第十一章全等三角形.docx
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第十一章全等三角形
第十一章全等三角形
【知识概念图表】
知识要点(定义、公理、定理、公式、法则)
(一)全等三角形性质与判定
全等三角形定义
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形,互相重合的边、角、顶点分别叫做对应边、对应角、对应顶点。
全等的符号是:
“≌”读作“全等于”
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等,对应角相等。
三角形全等的判定
三边对应相等的两个三角形全等,简写成“边边边”或“SSS”.
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”.
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或"ASA”
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”.
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜过直角边”或“HL”.
(二)角的平分线的性质
角的平分线的性质定理
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
角的平分线的判定定理
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
深度理解
1、证明两个三角形全等时,应注意紧扣判定的方法,找出相应的条件,同时要从实际图形出发,弄清对应关系,把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
2、注意三个内角对应相等的两个三角形不一定全等,另外已知两个三角形的两边与一角对应相等的两个三角形也不一定全等.
方法指引
往往证明线段相等或角相等的问题,实质就是要转化为证明三角形全等的问题。
角的平分线的性质和判定也是我们证明线段相等或角相等的重要定理。
【易混易错剖析】
1.胡乱使用已知条件来判定两个全等三角形。
有的同学只要有三个条件,不管它们在一个三角形中是什么关系,不管有没有这样的判定方法,就胡乱用来证明三角形全等,如用“AAA”和“SSA”,其实根本就没有这样的判定方法,三个角对应相等的两个三角形不一定全等;有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形也不一定全等(如果那个角是直角时是一定全等的,即“HL”)。
典型示例:
①判断下列命题是否正确?
若不正确请举出反例。
A.两条边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等。
B.两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等。
C.有三个角对应相等的两个三角形全等。
D.两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等。
②填空:
如图,在△ABC和△ADE中,有以下四个论断:
a)AB=AD,b)AC=AE,c)∠C=∠E,d)BC=DE,请以其中三个论断为条件,余下一个论断为结论,写出一个真命题(用序号“
”的形式写出)
常见错误:
①答:
都是正确的。
(也有部分同学认为C不正确,其余的都正确。
)
②填:
或者
。
解析点评:
①本题主要考查三角形全等的判定方法及其应用。
其实每一个判定方法所呈现的三个条件都是能使三角形的形状和大小唯一确定的条件。
上述命题判断除了要正确应用各条判定方法外,关键是要能分析出其形状和大小是否是唯一确定的,也就是说根据所给出的条件画出的图形是不是存在,并且只有一个。
显然,A如图,在△ABC和△A’B’C’中,CD和C’D’分别是AB和A’B’上的高,且AC=A’C’,AB=A’B’,CD=C’D’,然而,△ABC和△A’B’C’并不全等,所以“两条边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等”不成立;
B如图,在△ABC和△A’B’C’中,AD和A’D’分别是CB和C’B’上的高,且AC=A’C’,AB=A’B’,AD=A’D’,然而,△ABC和△A’B’C’并不全等,所以“两条边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等”也不成立;
C如图,当DE∥BC时,∠1=∠B,∠2=∠C,∠A=∠A,而△ABC与△ADE就不全等,所以C“有三个角对应相等的两个三角形全等”也不正确;
D如图,在△ABC与△ABC’中,∠A=∠A,BC=BC’,AB=AB,而△ABC与△ABC’却不全等,所以D“两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等”也不正确。
本题启示:
在判定两个三角形是否能全等时,不能乱用条件,一定要看清各个条件在同一个三角形中的关系,若是“SAS”或“ASA”或“AAS”或“SSS”及“HL”这几种情况,就能判定其全等,若是其他三个条件两个三角形就不一定全等。
②本题主要考查全等三角形的判定与性质,是一道开放性试题。
认真阅读四个结论及图形,根据全等三角形的判定方法选出能够得到三角形全等的条件,显然,根据“SSS”公理,可知由a)b)d),可得出△ABC≌△ADE,由全等三角形的对应角相等可得出c),故真命题可以是:
;另外,根据“SAS”,可知由b)c)d),可得出△ABC≌△ADE,由全等三角形的对应边相等可得出a),故真命题是:
.故填:
(SSS)或
(SAS)都是正确的。
但是千万不可填:
或者
,因为有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。
本题启示:
判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、AAS.注意:
“AAA”、“SSA”不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
2.未将所给条件转化到位就开始用来证明两个三角形全等。
在证明两个三角形全等时,未能将条件转化到位就贸然使用,致使证明不严密而出现错误。
典型示例:
①如图,点A、F、C、D在同一直线上,点B和点E分别在直线AD的两侧,且AB=DE,AB∥DE,AF=DC.求证:
BC∥EF.
