第九届数学应用知识竞赛试题详细解答.docx
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第九届数学应用知识竞赛试题详细解答
1.
(1)已知王老师跑步2000米,散步800米,共用20分钟。
由于假设王老师跑步的速度和散步的速度均保持不变,所以王老师跑步2000×2=4000(米),散步800×2=1600(米),
共用时20×2=40(分钟)。
又已知王老师跑步1000米,散步1600米,共用时25分钟,
所以王老师跑步4000-1000=3000(米),用时40-25=15(分钟),
即王老师跑步的速度为3000÷15=200(米/分钟)
答:
王老师跑步的速度为200米/分钟。
(2)因为王老师跑步2000米,散步800米,共用时20分钟,所以王老师散步800米,用时
答:
王老师散步800米用时10分钟
2.(6分)
分析:
小三角形如右图重新摆放后,可知
解:
小三角形面积=大三角形面积÷4=120÷4=30(平方米)
3、(7分)2.解法一:
由题意得这两辆汽车的刹车距离分别满足如下的关系式:
12<
<15,11<
<12,
分别求解这两个不等式,得30<
<
<35,
12<
<
<
<45.可见,A车无责任,B车应付责任。
解法二:
如果
=
=40km/h,则可以算得
=20m,
=10m。
由于A车实际刹车距离没有超过它按限速行驶的刹车距离
=20m;而B车实际刹车距离超过了它按限速行驶时的刹车距离
=10m。
可见A车无责任,B车应付责任。
4.解:
假设小晰蜴从15cm长到20cm,体形是相似的。
这时晰蜴的体重正比于它的
体积,而体积与体长的立方成正比。
记体长为l的晰蜴的体重为
,因此有
合理的答案应该是35g。
5.分析与解把参赛的五个球队看成平面上不在同一条直线上的五个点,并且没有3个点在一条直线上。
这样每两队比赛了1场,就可以用相应的两点间连一条线段来表示。
根据各队比赛过的场次可画成图55。
从上图不难看出,E队赛了2场。
答:
E队赛了2场。
6.
解:
把该沿海城市地图上的7个县分别编号为A、B、C、D、E、F、G(如图5)。
为了便于观察,可以把图5改画成图6(相邻关系不改变)。
我们不妨按A、B、C、D、E、F、G的顺序,用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次染色,根据乘法原理,共有5×4×3×3×3×3×3=4860(种)不同的染色方法。
说明:
应用乘法原理来解本题,要谨防遗漏。
为了避免遗漏,就应适当选择染色的顺序。
或许有的选手会问:
既然要讲究染色的顺序。
那么“按A、B、C、D、E、F的顺序”前又怎么可以加“不妨”二字呢对了,我们这里所说的“适当选择染色顺序”,不是说染色方法与染色顺序有关,而是说选择某些染色次序很可能算错。
比如说,如果我们选择B、C、G、D、A、E、F的染色顺序,那么,根据乘法原理算得的结果是
5×4×4×3×2×3×3=4320(种)。
这当中遗漏了540(种),为什么会遗漏呢因为在给B、C染色之后,再给G染色时,没有分“G与B同色”、“G与B不同色”两种情况。
举个简单的例子,如图7,如果按④③②①的顺序染色,容易误算为5×4×4×2=160(种),而实际上,应分两种情况:
(1)②与③同色时有5×4×1×3=60(种)染法
(2)②与③不同色时,有5×4×3×2=120(种)染法
7.(7分
解:
由于这七项工作的操作有一定的先后次序,因此全部的工作就可以由一个有向图表示出来.如果用图的顶点表示各项工作(我们用顶点的标号来区分),用顶点之间的有向连线表示各项工作之间完成和开始的先后次序.就得到下面的工程网络图.
图中s表示开始,e表示任务结束,顶点旁的数字表示该项任务所需要的时间.从图上可以看到,在全部工作流程中,⑶、⑷、⑺的先后次序是相互衔接的,所需要的总时间为4+3+2=9周.这是一个不可能再缩短的流程,因此它是完成这项任务所需要的最短的时间.其它的工作可以穿插于
这九周时间内适当的时间完成.据此,可以得到如下的工作流程:
完成这项任务的计划安排是:
第一周向主管部门打报告取得批准,并且同时争取商业界的广告资助;
第三周拿到批件后开始申请所需的活动经费并且着手租借场地;
第五周在前三项工作完成的基础上着手聘请演员;
第八周开始印制节目单和发布演出活动的广告;
第九周末完成任务.
