初一数学上册教案.docx
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初一数学上册教案
第一章有理数
§1.1正数和负数
知识点一:
正数和负数的概念
正数就是我们在小学学习的除0外的所有的数,负数就是在正数前面加上一个“-”号的数。
说明:
1、0既不是正数,也不是负数,它是正数与负数的分界。
2、正数有时也可以在前面加“+”(正)号,有时“+”(正)号省
略不写。
【例】下列各数中哪些是正数?
哪些是负数?
-2,0.5,+
,0,-3.14,160,-
.
知识点二:
用正负数可以表示具有相反意义的量
相反意义的量的正负性是相对的,且是可以互换的。
【例】如果向北走85米记作+85米,那么向南走70米记作。
知识规律小结:
1、区分正负数要根据正负数的概念,也可以根据符号区别,如果一个数的符号为“-”,则该数为负数;如果一个数的符号为“+”或没有符号,则该数为正数。
2、0既不是正数,也不是负数。
3、非正数:
负数和零。
4、非负数:
正数和零。
拓展:
向东走-6米实际上就是向走米。
易错:
零的意义是什么?
(零是正数与负数的分界,不仅仅表示没有,也表示实际意义。
如收支0元,表示收入与支出平衡。
§1.2有理数
第一课时有理数数轴
知识点一:
有理数的有关概念
整数和分数统称有理数。
正整数、零、负整数统称整数。
正分数、负分数统称分数。
说明:
1、有时可以把整数看作分母是1的分数。
2、因为有限小数、无限循环小数都可以化为分数,所以有限小数、无限循环小数都是有理数。
3、因为圆周率
是无限不循环小数,不能化成分数,所以圆周率
不是有理数。
4、引入负数后,数的范围扩大到了有理数,所以在整数和分数中不要忘记都有负数。
5、奇数和偶数也扩展到了负数。
知识点二:
有理数的分类
按整数、分数分类:
按正负性分类:
说明:
1、正整数和零,即自然数,称为非负整数,负整数和零称为非正整数。
2、前者是按除法的性质分类,后者是按减法的性质分类。
知识点三:
数集的概念
把一些数放在一起,就组成了一个数的集合,简称数集。
说明:
1、数集可以用大括号表示,也可以用圆圈表示。
2、一个数集内不能有两个一样的数。
3、一个数集内有无限多时,要用“…”号。
4、所有有理数组成的数集叫有理数集;所有整数组成的数集叫整数集;所有正数组成的数集叫正数集;所有正整数和零组成的数集叫自然数集,也叫非负整数集。
【例1】把-
,6,-6.5,0,-
,
,-7.210,0.0·3·1,-43,-5%填入相应的数集内。
【例2】在有理数中,是整数而不是正数的数是,
是负数而不是分数的数是。
拓展:
有A={3,2,0,4}、B={5,6,-5,0,2}、
C={-5,0,4,-2}三个数集,请把这些数填入对应
的三个圆圈内。
知识点四:
数轴的概念
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
如图:
说明:
1、数轴是一条直线,可以向两方无限延伸,画出的部分两边不要描点,以免画成射线或线段。
2、原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,一般取右为正方向,箭头画在最右端。
知识点五:
数轴的画法。
1、画一条水平的直线。
2、在直线上适当选取一点为原点。
3、确定向右为正方向,用箭头表示出来。
4、根据需要选取适当长度为单位长度,从原点向右、向左每隔一个单位长度取一点,依次标数。
说明:
三要素缺一不可,数轴是一条直线,不要画成射线或线段,单位长度一定要一致。
知识点六:
数轴上的点与有理数之间的关系。
1、所有的有理数都可以在数轴上的点来表示,但数轴上的点并不都表示有理数。
如
可以在数轴上表示,但
不是有理数。
2、正数可以用原点右边的点表示,反过来原点右边的点表示正数;负数可以用原点左边的点表示,反过来原点左边的点表示负数;0可以用原点表示,反过来原点表示0。
3、零是正数和负数的分界点。
【例1】在数轴上画出表示下列各数的点
4,-3,-1.5,
,0,0.5
【例2】如图,比较a,-a,b,-b,0的大小,并用“〈”连接。
拓展:
已知a为整数,且-1﹤a﹤3,则a=。
§1.2有理数
第二课时相反数
知识点一:
相反数的概念
相反数的代数意义:
只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
零的相反数是零本身。
相反数的几何意义:
在数轴上,位于原点两旁并且到原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数。
说明:
1、相反数总是成对出现的,只能两个数互为相反数,对一个数而言是谈不上互为相反数的。
2、只有是指除符号不同外,其他完全相同。
3、-a与a互为相反数,a的相反数是-a,-a的相反数是a。
【例】分别写出下列各数的相反数。
-3,2,4.5,0,
知识点二:
多重符号的化简方法
一个数前面是正号,可以把正号去掉;一个正数前面有偶数个负号,可以把负号一起去掉;一个正数前面有奇数个负号,则化简负号只剩一个负号。
【例】化简下列各数
-(-5)-(+2)-[-(-6)]+[-(-5)]
§1.2有理数