②如图,△ABC与△BDE都是正三角形,且AB 在旋转过程中,AE与CD的大小关系是什么? 并说明理由。 常见错误: ①证明: ∵AB∥DE,∴∠A=∠D,在△ABC和△DEF中, ,∴△ABC≌△DEF,∴∠BCA=∠EFD,∴BC∥EF. ②答: AE=CD。 证明: ∵△ABC与△BDE都是正三角形,∴BA=BC,BE=BD,∠ABC=∠EBD=600,在△ABE和△CBD中, ,∴△ABE≌△CBD,∴AE=CD。 解析点评: ①本题主要考查三角形全等的性质与判定的综合运用。 要证明BC∥EF,其实就是要证明∠BCA=∠EFD,而要证明这两个角相等,要通过证明两个三角形全等来实现,即要证: △ABC≌△DEF,显然由已知AB∥DE,能得到: ∠A=∠D,又有: AB=DE,还有AF=DC.可问题就出在这儿,有些同学不看图形,AF和DC根本就不是这两个三角形的边,而只是边上的一部分,怎么办? 那就必须要转化,显然在这个等式两边同时加上FC就行了,即得AC=FD,这样一来就可以使用了。 正确的证明过程是: ∵AB∥DE,∴∠A=∠D,又AF=DC,∴AF+FC=DC+FC即AC=FD,在△ABC和△DEF中, ,∴△ABC≌△DEF,∴∠BCA=∠EFD,∴BC∥EF. 本题启示: 本题中的“AF=DC”是不能直接使用的,必须转化为两个三角形的边后才能使用。 显然只在等式的两边都加上“FC”即得到“AC=DF”。 当然“AB∥DE”也不能直接用来证明两个三角形全等,而是要转化为“∠A=∠D”。 ②本题主要考查等边三角形的性质及全等三角形的性质与判定,本题也是一道动态探究题。 首先我们要通过操作或大胆想象来推断两个等边三角形在旋转过程中的形状、位置和大小,初步判断出: AE=CD。 然后我们用严格的证明来说明我们的判断是正确的。 正确的证明过程是: ∵△ABC与△BDE都是正三角形,∴BA=BC,BE=BD,∠ABC=∠EBD=600,∴∠ABC+∠CBE=∠EBD+∠CBE即∠ABE=∠CBD,在△ABE和△CBD中, ,∴△ABE≌△CBD,∴AE=CD。 本题启示: 本题也是不能将“∠ABC=∠EBD”直接用来证明△ABE≌△CBD,而是要先转化为“∠ABE=∠CBD”才能用来作为证明△ABE≌△CBD的条件。 因而,在证明两个三角形全等过程中,要特别注意有些条件是不能直接用来证明三角形全等的,而要结合图形认真观察,合理转化,只有转化成了所要证明的两个三角形中的对应元素后才能使用。 【考点命题突破】 考点分析: 必考点: 全等三角形的判定与性质,角的平分线的性质与判定。 常考点: “边边角”及“角角角”不能作为判别两个三角形全等的条件,三角形的面积计算方法,同底(或等底)等高(或同高)的两个三角形面积相等,将三角形全等与轴对称、旋转、平移、中心对称等图形变换相结合; 少考点: 必须多次运用三角形全等才能证明的线段或角相等的问题。 中考热点: 将全等三角形的知识与解直角三角形、四边形、圆等知识融合在一起出题,将全等三角形知识与动态探究性问题、与阅读理解性问题、与分类讨论性问题、与实验操作性问题等融合在一起出题。 考查方式: 以较简单的填空题和选择题考查的方式较少,以中高档难度解答题考查的方式较多,有时也与其他知识结合出压轴题。 考点1全等三角形的判定与性质 如图所示,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论: ①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN,其中正确的结论是_________. 解题思路: 本题告诉了“∠E=∠F=90°,∠B=∠C”,那么由三角形内角和定理很容易得到: 第三个角也相等,即 ∠EAB=∠FAC,所以由等式性质易得: ∠1=∠2。 由于 “∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF”,所以由“AAS”得: △AEB≌△AFC,所以由全等三角形的性质得: AC=AB,BE=CF。 又已证: AC=AB,已知: ∠B=∠C,又∠BAC公用,所以由“ASA”证得: △ACN≌△ABM。 所以上述结论中的①②③都是正确的。 只有④没有条件能够证明其成立。 