七年级数学知识点总结.docx

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七年级数学知识点总结

第一章有理数

1.1正数与负数

①正数：

大于0的数叫正数。

（根据需要，有时在正数前面也加上“+”）

②负数：

在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数。

与正数具有相反意义。

③0既不是正数也不是负数。

0是正数和负数的分界，是唯一的中性数。

注意：

搞清相反意义的量：

南北；东西；上下；左右；上升下降；高低；增长减少等

1.2有理数

1.有理数

（1）整数:

正整数、0、负整数统称整数（integer），

（2）分数;正分数和负分数统称分数（fraction）。

（3）有理数；整数和分数统称有理数（rationalnumber）.以用m/n（其中m,n是整数，n≠0）表示有理数。

2.数轴

（1）定义：

通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴（numberaxis）。

（2）数轴三要素：

原点、正方向、单位长度。

（3）原点：

在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点（origin）。

（4）数轴上的点和有理数的关系：

所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点，不都是表示有理数。

只有符号不同的两个数叫做互为相反数（oppositenumber）。

（例：

2的相反数是-2；0的相反数是0）

数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值（absolutevalue）,记作|a|。

从几何意义上讲，数的绝对值是两点间的距离。

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

两个负数，绝对值大的反而小。

1.3有理数的加减法

①有理数加法法则：

1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0。

3.一个数同0相加，仍得这个数。

加法的交换律和结合律

②有理数减法法则：

减去一个数，等于加这个数的相反数。

1.4有理数的乘除法

①有理数乘法法则：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数同0相乘，都得0。

乘积是1的两个数互为倒数。

乘法交换律/结合律/分配律

②有理数除法法则：

除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得0。

1.5有理数的乘方

求n个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫幂（power）。

在a的n次方中，a叫做底数（basenumber），n叫做指数（exponent）。

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0。

有理数的混合运算法则：

先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

把一个大于10的数表示成a×10的n次方的形式，使用的就是科学计数法，注意a的范围为1≤a<10。

从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字（significantdigit）。

四舍五入遵从精确到哪一位就从这一位的下一位开始，而不是从数字的末尾往前四舍五入。

比如：

3.5449精确到0.01就是3.54而不是3.55.

第二章整式的加减

2.1整式

单项式：

由数字和字母乘积组成的式子。

系数，单项式的次数.单项式指的是数或字母的积的代数式．单独一个数或一个字母也是单项式．因此，判断代数式是否是单项式，关键要看代数式中数与字母是否是乘积关系，即分母中不含有字母，若式子中含有加、减运算关系，其也不是单项式．

单项式的系数：

是指单项式中的数字因数；

单项数的次数：

是指单项式中所有字母的指数的和．

多项式：

几个单项式的和。

判断代数式是否是多项式，关键要看代数式中的每一项是否是单项式．每个单项式称项，常数项，多项式的次数就是多项式中次数最高的次数。

多项式的次数是指多项式里次数最高项的次数，这里

是次数最高项，其次数是6；多项式的项是指在多项式中，每一个单项式．特别注意多项式的项包括它前面的性质符号．

它们都是用字母表示数或列式表示数量关系。

注意单项式和多项式的每一项都包括它前面的符号。

单项式和多项式统称为整式。

2.2整式的加减

同类项：

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。

与字母前面的系数（≠0）无关。

同类项必须同时满足两个条件：

（1）所含字母相同；

（2）相同字母的次数相同，二者缺一不可．同类项与系数大小、字母的排列顺序无关

合并同类项：

把多项式中的同类项合并成一项。

可以运用交换律，结合律和分配律。

合并同类项法则：

合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变；

字母的升降幂排列：

按某个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列。

如果括号外的因数是正（负）数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同（反）。

整式加减的一般步骤：

1、如果遇到括号按去括号法则先去括号.2、结合同类项.3、合并同类项

2.3整式的乘法法则:

单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式;

单项式和多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每项，再把所得的积相加。

多项式和多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

2.4整式的除法法则

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

第三章一元一次方程

3.1一元一次方程

方程是含有未知数的等式。

方程都只含有一个未知数（元）x，未知数x的指数都是1（次），这样的方程叫做一元一次方程注意判断一个方程是否是一元一次方程要抓住三点：

1）未知数所在的式子是整式（方程是整式方程）；

2）化简后方程中只含有一个未知数；

3）经整理后方程中未知数的次数是1.