第三课时绝对值
知识点一:
绝对值
几何意义:
一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|。
代数意义:
正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0。
绝对值等于它本身的是正数与零,易漏掉零;绝对值等于它的相反数的数的负数与零,易漏掉零。
说明:
1、0既可以看作0本身,也可以看作是它的相反数。
2、数a的绝对值
3、无论是绝对值的几何意义,还是绝对值的代数意义,都揭示了一个绝对值的重要意义——非负性,即|a|≥0,也就是绝对值的最小值是0。
【例1】求下列各数的绝对值(略)
【例2】化简:
知识点二:
有理数大小的比较
比较有理数的大小的方法有两种:
1、利用数轴直观比较有理数的大小:
数轴上右边的数总比左边的数大。
2、利用绝对值的知识比较有理数的大小:
⑴正数大于0,负数小于0,正数大于负数。
⑵两个负数,绝对值大的反而小。
说明:
在数轴上比较有理数大小比较直观,一目了然,但比较麻烦;而绝对值比较有理数大小比较方便,一般都采用。
【例3】比较大小:
综合应用:
1、已知X是整数,且3﹤X≤5,则X=。
2、已知|m+2|+|n-3|=0,求m、n的值。
3、化简:
|X-3||X+2|+|X-5|
4、数a,b,c在数轴上的位置如图,化简
§1.3有理数的加减法
第一课时有理数的加法
知识点一:
有理数的加法法则
法则1、同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。
法则2、绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两数相加得0。
法则3、一个数同0相加,仍得这个数。
说明:
1、一个有理数由符号和绝对值两部分组成,法则1、2就是分别确定了和的符号和绝对值。
2、互为相反数的两数相加得0,反之,如果两数的和为0,那么这两个数互为相反数。
3、加法法则的第一步是确定和的符号,第二步是确定和的绝对值。
进行有理数的加法运算时,首先要确定用哪一条法则。
【例1】
知识点二:
有理数加法的运算律
1、交换律:
有理数加法中,两个数相加,交换加数的位置,和不变。
2、结合律:
有理数加法中,三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。
说明:
1、符号相同的或分母相同的先相加。
2、相加得0的或相加得整数的先相加。
运算符号和性质符号要分开,如3-(-4)中前一个“-”是运算符号,后一个“-”是性质符号。
【例2】
【例3】
§1.3有理数的加减法
第二课时有理数的减法
知识点一:
有理数减法法则
减去一个数,等于加上这个数的相反数。
即a-b=a+(-b)
说明:
在有理数减法中,利用相反数,减法可转化成加法。
【例1】
知识点一:
有理数的加减混合运算的步骤、
1、把有理数的减法运算统一成加法运算。
2、根据需要写成省略加号和括号的代数和的形式。
3、灵活运用有理数加法法则和加法运算律进行正确的、简便的计算。
说明:
1、统一加法后,括号和加号可以省略。
2、也可以利用符号化简直接简写。
3、读法:
-20+7+5-3读作“负20、正7、正5、负3”,或“负20加7加5减3”
【例2】
【例3】-3+5-7+91-18
综合应用:
1、-1+2-3+4-5+6-…-99+100
2、(-78)+(-77)+(-76)+(-75)+…+(+99)+(+100)
3、对于整数a、b、c、d,符号
,已知1﹤
﹤3,
则b+d的值是。
§1.4有理数的乘除法
第一课时有理数的乘法
知识点一:
有理数的乘法法则
法则1、两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。
法则2、任何数同零相乘都得零。
法则3、几个不是零的数相乘,负因数的个数是偶数个时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积是负数。
法则4、几个数相乘,如果其中有因数为0,则积等于0。
说明:
1、有理数乘法,要先根据负因数的个数确定符号,再把绝对值相乘。
2、在运算中要把小数化为分数,带分数化成假分数,便于约分。
【例1】(-2)×(-5)
【例2】1.2×(
)×(-2.5)×(
)
知识点二:
有理数的运算律
乘法交换律、结合律、乘法分配律仍适用于有理数乘法。
【例3】(-25)×39×(-4)-17×
×(-36)
知识点三:
项、项的系数、合并含有相同字母的项
项:
在含有字母的和的形式中,每个加数就是一项。
项的系数:
在字母与数字的乘积中,数字因数就是项的系数。
合并含有相同字母的项的法则:
只需将它们的系数相加,作为结果的系数,再乘以字母因式,即ax+bx=(a+b)x,其中x为字母因数,a,b分别为ax,bx的系数。
合并含有相同字母的项时要找准项民以及项的系数,千万别漏掉项的符号,不同字母的项不能合并。
【例4】5x-2x
综合应用:
1、若ab﹤0,-b﹥0,且|a|﹥|b|,则a+b0.(填上“﹥”“﹤”或“=”)
2、已知a,b,c为三个不等于0的数,且满足abc﹥0,a+b+c﹤0,求
的值.