答案: ①②③ 考点2四边形、含30度锐角的直角三角形与全等三角形知识的综合运用 (2010重庆市潼南县)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点G是BC延长线上一点,连结AG,点E、F分别在AG上,连接BE、DF,∠1=∠2,∠3=∠4. (1)证明: △ABE≌△DAF; (2)若∠AGB=30°,求EF的长. 解题思路: 本题由于有正方形且知道边长为2,所以就有许多条件,如正方形的对边平行、四边相等、四个角都为90度……第一问,显而易见,有AD=BA,加之∠1=∠2,∠3=∠4.所以就有“ASA”得到: △ABE≌△DAF;而第二问题目又告诉了“∠AGB=30°”,由于AD∥BG,所以就有∠1=30°,而四边形ABCD是正方形所以有: ∠1+∠4=900,又∠3=∠4所以: ∠1+∠3=900所以: ∠AFD=900,即△ADF为直角三角形。 由30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半,得DF=1,进而由勾股定理或解直角三角形得: AF= ,所以由△ABE≌△ADF得AE=DF=1所以EF=AF-AE= 答案: 解: (1)∵四边形ABCD是正方形∴AB=AD 在△ABE和△DAF中 ∴△ABE≌△DAF(ASA) (2)∵四边形ABCD是正方形∴∠1+∠4=900 ∵∠3=∠4∴∠1+∠3=900∴∠AFD=900 在正方形ABCD中,AD∥BC∴∠1=∠AGB=300 在Rt△ADF中,∠AFD=900,AD=2∴AF= ,DF=1 由 (1)得△ABE≌△ADF∴AE=DF=1 ∴EF=AF-AE= 考点3与全等三角形的知识有关的动态探究问题 (原创题)如图,直线n过等腰直角三角形ABC的顶点C,从A、B两点向直线n作垂线段,垂足分别为E、F。 (1)当直线n不与边AB相交时,求证: EF=AE+BF; (2)将直线n绕点C旋转,使n与边AB交于点D,请你探究: ①当AD>BD时②AD=BD时③AD 解题思路: 本题也是一道动态探究性问题。 (1)题目本质的条件有两条: ①△ABC是等腰直角三角形;②AE、BF都是与直线n垂直的。 所以我们不难发现: Rt△AEC与Rt△CFB有可能全等。 现在来看一下条件够不够? 由于△ABC是等腰直角三角形,所以CA=CB,且∠ACB=900,又AE、BF都是与直线n垂直,所以∠AEC=∠CFB=900,具备了直角和斜边对应相等,显然还差条件,再看看题目有没有隐含条件呢? 我们注意观察,发现有直线,那么就有平角,即∠ECF=1800,而∠ACB=900,所以∠ECA与∠BCF互余,又∠AEC=900,那么∠EAC与∠ECA不也是互余的吗? 根据同角的余角相等,得到: ∠EAC=∠BCF,由“AAS”定理就可以证明: Rt△AEC≌Rt△CFB(AAS),所以AE=CF,CE=BF,所以: EF=AE+BF; (2)在第一问的基础上,将直线n绕点C旋转,使n与边AB交于点D,在①当AD>BD时②AD=BD时③AD 题目的本质条件没有变,即: CA=CB,且∠ACB=900,∠AEC=∠CFB=900。 因而始终有两个三角形全等: Rt△AEC≌Rt△CFB(AAS),依然可以得到: AE=CF及CE=BF。 当直线绕点C旋转时,我们要能想像到它们的运动过程,如上图①②③,显然: ①当AD>BD时,EF=AE-BF;②AD=BD时,EF=AE-BF=0;③AD 答案: (1)证明: ∵△ABC是等腰直角三角形,∴CA=CB,且∠ACB=900,又AE、BF都是与直线n垂直,∴∠AEC=∠CFB=900,∴∠EAC+∠ECA=900,又∠ECF=1800,而∠ACB=900,∴∠ECA+∠BCF=900,∴∠EAC=∠BCF,∴Rt△AEC≌Rt△CFB(AAS),∴AE=CF,CE=BF,∴EF=AE+BF; (2)如图,①当AD>BD时,EF=AE-BF;②AD=BD时,EF=AE-BF=0;③AD 难点突破和易错警示 易错警示: 切忌仅靠目测就下结论,要充分运用已知条件去推理论证,能够证明的结论才是可靠的。 难点突破: 要充分运用正方形性质和三角形全等的判定与性质来解题。 方法总结: 解动态探究性问题,一定要抓住题目的本质条件,即在运动过程中,始终保持不变的条件,它们是基本因素,充分地用好这些条件和它们的结论,对于解动态探究性问题至关重要。 