解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解（solution）。

等式的性质：

1）等式两边同时加上或减去同一个数或同一个式子（整式或分式），等式不变（结果仍相等）.

2）等式两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式不变.

注意：

运用性质时，一定要注意等号两边都要同时变；运用性质2时，一定要注意0这个数.

3.2解一元一次方程

（一）----合并同类项与移项

一般步骤：

移项→合并同类项→系数化1；（可以省略部分）

了解无限循环小数化分数的方法，从而证明它是分数，也就是有理数。

3.3解一元一次方程

（二）----去括号与去分母

一般步骤：

去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）→去括号→移项→合并同类项→系数化1；

以上是解一元一次方程五个基本步骤，在实际解方程的过程中，五个步骤不一定完全用上，或有些步骤还需要重复使用.因此，解方程时，要根据方程的特点，灵活选择方法.在解方程时还要注意以下几点：

①去分母，在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项；分子是一个整体，去分母后应加上括号；去分母与分母化整是两个概念，不能混淆；

②去括号遵从先去小括号，再去中括号，最后去大括号不要漏乘括号的项；不要弄错符号；

③移项把含有未知数的项移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（移项要变符号）移项要变号；

④不要丢项合并同类项，解方程是同解变形，每一步都是一个方程，不能像计算或化简题那样写能连等的形式.

⑤把方程化成ax＝b（a≠0）的形式字母及其指数不变系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解不要分子、分母搞颠倒

3.4实际问题与一元一次方程

一．概念梳理

⑴列一元一次方程解决实际问题的一般步骤是：

①审题，特别注意关键的字和词的意义，弄清相关数量关系，

②设出未知数（注意单位），

③根据相等关系列出方程，

④解这个方程，

⑤检验并写出答案（包括单位名称）.

⑵一些固定模型中的等量关系：

①数字问题：

表示一个三位数，则有

②行程问题：

甲乙同时相向行走相遇时：

甲走的路程+乙走的路程=总路程

甲走的时间=乙走的时间；

甲乙同时同向行走追及时：

甲走的路程－乙走的路程=甲乙之间的距离

③工程问题：

各部分工作量之和=总工作量；

④储蓄问题：

本息和=本金+利息

⑤商品销售问题：

商品利润=商品售价－商品成本价=商品利润率×商品成本价或商品售价=商品成本价×（1+利润率）

⑥产油量=油菜籽亩产量X含油率X种植面积

二、思想方法（本单元常用到的数学思想方法小结）

⑴建模思想：

通过对实际问题中的数量关系的分析，抽象成数学模型，建立一元一次方程的思想.

⑵方程思想：

用方程解决实际问题的思想就是方程思想.

⑶化归思想：

解一元一次方程的过程，实质上就是利用去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等各种同解变形，不断地用新的更简单的方程来代替原来的方程，最后逐步把方程转化为x=a的形式.体现了化“未知”为“已知”的化归思想.

⑷数形结合思想：

在列方程解决问题时，借助于线段示意图和图表等来分析数量关系，使问题中的数量关系很直观地展示出来，体现了数形结合的优越性.

⑸分类思想：

在解含字母系数的方程和含绝对值符号的方程过程中往往需要分类讨论，在解有关方案设计的实际问题的过程中往往也要注意分类思想在过程中的运用.

三、数学思想方法的学习

1.解一元一次方程时，要明确每一步过程都作什么变形，应该注意什么问题.

2.寻找实际问题的数量关系时，要善于借助直观分析法，如表格法，直线分析法和图示分析法等.3.列方程解应用题的检验包括两个方面：

⑴检验求得的结果是不是方程的解；⑵是要判断方程的解是否符合题目中的实际意义.

