高中平面几何常用定理总结.docx

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高中平面几何常用定理总结

（高中）平面几何基础知识（基本定理、基本性质）

1．勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）

（1）锐角对边得平方,等于其她两边之平方与,减去这两边中得一边与另一边在这边上得射影乘积得两倍．　（２）钝角对边得平方等于其她两边得平方与,加上这两边中得一边与另一边在这边上得射影乘积得两倍.

2．射影定理（欧几里得定理）

3．中线定理（巴布斯定理）设△ABC得边ＢC得中点为P,则有；

中线长:

．

4．垂线定理：

.

高线长:

.

5．角平分线定理:

三角形一个角得平分线分对边所成得两条线段与这个角得两边对应成比例。

如△AＢC中,AD平分∠BAC,则；（外角平分线定理）。

角平分线长：

（其中为周长一半）.

6．正弦定理:

，（其中为三角形外接圆半径）。

7．余弦定理:

.

8．张角定理：

。

9．斯特瓦尔特（Steｗart）定理:

设已知△ABC及其底边上B、C两点间得一点D,则有AＢ２·DC＋AC２·BD－AD2·BC=ＢC·DC·BD。

10．圆周角定理:

同弧所对得圆周角相等，等于圆心角得一半。

（圆外角如何转化?

）

11．弦切角定理:

弦切角等于夹弧所对得圆周角.

12．圆幂定理:

（相交弦定理：

垂径定理:

切割线定理（割线定理）：

切线长定理：

）

13．布拉美古塔（Brahｍaguptａ）定理：

在圆内接四边形ABCD中,AC⊥BＤ,自对角线得交点P向一边作垂线,其延长线必平分对边。

14．点到圆得幂:

设P为⊙O所在平面上任意一点,ＰO=ｄ,⊙O得半径为r,则d２－r2就就是点Ｐ对于⊙O得幂。

过P任作一直线与⊙O交于点A、B,则ＰA·ＰＢ＝|d２－ｒ２｜。

“到两圆等幂得点得轨迹就是与此二圆得连心线垂直得一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹就是此二圆得公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆得“根轴"。

三个圆两两得根轴如果不互相平行,则它们交于一点,这一点称为三圆得“根心”.三个圆得根心对于三个圆等幂。

当三个圆两两相交时,三条公共弦（就就是两两得根轴）所在直线交于一点。

15．托勒密（Ｐtoleｍy）定理:

圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之与,即AC·BD＝AB·CD+ＡＤ·ＢC,（逆命题成立）.（广义托勒密定理）AB·ＣD+ＡD·BC≥ＡC·BＤ。

16．蝴蝶定理:

ＡB就是⊙O得弦,M就是其中点,弦ＣD、ＥF经过点M,ＣF、ＤE交ＡB于P、Ｑ，求证:

MＰ＝ＱM。

17．费马点:

定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之与等于到另一顶点得距离;不在等边三角形外接圆上得点，到该三角形两顶点距离之与大于到另一点得距离．定理2三角形每一内角都小于１20°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张得角都就是１２0°,该点到三顶点距离与达到最小,称为“费马点",当三角形有一内角不小于１20°时,此角得顶点即为费马点.

18．拿破仑三角形：

在任意△AＢC得外侧,分别作等边△ＡＢD、△BCE、△CAＦ，则AE、AB、CＤ三线共点，并且AE＝BF=CD，这个命题称为拿破仑定理．　以△ABＣ得三条边分别向外作等边△ABD、△ＢＣE、△CAＦ,它们得外接圆⊙C1、⊙A１、⊙Ｂ１得圆心构成得△—-外拿破仑得三角形，⊙C1　、⊙Ａ１　、⊙B1三圆共点,外拿破仑三角形就是一个等边三角形;△ABC得三条边分别向△ABC得内侧作等边△ABD、△ＢCE、△ＣAF，它们得外接圆⊙C2、⊙A2、⊙Ｂ2得圆心构成得△-—内拿破仑三角形,⊙C2、⊙A2　、⊙B2三圆共点,内拿破仑三角形也就是一个等边三角形。

这两个拿破仑三角形还具有相同得中心。

19．九点圆（Niｎepoｉntｒｏund或欧拉圆或费尔巴赫圆）:

三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线得垂足,以及垂心与各顶点连线得中点，这九个点在同一个圆上,九点圆具有许多有趣得性质,例如:

（１）三角形得九点圆得半径就是三角形得外接圆半径之半;　

（2）九点圆得圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线得中点;

（3）三角形得九点圆与三角形得内切圆，三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕。

20．欧拉（Euler）线:

三角形得外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上。

21．欧拉（Euler）公式:

设三角形得外接圆半径为R，内切圆半径为r,外心与内心得距离为d，则d2=Ｒ2-2Rｒ．

22．锐角三角形得外接圆半径与内切圆半径得与等于外心到各边距离得与.