当然,也要关注运动过程,看看要探究的量在变化过程中,有哪些非本质性地变化,也许在第一问是“和”,到第二问就变成“差”了,也许不管怎么运动,结论始终是不变的;往往第二问的图形是关键,画准图形,弄清差别,是后续探究的前提。 经验告诉我们: 这类试题前一问对后一问总有启发作用,后一问的解题思路和方法与前一问比较,往往是类似的,所以,当我们对于第二问一筹莫展,出现“山穷水尽疑无路”时,请你回过头来再好好研究一下第一问,或许灵光一闪,眼前出现“柳暗花明又一村”的景象。 【中考典题回顾】 例1(2011江苏连云港第20题)两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF,按如图所示的方式叠放,阴影部分为重叠部分,点O为边AC和DF的交点.不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等? 为什么? 答案: 解: 不重叠的两部分△AOF与△DOC是全等的. 理由如下: ∵两三角形纸板完全相同,∴BC=BF,AB=BD,∠A=∠D,∴AB-BF=BD-BC,即AF=DC.在△AOF和△DOC中,∵AF=DC,∠A=∠D,∠AOF=∠DOC,∴△AOF≌△DOC(AAS). 例2(2011年浙江杭州二模)如图1,点P、Q分别是边长为4cm的等边∆ABC边AB、BC上的动点,点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1cm/s, (1)连接AQ、CP交于点M,则在P、Q运动的过程中,∠CMQ变化吗? 若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数; (2)何时∆PBQ是直角三角形? (3)如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动,直线AQ、CP交点为M,则∠CMQ变化吗? 若变 化,则说明理由,若不变,则求出它的度数; 答案: 解: (1) 不变。 又由条件得AP=BQ,∴ ≌ (SAS) ∴ ∴ (2)设时间为t,则AP=BQ=t,PB=4-t。 由于∠B=60o,不可能为直角,所以只分以下两种情况讨论: ①当 ;②当 ∴当第 秒或第2秒时,∆PBQ为直角三角形 (3) 不变。 ∴ 又由条件得BP=CQ,∴ ≌ (SAS) ∴ 又 ∴ 例3如图,四边形DEAF中,∠EAF=1200,AE=AF,DE=EF=DF。 现将一个600的锐角的顶点放在A处,绕点A作旋转运动,设AB交直线DE于点B,AC交直线DF于C点,连接BC。 (1)当旋转到∠BAC的边都在∠EAF内部时,则线段BE,CF,BC之间有什么关系? 并说明理由; (2)当旋转到∠BAC的一边BA在∠EAF外部(∠BAE<300)时,试判断线段BE,CF,BC之间又有什么关系? 画图并说明理由; 解题思路: 本题是一道集图形变换、等腰三角形、三角形全等的判定与性质等知识于一身的一道综合探究题。 (1)题目问: 当旋转到∠BAC的边都在∠EAF内部时,则线段BE,CF,BC之间有什么关系? 不认真去分析,还真回答不上来。 先从已知来分析,由∠EAF=1200,AE=AF,能得到什么? 至少是∠AEF=∠AFE=300,再由DE=EF=DF得到△DEF是等边三角形,所以∠DEF=∠DFE=600,又∠BAC=600,所以∠EAB+∠CAF=600,由前面条件还可以得到: ∠DEA=∠DFA=900,凭直觉观察图形,似乎并没有能够全等的三角形,即便是连接DA,倒有全等三角形,但似乎与所要解决的问题关系不大。 怎么办? 我们能不能尝试将线段BE,CF,BC测量一下? 看看量的关系会不会是一条线段是其他两条线段的和? 然后再想一想能不能通过作辅助线把它们联系起来? 比如,把一条线段转移到另一条线段上,再去证两条线段相等? 这就要我们进行深度思考。 由于∠DEA=∠DFA=900,虽然△AEB与△CFA不可能全等,但我们发现它们的共同处还真有: ∠DEA=∠DFA,AE=AF,并且它们的边BE,CF也是我们要探讨的对象。 既然有了一角一边相等,我们为何不顺着这个思路再去帮它们添加一个条件使其全等呢? 