDE＝

，∠BED＝∠DEG＝180°－50°－60°＝70°，所以∠CEG＝40°.

14.【答案】M17936

【解析】只需将倒影沿垂直旋转180°即可，因此该车的牌照号码为：

M17936.

15.【答案】26

或22

；

【解析】没有指明腰和底边，要分类讨论.

16.【答案】50°；

【解析】∠C＝40°，根据折叠图形对应角相等及三角形内角和定理，∠2＝50°.

三.解答题

17.【解析】

MN的中垂线与∠AOB的平分线的交点即为所求；如图所示：

18.【解析】

解：

如图所示．

19.【解析】

证明：

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAE＝∠CAB

在△DAE和△CAB中，

∴△DAE≌△CAB（SAS），

∴∠BDA＝∠ACB，

又∵∠AED＝∠CEB，

∴∠ADE＋∠AED＝∠ACB＋∠CEB，

∵∠DAE＝180°－（∠ADE＋∠AED），∠DBC＝180°－（∠ACB＋∠CEB），

∴∠DAE＝∠DBC，

∵∠DAE＝

∠DAB，

∴∠DBC＝

∠DAB．

20．【解析】

（1）

证明：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

在△DBE和△CEF中

，

∴△DBE≌△CEF，

∴DE=EF，

∴△DEF是等腰三角形；

（2）∵△DBE≌△CEF，

∴∠1=∠3，∠2=∠4，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠B=

（180°﹣40°）=70°

∴∠1+∠2=110°

∴∠3+∠2=110°

∴∠DEF=70°