第7讲 一元一次不等式.docx
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第7讲一元一次不等式
第7讲 一元一次不等式(组)
考纲要求
命题趋势
1.了解不等式(组)有关的概念.
2.理解不等式的基本性质;会解简单的一元一次不等式(组);并能在数轴上表示出其解集.
3.能列出一元一次不等式(组)解决实际问题.
不等式(组)在中考中以解不等式(组)、求不等式(组)的特殊解为主.而紧密联系日常生活实际的不等式(组)的应用,更是中考的热点内容,且难度大,综合性强.
知识梳理
一、不等式的有关概念及其性质
1.不等式的有关概念:
(1)不等式:
用符号“<”或“>”或“≤”或“≥”表示大小关系的式子,叫做不等式.
(2)不等式的解集:
一个含有未知数的不等式的所有__________,组成这个不等式的解集.
(3)解不等式:
求不等式的________的过程叫做解不等式.
2.不等式的基本性质:
(1)不等式两边都加上(或减去)同一个数(或整式),不等号的方向__________,即若a<b,则a+c<b+c(或a-c<b-c).
(2)不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向__________,即若a<b,且c>0,则ac______bc
.
(3)不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向__________,即若a<b,且c<0,则ac______bc
.
二、一元一次不等式(组)的解法
1.一元一次不等式:
只含有__________未知数,且未知数的次数是1且系数不等于0的不等式叫一元一次不等式.
2.解一元一次不等式的基本步骤:
去分母、__________、移项、__________、系数化为1.
3.一元一次不等式组:
关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组.
4.一元一次不等式组的解集:
一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫这个一元一次不等式组的解集.
5.一元一次不等式组解集的确定方法.
若a<b,则有:
(1)
的解集是__________,即“同大取大”.
(2)
的解集是__________,即“同小取小”.
(3)
的解集是__________,即“大小小大中间夹”.
(4)
的解集是__________,即“大大小小无解答”.
三、不等式(组)的应用
1.列不等式或不等式组解决实际问题,要注意抓住问题中的一些关键词语,如“至少”“最多”“超过”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多”等.这些都体现了不等关系,列不等式时,要根据关键词准确地选用不等号.另外,对一些实际问题的分析还要注意结合实际.
2.列不等式(组)解应用题的一般步骤:
(1)审题;
(2)设未知数;(3)找出能够包含未知数的不等量关系;(4)列出不等式(组);(5)求出不等式(组)的解;(6)检验解是否符合实际情况;(7)写出答案(包括单位名称).
自主测试
1.如果a>b,c<0,那么下列不等式成立的是( )
A.a+c>b+cB.c-a>c-b C.ac>bcD.
>
2.不等式2x+1>-3的解集在数轴上表示正确的是( )
3.一个一元一次不等式组的解集在数轴上表示如下图,则该不等式组的解集是( )
A.-1≤x<3B.-1<x≤3 C.x≥-1D.x<3
4.不等式组
的解集是( )
A.-
<x≤2B.-3<x≤2 C.x≥2D.x<-3
5.有3人携带会议材料乘坐电梯,这3人的体重共210kg,每捆材料重20kg,电梯最大负荷为1050kg,则该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载__________捆材料.
考点一、不等式的性质
【例1】已知a,b,c均为实数,若a>b,c≠0,下列结论不一定正确的是( )
A.a+c>b+cB.c-a<c-b C.
>
D.a2>ab>b2
解析:
∵a>b,∴-a<-b,根据不等式性质一知,A,B均正确.
∵c≠0,∴c2>0,根据不等式性质二知C项正确.D项中当a=1,b=-2时,a2<b2,故D不正确.
答案:
D
方法总结不等式的基本性质是不等式变形的依据,是我们应掌握的基本知识.特别要注意的是,不等式的两边同乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向要改变.
触类旁通1下列不等式变形正确的是( )
A.由a>b,得ac>bc B.由a>b,得-2a<-2b
C.由a>b,得-a>-b D.由a>b,得a-2<b-2
考点二、不等式(组)的解集的数轴表示
【例2】不等式8-2x>0的解集在数轴上表示正确的是( )
解析:
不等式8-2x>0的解集是x<4,故选C.
答案:
C
方法总结不等式(组)的解集可以在数轴上直观地表示出来,具体表示方法是先确定边界点,解集包含边界点,则边界点是实心圆点;解集不包含边界点,则边界点是空心圆圈;再确定方向,大向右,小向左.
触类旁通2不等式组
的解集在数轴上表示正确的是( )
考点三、不等式(组)的解法
【例3】解不等式组,并把解集在数轴上表示出来
解:
解不等式①,得x≥1,
解不等式②,得x<4.