于是,延长CF到G点,使FG=EB,连接AG,看看能得到什么? 显然由“SAS”可证得△AEB≌△AFG,所以: AB=AG,∠GAF=∠BAE,而∠EAB+∠CAF=600,所以∠GAF+∠CAF=600,即∠CAG=600=∠BAC。 又AC公用,所以△ABC≌△AGC(SAS),所以BC=GC,而GF=BE,∴BC=CF+FG=CF+BE。 终于找到了三者之间的关系。 (2)题目在 (1)的基础上进行了变式: 当旋转到∠BAC的一边BA在∠EAF外部(∠BAE<300)时,线段BE,CF,BC之间又有什么关系? 先来画图,怎么思考? 往往这类题目思路都与第一问是相通的,虽然图形的有些位置发生了变化,但根本的条件是没有变的。 同样我们考虑构造两个三角形全等,即在FD上截取FH=EB,连接AH。 由于∠AFD=∠AEB=900,AF=AE,又作了FH=EB,所以△AFH≌△AEB(SAS),所以∠FAH=∠BAE,AH=AB,而∠EAC+∠CAH+∠HAF=1200,所以∠EAC+∠CAH+∠BAE=1200,即: ∠BAH=1200,而∠BAC=600,所以∠BAC=∠HAC=600,又AC公用,所以: △ABC≌△AHC(SAS),所以BC=HC,又CF=CH+HF,已证: HF=BE,所以CF=BC+BE。 或者说: BC=CF-BE,也找出了三者之间的关系式。 答案: (1)答: 当旋转到∠BAC的边都在∠EAF内部时,则线段BE,CF,BC之间的关系是: BC=CF+BE。 证明: 延长CF到G点,使FG=EB,连接AG。 ∵DE=EF=DF,∴∠DEF=∠DFE=600,又∠EAF=1200,AE=AF,∴∠AEF=∠AFE=300,∴∠DEA=∠DFA=900,∴∠DEA=∠GFA=900,又FG=EB,AE=AF,∴△AEB≌△AFG(SAS),∴AB=AG,∠GAF=∠BAE,而∠EAB+∠CAF=600,∴∠GAF+∠CAF=600,即∠CAG=600=∠BAC。 又AC公用,∴△ABC≌△AGC(SAS),∴BC=GC,而GF=BE,∴BC=CF+FG=CF+BE。 (2)答: 当旋转到∠BAC的一边BA在∠EAF外部(∠BAE<300)时,线段BE,CF,BC之间的关系是: BC=CF-BE。 如图。 证明: 在FD上截取FH=EB,连接AH。 由 (1): ∠AFD=∠AEB=900,AF=AE,又FH=EB,∴△AFH≌△AEB(SAS),∴∠FAH=∠BAE,AH=AB,而∠EAC+∠CAH+∠HAF=1200,∴∠EAC+∠CAH+∠BAE=1200,即: ∠BAH=1200,而∠BAC=600,∴∠BAC=∠HAC=600,又AC公用,∴△ABC≌△AHC(SAS),∴BC=HC,又CF=CH+HF,已证: HF=BE,∴CF=BC+BE。 或者说: BC=CF-BE。 要点提示: 例1“完全相同”就是全等。 由全等三角形的性质: 对应边相等,对应角相等,轻易就得到我们所需要的条件。 例2要充分运用等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质,要善于运用分类讨论的思想方法,要善于抓住动态问题中的本质因素,本题中始终要抓住运动过程中总是存在两个全等的三角形这个关键。 例3规律总结: (1)利用三角形全等来探究线段相等或者角相等,是我们常用的方法。 构造三角形全等,也是创造性解决这类问题的一种途径,当然,并非任意两个三角形都去构造让它们全等,往往总要有一定的目的性,也要具备一定的条件,构造只是点睛之笔; (2)要探讨图形中不在同一直线上的三条线段的关系,通常是要将它们转化到同一条直线上或者同一个三角形中,把和差问题变成相等问题,从而借助于三角形全等或等腰三角形的判定与性质来寻求答案;(3)解决运动变化问题,不论是点动,线动,还是角动,都要善于去抓住那些本质条件,动中取静,要能从运动中看到哪些位置关系或数量在变? 哪些位置关系或数量是不变的? 以便找到解题的突破口;对于在前一问的基础上作拓展或变式延伸的问题,要善于从第一问较简单的解题过程中去寻找灵感,它们往往总是有联系的,方法和思路总是相通的。
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