3、已知a,b,c为三个均不等于0的有理数,化简
。
4、计算:
列项公式:
(a,b为自然数)
(a,b为自然数,且a﹤b)
§1.4有理数的乘除法
第二课时有理数的除法
知识点一:
倒数的概念
乘积是1的两个数互为倒数。
当a≠0时,a与
互为倒数;当m≠0,n≠0时,
与
互为倒数。
说明:
1、由倒数的意义可知,正数的倒数仍为正数,负数的倒数仍为负数。
2、在小学我们知道,1的倒数等于1,比1大的倒数比本身小,比1小的倒数比本身大。
数的范围扩大到了有理数,有:
-1的倒数等于-1,0~-1之间的数的倒数比本身小,小于-1的数倒数比本身大。
如图:
【例1】求下列各数的倒数
-4
0.125
知识点二:
有理数除法的法则
法则1:
除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数。
法则2:
两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数,都得0。
说明:
当两个数不能整除时,用法则1比较方便;当两个数能整除时,用法则2比较方便。
分数可以理解为分子除以分母。
【例2】
÷(
)36÷(-4)
【例3】
【例4】观察下列算式:
1!
=12!
=2×13!
=3×2×14!
=4×3×2×1……
计算:
=.
§1.5有理数的乘方
第一课时乘方
知识点一:
乘方的意义
定义:
求n个相同因数的积的运算叫做乘方。
读作a的n次方。
乘方的结果叫做幂,即an叫做幂,也读作“a的n次幂”。
a叫做底数,n叫做指数。
说明:
1、一个数可以看作是自身的一次方。
通常指数1省略不写。
2、指数是2时读作平方,指数是3时读作立方。
当底数是负数或分数时,底数要用括号,以免造成误解。
【例1】把下列各算式写成乘方的形式,并指出底数、指数各是多少?
(-5)×(-5)×(-5)×(-5)
×
×
×
×
知识点二:
乘方的法则
1、负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。
2、正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0。
说明:
1、互为相反数的两个数的奇数次幂仍然是相反数。
即:
若a+b=0,则a2n+1+b2n+1=0(n为自然数)
2、互为相反数的两个数的偶数次幂相等。
即:
若a+b=0,则a2n=b2n
【例2】计算
(-3)2-32(
)2
(-1)2003
2
知识点三:
有理数的混合运算顺序
1、先乘方,再乘除,最后加减。
2、同级运算,从左到右进行。
3、如有括号,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行。
【例3】计算
(-2)2×(-3)2-34×(
)4(-4)×(
)÷(
)-(
)3
综合应用:
1、如果规定一种新的运算“
”,定义a
b=a2-ab+a-1.
请根据“
”的定义,计算下列各题.
①3
6②(1
3)
(-3)
2、若a,b,c为有理数,且|a-b|19+|c-a|99=1,试化简:
|c-a|+|a-b|+|b-c|.