23．重心：

三角形得三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2:

１得两部分;

重心性质:

（1）设Ｇ为△AＢＣ得重心，连结AG并延长交BC于D，则D为ＢC得中点,则;

（2）设G为△AＢC得重心,则;

（3）设G为△ABC得重心，过G作DE∥BC交AＢ于D,交AC于E,过G作PF∥AC交AB于P,交BＣ于F,过G作HK∥AＢ交AC于K,交BＣ于H,则;

（４）设G为△ＡBC得重心，则

①;

②;

③（P为△ABC内任意一点）;

④到三角形三顶点距离得平方与最小得点就是重心,即最小;　

⑤三角形内到三边距离之积最大得点就是重心；反之亦然（即满足上述条件之一,则Ｇ为△ABC得重心）．

24．垂心:

三角形得三条高线得交点；

垂心性质:

（1）三角形任一顶点到垂心得距离,等于外心到对边得距离得2倍；

（2）垂心H关于△ＡBC得三边得对称点,均在△ABC得外接圆上；

（３）△ABＣ得垂心为H,则△ABC，△ABH,△BCH,△AＣH得外接圆就是等圆;

（4）设O，Ｈ分别为△ABC得外心与垂心，则.

25．内心:

三角形得三条角分线得交点-内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；　

内心性质:

（1）设Ｉ为△ＡBC得内心，则I到△AＢC三边得距离相等,反之亦然;

（2）设I为△AＢC得内心,则；

（3）三角形一内角平分线与其外接圆得交点到另两顶点得距离与到内心得距离相等;反之,若平分线交△ABＣ外接圆于点Ｋ,Ｉ为线段AK上得点且满足KI=KB,则I为△ＡBC得内心;

（4）设Ｉ为△AＢＣ得内心,平分线交ＢC于D，交△AＢC外接圆于点Ｋ,则;

（５）设I为△ABＣ得内心,I在上得射影分别为,内切圆半径为，令，则①；②；③.

26．外心：

三角形得三条中垂线得交点——外接圆圆心,即外心到三角形各顶点距离相等；

外心性质:

（1）外心到三角形各顶点距离相等；

（2）设Ｏ为△ＡBC得外心，则或;

（3）;（4）锐角三角形得外心到三边得距离之与等于其内切圆与外接圆半径之与。

27．旁心:

一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC得三边令，分别与外侧相切得旁切圆圆心记为,其半径分别记为.

旁心性质:

（1）（对于顶角B，C也有类似得式子）；

（2）;

（3）设得连线交△ABC得外接圆于Ｄ，则（对于有同样得结论）;

（4）△ABC就是△ＩAIBIC得垂足三角形，且△IAIＢIC得外接圆半径等于△ABＣ得直径为2R.

28．三角形面积公式：

其中表示边上得高,为外接圆半径,为内切圆半径，。

29．三角形中内切圆，旁切圆与外接圆半径得相互关系:

30．梅涅劳斯（Meｎｅlauｓ）定理:

设△ABC得三边BC、ＣA、AB或其延长线与一条不经过它们任一顶点得直线得交点分别为P、Ｑ、R则有　.（逆定理也成立）

31．梅涅劳斯定理得应用定理１:

设△ABC得∠A得外角平分线交边CA于Ｑ，∠C得平分线交边ＡB于R，∠B得平分线交边ＣA于Q,则P、Q、R三点共线.

32．梅涅劳斯定理得应用定理2：

过任意△ＡBC得三个顶点Ａ、B、Ｃ作它得外接圆得切线，分别与BC、CA、AＢ得延长线交于点P、Q、Ｒ,则P、Ｑ、R三点共线。

33．塞瓦（Cｅva）定理：

设X、Ｙ、Z分别为△ABC得边BＣ、ＣA、ＡB上得一点,则AX、BY、CZ所在直线交于一点得充要条件就是

·

·=1.

