高一同步讲义 线面垂直问题.docx
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高一同步讲义线面垂直问题
授课主题
线线,线面,面面垂直
教学目的
1.掌握线线,线面,面面垂直的判断定理。
2.掌握线线,线面,面面垂直的性质定理。
3.判断定理和性质定理的综合应用
教学重点
判断定理和性质定理的应用
教学内容
1.判断线面平行的两种常用方法
面面平行判定的落脚点是线面平行,因此掌握线面平行的判定方法是必要的,判定线面平行的两种方法:
(1)利用线面平行的判定定理;
(2)利用面面平行的性质,即当两平面平行时,其中一平面内的任一直线平行于另一平面.
[练一练]
1.a、b、c为三条不重合的直线,α、β、γ为三个不重合的平面,现给出四个命题
①
⇒α∥β②
⇒α∥β
③
⇒a∥α④
⇒α∥a
其中正确的命题是( )
A.①②③B.①④
C.②D.①③④
2.如图所示,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足条件______时,有MN∥平面B1BDD1.
一,
1.直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义:
直线l与平面α内的直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的都垂直,则该直线与此平面垂直
⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线
1.(2014·郑州模拟)设α,β分别为两个不同的平面,直线l⊂α,则“l⊥β”是“α⊥β”成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2.(2013·合肥模拟)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,有以下四个命题
①
⇒β∥γ ②
⇒m⊥β
③
⇒α⊥β ④
⇒m∥α
其中正确的命题是( )
A.①④B.②③
C.①③D.②④
3.如图,PA⊥⊙O所在平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,AE⊥PC,AF⊥PB,给出下列结论:
①AE⊥BC;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC,其中真命题的序号是________.
解决此类问题常用的方法
(1)依据定理条件才能得出结论的,可结合符合题意的图形作出判断;
(2)否定命题时只需举一个反例;
(3)寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选.
二,
[典例] (2013·重庆高考)如图,四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2
,BC=CD=2,∠ACB=∠ACD=
.
(1)求证:
BD⊥平面PAC;
(2)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC,求三棱锥PBDF的体积.
1.解答此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质,注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用,这是证明空间垂直关系的基础.
2.由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化,因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开,这是化解空间垂直关系难点的技巧所在.
[针对训练]
如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱C1D1的中点,F为棱BC的中点.
(1)求证:
直线AE⊥直线DA1;
(2)在线段AA1上求一点G,使得直线AE⊥平面DFG.
三,
[典例] (2013·山东高考)如图,四棱锥PABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.
(1)求证:
CE∥平面PAD;
(2)求证:
平面EFG⊥平面EMN.
1.两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形.
2.由平面和平面垂直的判定定理可知,要证明平面与平面垂直,可转化为从现有直线中寻找平面的垂线,即证明线面垂直.
3.平面和平面垂直的判定定理的两个条件:
l⊂α,l⊥β,缺一不可.
[针对训练]
已知侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,且AD=AA1,点F为棱BB1的中点,点M为线段AC1的中点.
(1)求证:
MF∥平面ABCD;
(2)求证:
平面AFC1⊥平面ACC1A1.
四,
空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点.归纳起来常见的命题角度有:
(1)以多面体为载体综合考查平行与垂直的证明.
(2)探索性问题中的平行与垂直问题.
(3)折叠问题中的平行与垂直问题.
角度一 平行与垂直关系的证明
1.(2013·广州惠州调研)如图所示,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为DD1,DB的中点.
(1)求证:
EF∥平面ABC1D1;
(2)求证:
CF⊥B1E.
角度二 探索性问题中的平行与垂直关系
2.如图,在四棱锥SABCD中,平面SAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,且P为AD的中点,Q为SB的中点,M为BC的中点.
(1)求证:
CD⊥平面SAD;
(2)求证:
PQ∥平面SCD;
(3)若SA=SD,在棱SC上是否存在点N,使得平面DMN⊥平面ABCD?
并证明你的结论.
角度三 折叠问题中的平行与垂直关系
3.如图1,在等腰梯形CDEF中,DE=CD=
,EF=2+
,将它沿着两条高AD,CB折叠成如图2所示的四棱锥EABCD(E,F重合).
(1)求证:
BE⊥DE;
(2)设点M为线段AB的中点,试在线段CE上确定一点N,使得MN∥平面DAE.
平行与垂直的综合应用问题的处理策略
(1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明,探索点存在问题,点多为中点或三等分点中某一个,也可以根据相似知识建点.
(2)折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系,尤其是隐含着的垂直关系.
:
1.如图1,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起,得到如图2所示的三棱锥ABCF,其中BC=
.
图1 图2
(1)证明:
DE∥平面BCF;
(2)证明:
CF⊥平面ABF;
(3)当AD=
时,求三棱锥FDEG的体积VFDEG.
2.如图,在三棱锥ABOC中,AO⊥平面COB,∠OAB=∠OAC=
,AB=AC=2,BC=
,D、E分别为AB、OB的中点.
(1)求证:
CO⊥平面AOB;
(2)在线段CB上是否存在一点F,使得平面DEF∥平面AOC,若存在,试确定F的位置;若不存在,请说明理由.
3.如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,点D在边BC上,AD⊥C1D.
(1)求证:
AD⊥平面BCC1B1;
(2)设E是B1C1上的一点,当
的值为多少时,A1E∥平面ADC1?
请给出证明.
:
方法有:
第Ⅰ卷:
夯基保分卷
1.在空间中,给出下面四个命题:
①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直;
②若平面外两点到平面的距离相等,则过两点的直线必平行于该平面;
③垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
④若两个平面相互垂直,则一个平面内的任意一条直线必定垂直于另一个平面内的无数条直线.
其中正确的命题是( )
A.①② B.②③
C.③④D.①④
2.(2014·南昌模拟)设a,b是夹角为30°的异面直线,则满足条件“a⊂α,b⊂β,且α⊥β”的平面α,β( )
A.不存在B.有且只有一对
C.有且只有两对D.有无数对
3.已知在空间四边形ABCD中,AD⊥BC,AD⊥BD,且△BCD是锐角三角形,则必有( )
A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABC
C.平面ADC⊥平面BDCD.平面ABC⊥平面BDC
4.如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为( )
A.
B.1
C.
D.2
5.如图所示,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
6.假设平面α∩平面β=EF,AB⊥α,CD⊥β,垂足分别为B,D,如果增加一个条件,就能推出BD⊥EF,现有下面四个条件:
①AC⊥α;②AC与α,β所成的角相等;③AC与BD在β内的射影在同一条直线上;④AC∥EF.
其中能成为增加条件的是________.(把你认为正确的条件序号都填上)
7.(2013·辽宁高考)如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点.
(1)求证:
BC⊥平面PAC;
(2)设Q为PA的中点,G为△AOC的重心.求证:
QG∥平面PBC.
8.(2013·北京高考)如图,在四棱锥PABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别为CD和PC的中点.求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
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