3、已知x、y互为倒数,且绝对值相等,求(-x)n-yn的值.这里n为正整数。
§1.5有理数的乘方
第二课时科学记数法、近似数和有效数字
知识点一:
科学记数法
把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a是整数数位只有一位的数,即1≤a≤10,n是正整数),这种记数方法叫做科学记数法。
【例1】5670000000000=5.67×1012
说明:
1、(n是正整数)
2、科学记数法的一般表示方法:
小数点向左移动几位,就乘10的几次方。
3、小于-10的数只考虑表示它的绝对值,再加“-”号。
知识点二:
科学记数法中的负指数
一般地,当a≠0时,n是正整数,
说明:
1、
2、科学记数法的一般表示方法:
小数点向右移动几位,就乘10的负几次方。
3、大于-1的数只考虑表示它的绝对值,再加“-”号。
【例2】0.0000000195=1.95×10-8
知识点三:
近似数和有效数字
一般地,一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。
一个近似数,从左边第一个非零数字起,到末位数字止,所有数字都是这个近似数的有效数字。
取近似数时,为了精确到某一位或保留一定的有效数字,要用科学记数法。
如38460(精确到百位)≈3.85×1043540000(保留两位有效数字)≈3.5×106
【例3】下列四舍五入得到的近似数各精确到哪一位?
各有几位有效数字
4.200.00224.5万3.05×104
【例4】用四舍五入法取下列各数的近似数。
0.507(精确到百分位)
86400(保留两个有效数字)
0.02866(精确到0.01)
1.99(精确到0.1)
§1.6章末总结
知识点一:
知识网络图示
知识点二:
专题总结及应用
一、正数和负数的意义
对于正数和负数这部分知识,单独考查时常以填空题、选择题为主,同时它又是有理数的基础知识,因此应牢固掌握。
1、气温是零下3℃记作()A-3B3C-3℃D3℃
2、食品包装袋上标有“净含量386±4克”,这包食品的合格净含量范围是-390克。
二、有理数的有关概念
有理数与数轴上的点的对应关系在中考题中经常出现,常见于比较大小的题型当中,要充分把握数轴的直观性,灵活运用数轴的性质,准确迅速解决问题,相反数是中考常考查的一个知识点。
单独考查时常以填空题、选择题为主:
绝对值在中考中也是经常出现,填空题、选择题及解答题中均有所涉及。
1、若|m+n|=-(m+n),则()Am+n>0Bm+n<0Cm+n=0Dm+n≤0
2、下列四个数中,在-2和1之间的数是()A-3B0C2D3
3、若a与2互为相反数,则|a+2|=.
三、有理数的运算
按照运算法则进行计算,要特别注意对符号的要求。
在运算前应先观察算式的结构,运算中尽可能多地运用运算律,使运算简便。
对于有理数运算的考查,中考中常把它与绝对值、数轴联系起来,理解运算法则并能灵活运用是至关重要的。
1、若
中的x、y都扩大到原来的5倍,则
=.
2、计算:
-9÷(
2
3、已知|x|=4,|y|=
且xy<0,则
的值等于.
4、1-2=.-3-2=.
四、非负数的性质
绝对值的非负性是中考中常考查的一个知识点,也是今后所学知识的基础,命题形式多样,多为填空题、选择题、还有解答题,主要考查学生对基础知识的把握和运用能力。
1、若m、n互为相反数,则|m-1+n|=.
2、已知(1-m)2+|n+2|=0,则m+n的值为.
五、科学计数法
科学计数法是中考的一个热点,考查中多与现实生活、热点事件相结合,命题形式一般是填空题和选择题。
1、党的十六大提出,全面建设小康社会就是使人均国民生产总值超过3000美元。
若100美元可兑换880元人民币,则3000美元兑换成人民币用科学计数法表示为.
2、10349保留到百倍约是.
六、探寻规律
探寻数学规律是中考考查中新增加的一类题型,主要考查学生阅读理解能力,解题时应抓住关键词和关键数据,从中寻求数字的规律,考查题型主要是选择题和填空题。
1、观察右图,在“?
”处填上适当的数。
2、观察下列等式:
12+2×1=1×(1+2),
22+2×2=2×(2+2),
32+2×3=3×(3+2),…,
则第n个等式可以表示为.
七、有理数运算的实际应用
有理运算的实际应用是指按照题目中的条件,列出相应的有理数加法、减法、乘法、除法、乘方或有理数混合运算的算式,然后应用有理数的相应法则以及运算律解决问题。
1、一批货物总重1.4×107㎏,下列可将其一次性运走的合适运输工具是().