第四章图形认识初步

4.1多姿多彩的图形

形状：

方的、园的等

几何图形大小：

长度、面积、体积等

位置：

相交、垂直、平行等

几何体也简称体（solid）。

包围着体的是面（surface）。

常见的立体图形（柱体、椎体、球体等各部分不都在一个平面内。

在一个平面内就是平面图形

展开图：

识记一些常用的展开图。

圆柱/圆锥的侧面展开图；

点线面体：

是组成几何图形的基本元素。

4.2直线、射线、线段

线段公理：

两点的所有连线中，线段做短（两点之间，线段最短）。

连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。

经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

两点确定一条直线。

4.3角

定义：

有公共端点的两条射线组成的图形叫角。

角的端点为顶点，两条射线为角的两边。

1度=60分1分=60秒1周角=360度1平角=180度

角的比较与运算

角的平分线：

如果两个角的和等于90度（直角），就说这两个叫互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角。

如果两个角的和等于180度（平角），就说这两个叫互为补角，即其中每一个角是另一个角的补角。

等角（同角）的补角相等。

等角（同角）的余角相等。

实际运用：

航海的坐标角度：

“上北下南左西右东”

.4.4设计制作长方形形状的包装纸盒

第五章　相交线与平行线

一、知识网络结构

二、知识要点

1、在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：

相交和平行，垂直是相交的一种特殊情况。

2、在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线。

如果两条直线只有一个公共点，称这两条直线相交；如果两条直线没有公共点，称这两条直线平行。

3、两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是

邻补角。

邻补角的性质：

邻补角互补。

4、两条直线相交所构成的四个角中，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角。

对顶角的性质：

对顶角相等。

5、两条直线相交所成的角中，如果有一个是直角或90°时，称这两条直线互相垂直，

其中一条叫做另一条的垂线。

性质1：

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

点到直线的距离：

直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离。

6、同位角、内错角、同旁内角基本特征：

①在两条直线（被截线）的同一方，都在第三条直线（截线）的同一侧，这样

的两个角叫同位角。

②在两条直线（被截线）之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，这样的两个角叫内错角。

③在两条直线（被截线）的之间，都在第三条直线（截线）的同一旁，这样的两个角叫同旁内角。

7、平行公理：

经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

平行公理的推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

平行线的性质：

性质1：

两直线平行，同位角相等。

性质2：

两直线平行，内错角相等。

性质3：

两直线平行，同旁内角互补。

性质4：

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

8、平行线的判定：

判定1：

同位角相等，两直线平行。

判定2：

内错角相等，两直线平行。

判定3：

同旁内角互补，两直线平行。

判定4：

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

9、判断一件事情的语句叫命题。

命题由题设和结论两部分组成，有真命题和假命题之分。

如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫真命题；如果题设成立，那么结论不一定成立，这样的命题叫假命题。

真命题的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫定理，它可以作为继续推理的依据。

10、平移：

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。

平移后，新图形与原图形的形状和大小完全相同。

平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。

平移性质：

平移前后两个图形中①对应点的连线平行且相等；②对应线段相等；③对应角相等。

第六章　实数

  【知识点一】实数的分类

 1、按定义分类：

   2.按性质符号分类：

注：

0既不是正数也不是负数.

【知识点二】实数的相关概念

1.相反数

（1）代数意义：

只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0.

（2）几何意义：

在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数，或数轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.

（3）互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0.

2.绝对值      |a|≥0．

3.倒数

（1）0没有倒数 

（2）乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数.

4.平方根

（1）如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a（a≥0）的平方根记作．

（2）一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a（a≥0）的算术平方根记作．

5.立方根

　　如果x3=a，那么x叫做a的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零．

【知识点三】实数与数轴

数轴定义：

规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．

【知识点四】实数大小的比较

　　1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.

　　2.正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而小.

　　3.无理数的比较大小：

【知识点五】实数的运算

1.加法

　　同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．

2.减法：

减去一个数等于加上这个数的相反数．

3.乘法

　　几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．

4.除法

　　除以一个数，等于乘上这个数的倒数．两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．

5.乘方与开方

（1）an所表示的意义是n个a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．

（2）正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．

　　（3）零指数与负指数

【知识点六】有效数字和科学记数法

1.有效数字：

一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．

2.科学记数法：

把一个数用（1≤＜10，n为整数）的形式记数的方法叫科学记数法．

第七章　平面直角坐标系

一、知识网络结构

二、知识要点

1、有序数对：

有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做（a,b）。

2、平面直角坐标系：

在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。

3、横轴、纵轴、原点：

水平的数轴称为x轴或横轴；竖直的数轴称为y轴或纵轴；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

4、坐标：

对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y轴上，对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标，记作P（a，b）。

5、象限：

两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向依次叫第二象限、第三象限、第四象限。

坐标轴上的点不在任何一个象限内。

6、各象限点的坐标特点

7、坐标轴上点的坐标特点

8、点P（a，b）到x轴的距离是|b|，到y轴的距离是|a|。

9、对称点的坐标特点①关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数；③关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数。