所以,不等式组的解集为1≤x<4.
在数轴上表示为
方法总结1.解不等式与解方程类似,不同之处在于系数化为1时,若不等式两边同时乘(或除)以一个负数,要改变不等号的方向.
2.解不等式组的方法是分别解不等式组中各个不等式,再利用数轴求出这些不等式的公共部分.解不等式组与解方程组截然不同,不能将两个不等式相加或相减,否则将可能出现错误.
3.在把两个不等式的解集表示在数轴上时,要特别注意是“点”还是“圈”,方向是“向左”还是“向右”.
触类旁通3求满足不等式组
的整数解.
考点四、确定不等式(组)中字母的取值范围
【例4】关于x的不等式组
只有4个整数解,则a的取值范围是( )
A.-5≤a≤-
B.-5≤a<-
C.-5<a≤-
D.-5<a<-
解析:
解原不等式组,得2-3a<x<21.
由已知条件可知2-3a<x<21包含4个整数解,这4个整数解应为17,18,19,20,这时2-3a应满足16≤2-3a<17,解得-5<a≤-
,故应选C.
答案:
C
方法总结根据不等式(组)的解集确定待定系数的取值范围,解决此类问题时,一般先求出含有字母系数的不等式(组)的解集,再根据已知不等式(组)的解集情形,求出字母的取值范围.
触类旁通4若不等式组
有解,则a的取值范围是( )
A.a>-1B.a≥-1 C.a≤1 D.a<1
考点五、不等式(组)的应用
【例5】某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台,三种家电的进价和售价如下表所示:
(1)在不超出现有资金的前提下,若购进电视机的数量和冰箱的数量相同,洗衣机数量不大于电视机数量的一半,商场有哪几种进货方案?
(2)国家规定:
农民购买家电后,可根据商场售价的13%领取补贴.在
(1)的条件下,如果这15台家电全部销售给农民,国家财政最多需补贴农民多少元?
解:
(1)设购进电视机、冰箱各x台,则洗衣机为(15-2x)台.依题意,得
解得6≤x≤7.∵x为正整数,∴x=6或7.
方案1:
购进电视机和冰箱各6台,洗衣机3台;
方案2:
购进电视机和冰箱各7台,洗衣机1台.
(2)方案1需补贴:
(6×2100+6×2500+3×1700)×13%=4251(元);
方案2需补贴:
(7×2100+7×2500+1×1700)×13%=4407(元).
∴国家财政最多需补贴农民4407元.
方法总结1.利用不等式(组)解决实际问题,关键是要抓住题目中表示不等关系的语句,列出不等式,问题的答案不仅要根据解集,还要根据使实际问题有意义确定.
2.在利用不等式组解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时,为防止漏解和便于比较,我们常用分类讨论的思想方法,对方案的优劣进行探讨.
触类旁通5某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器,若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台,共需要资金7000元;若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台,共需要资金4120元.
(1)每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元?
(2)该经销商计划购进这两种商品共50台,而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元.根据市场行情,销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元.该经销商希望销售完这两种商品,所获利润不少于4100元.试问:
该经销商有哪几种进货方案?
哪种方案获利最大?
最大利润是多少?
1.(2012湖北武汉)在数轴上表示不等式x-1<0的解集,正确的是( )
2.(2012山东临沂)不等式组
的解集在数轴上表示正确的是( )
3.(2012四川凉山)设a,b,c表示三种不同物体的质量,用天平称两次,情况如图所示,则这三种物体的质量从小到大排序正确的是( )
A.c<b<aB.b<c<a C.c<a<bD.b<a<c
4.(2012四川广安)不等式2x+9≥3(x+2)的正整数解是__________.
5.(2012山东济宁)解不等式组
并在数轴上表示出它的解集.
6.(2012湖南益阳)为响应市政府“创建国家森林城市”的号召,某小区计划购进A,B两种树苗共17棵,已知A种树苗每棵80元,B种树苗每棵60元.
(1)若购进A,B两种树苗刚好用去1220元,问购进A,B两种树苗各多少棵?
(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量,请你给出一种费用最省的方案,并求出该方案所需费用.
1.若a>b,则( )
A.a>-bB.a<-b C.-2a>-2bD.-2a<-2b
2.不等式x>1在数轴上表示正确的是( )
3.现用甲、乙两种运输车将46吨物资运往灾区,甲种运输车载重5吨,乙种运输车载重4吨,安排车辆不超过10辆,则甲种运输车至少应安排( )
A.4辆 B.5辆 C.6辆 D.7辆
4.不等式组
的解在数轴上表示为( )
5.关于x的不等式-2x+a≤2的解集如图所示,那么a的值是( )
A.-4 B.-2 C.0 D.2
6.若关于x,y的二元一次方程组
的解满足x+y<2,则a的取值范围为__________.