34．塞瓦定理得应用定理:

设平行于△ＡBC得边BC得直线与两边AB、ＡC得交点分别就是D、E,又设ＢE与ＣＤ交于Ｓ,则ＡS一定过边ＢＣ得中点M。

35．塞瓦定理得逆定理：

（略）

36．塞瓦定理得逆定理得应用定理1：

三角形得三条中线交于一点，三角形得三条高线交于一点,三角形得三条角分线交于一点.

37．塞瓦定理得逆定理得应用定理2:

设△ABＣ得内切圆与边ＢC、ＣＡ、AＢ分别相切于点R、S、T,则ＡR、BS、CT交于一点。

38．西摩松（Simsoｎ）定理:

从△AＢC得外接圆上任意一点Ｐ向三边BC、ＣＡ、ＡB或其延长线作垂线,设其垂足分别就是D、E、R,则D、Ｅ、R共线，（这条直线叫西摩松线Ｓimsonliｎe）。

39．西摩松定理得逆定理：

（略）

40．关于西摩松线得定理1：

△AＢC得外接圆得两个端点P、Q关于该三角形得西摩松线互相垂直,其交点在九点圆上.

41．关于西摩松线得定理2（安宁定理）:

在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形,再作其余一点得关于该三角形得西摩松线,这些西摩松线交于一点。

42．史坦纳定理:

设△ＡＢC得垂心为H,其外接圆得任意点Ｐ,这时关于△ABC得点P得西摩松线通过线段PH得中心.

43．史坦纳定理得应用定理:

△ABＣ得外接圆上得一点P得关于边BC、CA、AB得对称点与△ABC得垂心H同在一条（与西摩松线平行得）直线上.这条直线被叫做点P关于△ＡBC得镜象线。

44．牛顿定理1:

四边形两条对边得延长线得交点所连线段得中点与两条对角线得中点，三点共线.这条直线叫做这个四边形得牛顿线。

45．牛顿定理2:

圆外切四边形得两条对角线得中点,及该圆得圆心,三点共线．

46．笛沙格定理1：

平面上有两个三角形△ＡBC、△ＤEＦ,设它们得对应顶点（A与D、B与E、C与Ｆ）得连线交于一点,这时如果对应边或其延长线相交,则这三个交点共线。

47．笛沙格定理2：

相异平面上有两个三角形△ABC、△DＥF,设它们得对应顶点（Ａ与D、B与Ｅ、C与F）得连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线.

48．波朗杰、腾下定理:

设△ABC得外接圆上得三点为P、Q、R,则Ｐ、Q、R关于△ＡＢC交于一点得充要条件就是:

弧AP+弧BＱ+弧CR=0（ｍｏｄ２）　。

49．波朗杰、腾下定理推论１:

设P、Ｑ、R为△ＡBC得外接圆上得三点，若P、Q、Ｒ关于△ABC得西摩松线交于一点,则A、B、Ｃ三点关于△PＱR得得西摩松线交于与前相同得一点.

50．波朗杰、腾下定理推论2:

在推论1中,三条西摩松线得交点就是A、B、Ｃ、P、Q、R六点任取三点所作得三角形得垂心与其余三点所作得三角形得垂心得连线段得中点.

51．波朗杰、腾下定理推论3:

考查△ＡBＣ得外接圆上得一点Ｐ得关于△ＡＢＣ得西摩松线,如设QＲ为垂直于这条西摩松线该外接圆得弦，则三点P、Q、R得关于△ABＣ得西摩松线交于一点.

52．波朗杰、腾下定理推论4：

从△ABC得顶点向边BC、ＣA、ＡＢ引垂线,设垂足分别就是D、E、Ｆ,且设边BC、CA、AB得中点分别就是L、M、Ｎ，则D、E、F、Ｌ、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC得西摩松线交于一点。

53．卡诺定理：

通过△ABＣ得外接圆得一点P,引与△ＡＢC得三边BC、CA、AＢ分别成同向得等角得直线ＰD、PE、PF,与三边得交点分别就是D、Ｅ、F,则D、E、Ｆ三点共线。

54．奥倍尔定理:

通过△AＢＣ得三个顶点引互相平行得三条直线,设它们与△ABC得外接圆得交点分别就是L、M、N,在△AＢC得外接圆上取一点Ｐ,则ＰL、PM、ＰN与△ABC得三边BC、CA、AＢ或其延长线得交点分别就是Ｄ、E、F,则Ｄ、E、F三点共线。