8.解:
因为T(0)=+ae?
k×0=,所以a=.
又因为T
(1)=+?
k×1=,所以ek=103115.
所以k=ln115?
ln103≈,
所以T(t)=+?
.
当T=37℃时,有+?
=37,
得t≈?
小时≈?
2小时57分.
设死者被害时刻为Td。
所以Td=8小时20分?
2小时57分=5小时23分
即死亡时间大约在下午5?
23,因此张某不能被排除在嫌疑犯之外.
9、解:
(1)设商品降价
元,则多卖的商品数为
,若记商品在一个星期的获利为
,
则依题意有
,
又由已知条件,
,于是有
,
所以
.7分
(2)根据
(1),我们有
.
2
12
0
0
极小
极大
故
时,
达到极大值.因为
,
,所以定价为
元能使一个星期的商品销售利润最大.………14分
10.(5分)一个活动性较强的细菌每经过10秒就分裂为一个活动性较强的与一个活动性较弱的细菌,而一个活动性较弱的细菌每经过20秒就分裂为两个活动性较弱的细菌。
问:
一个活动性较强的细菌,经过60秒可繁殖多少个细菌
答:
一个活动性较强的细菌经过60秒可繁殖15个细菌。
11.
分析与解如果这样去想,第一轮512名运动员参赛,要赛256场;第二轮256名运动员参赛,要赛128场;……直到决赛出第一名为止,再将各轮比赛场次加起来,计算出一共要比赛多少场。
这种方法是可以的,不过太复杂了。
如果按下面的思路思考,那就简单得多了。
根据题中所说,比赛采取淘汰制,每比赛一场淘汰掉1人,到最后决赛得出第一名,只有这第一名未被淘汰。
也就是说,512名运动员参赛,有511人被淘汰。
淘汰一个人就要赛一场,所以这次乒乓球比赛一共要进行511场比赛。
答:
这次乒乓球比赛,一共要比赛511场。
12.解:
(1)描点作图,设x表示时间,y表示水深。
(2)由题目条件,水深至少为5.5米时才能保证货船驶入港口的安全。
为此在上图中做一条y=的水平直线a。
图象在a止方时,其对应的x范围为货船驶入港口的安全时间段,从图中可以看出,这个时间段约为0:
30到5:
40分,或13:
00到18:
20(有10分钟左右的偏差可以算对),在港口停留的时间大约为5小时。
也可以用线性插值方法,在已知点中,若相邻两点在直线a的异侧,设加在它们中间且过直线a的点与它们共线。
于是利用点(0,5)和(1,),得
=()/()=,对应的时间为0:
25;利用点(5,)和(6,),得
=,对应的时间为5:
50。
由此得到第一个满足条件的时间段约为0:
25-5:
50。
同理,利用点(12,)和(13,,得
=,对应的时间为12:
55;利用点(18,)和(19,,得
=,对应的时间为18:
16。
由此得到第二个满足条件的时间段约为12:
55-18:
16。
(3)2:
00时水深为7.1米,船需要的安全水深随着卸货时间的变化公式为:
y= 其中2 在上面的函数图象中画出该图象,看出与原图象的交点大约在7: 00左右(有10分钟左右上午偏差可以算正确),故知在7: 00以前该货船一定要离开码头驶到较深的安全水域。 注: 此处也可利用(6,,(7,做线性插值,得y=+与y=.(x-2),联立可求得x=,即7: 06;若利用(7,,(8,做线性插值,得y=-x+与y=联立可求得x=7,即7: 00.这些做法与看图得到的结果一致。 13.(6分)两人相约在7点到8点在某地会面,先到者等候另一个人20分钟方可离去.试求这两人能会面的概率 14.易知V=πr2h, 设材料比重为ρ,侧面材料厚度为b,则用料为 A=2πr×h×b×ρ+2πr2×2b×p 这样,r与h之比是1∶4时,用料最少.1. (1)行驶12公里,由题设按12.5公里计价,车费为 +×-4)=24(元), 等候3分钟,由题设按分钟计价,等候费为 合计24+=(元).………………………………(5分) (2)行驶公里,按24公里计价.车费为 +×(15-4)+×(24-15)=(元), 等候7分钟,按5分钟计价.等候费为 合计+=(元). (3)据题设可得如下x与y的关系,其函数图象为图3—110. 16.解 建立坐标系,底圆方程为垂直于x轴的截面为直角三角形 截面面积 立体体积
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