10、如果两个点的横坐标相同，则过这两点的直线与y轴平行、与x轴垂直；如果两点的纵坐标相同，则过这两点的直线与x轴平行、与y轴垂直。

如果点P（2，3）、Q（2，6），这两点横坐标相同，则PQ∥y轴，PQ⊥x轴；如果点P（-1，2）、Q（4，2），这两点纵坐标相同，则PQ∥x轴，PQ⊥y轴。

11、平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同；在一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相同；在二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数。

如果点P（a，b）在一、三象限角平分线上，则P点的横坐标与纵坐标相同，即a=b；如果点P（a，b）在二、四象限角平分线上，则P点的横坐标与纵坐标互为相反数，即a=－b。

12、表示一个点（或物体）的位置的方法：

一是准确恰当地建立平面直角坐标系；二是正确写出物体或某地所在的点的坐标。

选择的坐标原点不同，建立的平面直角坐标系也不同，得到的同一个点的坐标也不同。

13、图形的平移可以转化为点的平移。

坐标平移规律：

①左右平移时，横坐标进行加减，纵坐标不变；②上下平移时，横坐标不变，纵坐标进行加减；③坐标进行加减时，按“左减右加、上加下减”的规律进行。

第八章　二元一次方程组

一、知识网络结构

二、知识要点

1、含有未知数的等式叫方程，使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解。

2、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫二元一次方程，二元一次方程的一般形式为

（

为常数，并且

）。

使二元一次方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程的解，一个二元一次方程一般有无数组解。

3、方程组含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程组叫二元一次方程组。

使二元一次方程组每个方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程组的解，一个二元一次方程组一般有一个解。

4、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：

观察方程组中，是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数，如果有，则将它直接代入另一个方程中；如果没有，则将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数；再将表示出的未知数代入另一个方程中，从而消去一个未知数，求出另一个未知数的值，将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值。

5、用加减法解二元一次方程组的一般步骤：

（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使同一个未知数的系数相等或互为相反数；

（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数；（3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；（4）将求出的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值，从而得到原方程组的解。

6、解三元一次方程组的一般步骤：

①观察方程组中未知数的系数特点，确定先消去哪个未知数；②利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程，与另外两个方程分别组成两组，消去同一个未知数，得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组；③解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；④将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程中，求出第三个未知数的值，从而得到原三元一次方程组的解。

第九章　不等式与不等式组

一、知识网络结构

二、知识要点

1、用不等号表示不等关系的式子叫不等式，不等号主要包括：

＞、＜、≥、≤、≠。

2、在含有未知数的不等式中，使不等式成立的未知数的值叫不等式的解，一个含有未知数的不等式的所有的解组成的集合，叫这个不等式的解集。

不等式的解集可以在数轴上表示出来。

求不等式的解集的过程叫解不等式。

含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的不等式叫一元一次不等式。

3、不等式的性质：

①性质1：

不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

用字母表示为：

如果

，那么

；如果

，那么

；

如果

，那么

；如果

，那么

。

②性质2：

不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

用字母表示为：

如果

，那么

（或

）；如果

，那么

（或

）；

如果

，那么

（或

）；如果

，那么

（或

）；

③性质3：

不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

用字母表示为：

如果

，那么

（或

）；如果

，那么

（或

）；

如果

，那么

（或

）；如果

，那么

（或

）；

4、解一元一次不等式的一般步骤：

①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。

这与解一元一次方程类似，在解时要根据一元一次不等式的具体情况灵活选择步骤。

5、不等式组中含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的不等式组叫一元一次不等式组。

使不等式组中的每个不等式都成立的未知数的值叫不等式组的解，一个不等式组的所有的解组成的集合，叫这个不等式组的解集解（简称不等式组的解）。

不等式组的解集可以在数轴上表示出来。

求不等式组的解集的过程叫解不等式组。

6、解一元一次不等式组的一般步骤：

①求出这个不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，得到这个不等式组的解集。

如果这些不等式的解集的没有公共部分，则这个不等式组无解（此时也称这个不等式组的解集为空集）。

7、求出各个不等式的解集后，确定不等式组的解的口诀：

大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找。

第十章　数据的收集、整理与描述

知识要