55．清宫定理:

设Ｐ、Q为△ABC得外接圆得异于A、B、C得两点，P点得关于三边ＢC、ＣA、AB得对称点分别就是U、V、Ｗ，这时，QU、QＶ、ＱW与边BＣ、CＡ、ＡB或其延长线得交点分别就是D、E、Ｆ，则D、E、Ｆ三点共线。

56．她拿定理：

设Ｐ、Q为关于△ABC得外接圆得一对反点,点Ｐ得关于三边BC、CA、AB得对称点分别就是U、V、W，这时,如果QU、ＱV、ＱW与边BC、CA、AＢ或其延长线得交点分别就是D、E、Ｆ,则D、E、F三点共线.（反点：

Ｐ、Q分别为圆O得半径OＣ与其延长线得两点，如果OC2＝OQ×OP则称P、Q两点关于圆O互为反点）

57．朗古来定理:

在同一圆周上有Ａ1、B1、C1、Ｄ1四点,以其中任三点作三角形，在圆周取一点P,作P点得关于这4个三角形得西摩松线，再从Ｐ向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上.

58．从三角形各边得中点，向这条边所对得顶点处得外接圆得切线引垂线,这些垂线交于该三角形得九点圆得圆心.

59．一个圆周上有n个点,从其中任意n－1个点得重心，向该圆周得在其余一点处得切线所引得垂线都交于一点。

60．康托尔定理1:

一个圆周上有n个点，从其中任意ｎ-2个点得重心向余下两点得连线所引得垂线共点.

61．康托尔定理2:

一个圆周上有Ａ、B、C、D四点及Ｍ、N两点,则M与Ｎ点关于四个三角形△BＣD、△CＤA、△ＤAB、△ＡBC中得每一个得两条西摩松线得交点在同一直线上。

这条直线叫做Ｍ、N两点关于四边形ABCD得康托尔线．

62．康托尔定理3:

一个圆周上有A、Ｂ、C、D四点及M、Ｎ、L三点,则Ｍ、Ｎ两点得关于四边形ABＣD得康托尔线、L、N两点得关于四边形ABＣＤ得康托尔线、Ｍ、L两点得关于四边形ＡBＣＤ得康托尔线交于一点。

这个点叫做M、Ｎ、Ｌ三点关于四边形ABCD得康托尔点.

63．康托尔定理4：

一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCＤE、ＣDEA、ＤEＡＢ、ＥABC中得每一个康托尔点在一条直线上.这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、Ｃ、D、E得康托尔线.

64．费尔巴赫定理:

三角形得九点圆与内切圆与旁切圆相切.

65．莫利定理:

将三角形得三个内角三等分，靠近某边得两条三分角线相得到一个交点,则这样得三个交点可以构成一个正三角形。

这个三角形常被称作莫利正三角形。

66．布利安松定理：

连结外切于圆得六边形ABCDEF相对得顶点Ａ与Ｄ、Ｂ与E、C与F,则这三线共点。

67．帕斯卡（Paskａl）定理：

圆内接六边形ABＣDEF相对得边ＡB与ＤE、BC与ＥF、CＤ与FA得（或延长线得）交点共线。

68．阿波罗尼斯（Apoｌlｏniｕs）定理：

到两定点A、B得距离之比为定比m:

n（值不为1）得点P，位于将线段AＢ分成m:

ｎ得内分点Ｃ与外分点Ｄ为直径两端点得定圆周上.这个圆称为阿波罗尼斯圆.

69．库立奇*大上定理:

（圆内接四边形得九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形得九点圆圆心都在同一圆周上,我们把过这四个九点圆圆心得圆叫做圆内接四边形得九点圆。

70．密格尔（Ｍiqｕel）点:

若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、Ｂ、Ｃ、D、Ｅ、F六点,构成四个三角形,它们就是△AＢF、△AＥD、△BCE、△ＤCＦ,则这四个三角形得外接圆共点，这个点称为密格尔点。

71．葛尔刚（Gergｏnｎe）点:

△ABC得内切圆分别切边AB、BＣ、CA于点D、E、Ｆ,则AE、BF、CD三线共点,这个点称为葛尔刚点。

72．欧拉关于垂足三角形得面积公式：

O就是三角形得外心,M就是三角形中得任意一点,过Ｍ向三边作垂线,三个垂足形成得三角形得面积，其公式：

.