7.关于x的不等式3x-a≤0,只有两个正整数解,则a的取值范围是__________.
8.已知关于x,y的方程组
的解x,y都是正数,求m的取值范围.
参考答案
导学必备知识
自主测试
1.A 2.C 3.A
4.B 解
x+1>0,得x>-3,解2-x≥0,得x≤2,所以不等式组的解集是-3<x≤2.
5.42 设最多还能搭载x捆材料,由题意,得20x+210≤1050,解得x≤42,故该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载42捆材料.
探究考点方法
触类旁通1.B 运用不等式的性质时,应注意不等式的两边同时乘以或者除以一个负数,不等式的方向要改变.
触类旁通2.A 因为由2x+1≤3,得x≤1,
所以-3<x≤1.
触类旁通3.解:
解不等式①,得x>-2.
解不等式②,得x≤6.
在同一数轴上表示不等式①②的解集如下:
∴原不等式组的解集为-2<x≤6.
∴原不等式组的整数解为x=-1,0,1,2,3,4,5,6.
点评:
求不等式组的特殊解时,首先应先求出每个不等式的解集,再确定出不等式组的解集,然后再寻找出符合条件的特殊解.
触类旁通4.A 解不等式组得
因为“大小小大中间找”,满足有解的条件,所以-a<1,解得a>-1.
触类旁通5.解:
(1)设每台电脑机箱的进价是x元,液晶显示器的进价是y元,得
解得
答:
每台电脑机箱的进价是60元,液晶显示器的进价是800元.
(2)设购进电脑机箱z台,
得
解得24≤z≤26.
因为z是整数,所以z=24或25或26.
利润10z+160(50-z)=8000-150z,可见z越小利润就越大,故z=24时利润最大为4400元.
答:
该经销商有3种进货方案:
①进24台电脑机箱,26台液晶显示器;②进25台电脑机箱,25台液晶显示器;③进26台电脑机箱,24台液晶显示器.第①种方案利润最大为4400元.
点评:
在列方程组解应用题时,关键是找相等关系,可结合图象法、列表法等,将题目的已知和结论借助一些辅助工具分析,从而快速找出相等关系;而在列不等式解决实际问题时,要找准题目当中的“大于”“不小于”“超过”“不足”“住不满”等一些表示不等关系的“关键词”.
品鉴经典考题
1.B 解不等式x-1<0得x<1,数轴上是圆圈,且在1的左边.
2.A ∵
由①得x<3,由②得x≥-1,
∴不等式组的解集为-1≤x<3,在数轴上表示为
故选A.
3.A 由图可知,2c=b,b<a,所以c<b<a.
4.1,2,3 解不等式得x≤3,所以正整数解是1,2,3.
5.解:
由不等式①得x<5,
由不等式②得x≥-1.
把①②的解集在数轴上表示为
所以,原不等式组的解集为-1≤x<5.
6.解:
(1)设购进A种树苗x棵,则购进B种树苗(17-x)棵,根据题意得:
80x+60(17-x)=1220,解得x=10,
∴17-x=7.
答:
购进A种树苗10棵,B种树苗7棵.
(2)设购进A种树苗x棵,则购进B种树苗(17-x)棵,根据题意得:
17-x<x,解得x>8
,购进A,B两种树苗所需费用为80x+60(17-x)=20x+1020,
则费用最省需x取最小整数9,此时17-x=8,这时所需费用为20×9+1020=1200(元).
答:
费用最省方案为:
购进A种树苗9棵,B种树苗8棵.这时所需费用为1200元.
研习预测试题
1.D 2.C
3.C 设甲种运输车x辆,由题意,得5x+4(10-x)≥46,解得x≥6,所以甲种运输车至少应安排6辆.
4.C 解2x-1>1,得x>1,解4-2x≤0,得x≥2,故选C.
5.C 解不等式-2x+a≤2,得x≥
,从数轴看出它的解集为x≥-1,所以
=-1,即a=0.
6.a<4 由两方程相加得4x+4y=4+a,
所以x+y=1+
<2,解得a<4.
7.6≤a<9 解不等式3x-a≤0,得x≤
,由题意得2≤
<3,∴6≤a<9.
8.解:
解方程组
得
因为x,y都是正数,所以
解这个不等式组,得
<m<7.
所以m的取值范围是
<m<7.
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