A一艘万吨巨轮B一架飞机C一辆汽车D一辆板车
2、有8箱橘子,以每箱15千克为标准,超过的千克数记为正数,不足的千克数记为负数,现记录如下(单位:
千克):
1.2、-0.8、2.3、1.7、-1.5、-2.7、2、-0.2。
则这8箱橘子的总重量是多少?
第二章整式的加减
§2.1整式
观察下面的式子:
知识点一:
单项式
1、用字母表示数:
从具体的数字抽象到字母代替数,在认识上是一个飞跃。
用字母表示数,表示数的共同性质或法则,揭示一些普遍的规律,使形式上更简单,使用上更方便。
说明:
⑴用字母可以表示任何数。
⑵用字母表示实际问题中的某一数量时,字母的取值必须使这个问题有意义,并符合实际。
⑶在同一问题中,同一字母只能表示同一数量。
2、代数式:
数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。
一般地,用数值代替代数式里的字母,按照代数式的运算关系计算得出的结果,叫做代数式的值。
【例1】当a=2,b=-3时,求代数式3a2+5ab-4b2的值。
3、单项式:
由数和字母的积组成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的系数:
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
单项式的次数:
单项式中所有字母指数的和叫做这个单项式的次数。
说明:
数字的次数是0,单项式的系数是1或-1时,“1”通常省略不写。
【例2】单项式
的系数是,次数是.
单项式
的系数是,次数是.
知识点二:
多项式
多项式:
几个单项式的和叫做多项式。
多项式的项:
多项式中,每一个单项式叫做多项式的项。
常数项:
多项式中不含字母的项,叫做常数项。
多项式的次数:
在多项式里,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。
说明:
⑴多项式组成元素是单项式,如果一个代数式中某一项不是单项式,那么它也就不是多项式。
⑵多项式中含有字母的项是几次就叫几次项;一个多项式含有几项,就叫几项式,若一个多项式有m项,次数为n,则这个多项式就叫n次m项式。
【例3】下列各式中,哪些是单项式,哪些是多项式,并指出单项式及多项式的次数。
-2xy
2x2÷y
【例4】多项式5x-4xy2+3的系数是,次数是,它是次项式。
【例5】二次项系数为3,一次项系数为-2,常数项是-4的关于x的二次三项式
是.
知识点三:
多项式的排列
降幂排列:
把一个多项式按某个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列。
升幂排列:
把一个多项式按某个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列。
说明:
⑴这里的排列指按某一个字母的次数排列。
⑵排列时各项要带着符号移动位置。
⑶对含有两个以上字母的多项式,一般按其中的某一个字母的指数排列顺序。
【例6】将多项式-1+a+a2b-ab2+4a3分别按a的升幂和降幂进行排列。
知识点四:
整式
单项式和多项式统称为整式.
说明:
因为单项式和多项式都是代数式,所以整式也是代数式,但代数式不一定是整式。
综合应用:
1、多项式(a-4)x3-xb+x-b是关于x的二次三项式,求a与b的差的相反数。
2、(a-1)x3ya+1是关于x、y的六次单项式,试求下列代数式的值,并根据结果说说你有什么想法。
a2+2a+1(a+1)2
§2.2整式的加减
知识点一:
合并同类项
同类项:
所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
所有的常数项都是同类项。
说明:
判断同类项需要满足两个条件:
一是单项式所含的字母相同,二是相同字母的指数也相同,二者缺一不可。
【例1】下列各式哪些是同类项,说明理由。
a2b与-ab2xy2与3y2x5ab与6a2bm-n与n-m
【例2】如果单项式-3x2ym与
xny3是同类项,那么m-n=.
合并同类项:
把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项。
法则:
同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变。
【例3】合并同类项:
2x2-3x+4x2-6x-5
(2a-3b)2-(a-b)+3(2a-3b)2-4(a-b)
知识点二:
去括号和添括号的法则
去括号法则:
括号前面是“+”号,把括号连同它前面的“+”去掉,括号内各项不变符号。
括号前面是“-”号,把括号连同它前面的“-”去掉,括号内各项都改变符号。
添括号法则:
所添括号前面是“+”号,括在括号里的各项都不变符号。
所添括号前面是“-”号,括在括号里的各项都要改变符号。
【例4】先去括号,再合并同类项.
8a+2b-(5a-b)-2a-{4a-[(a-1)+3a]-2a}
6a-2(a-c)
(x-y)+
(x+y)-(x-y)+(x+y)
知识点二:
整式加减
整式的加减运算可归结为去括号、合并同类项。
几个整式相加减,通常用括号把每个整式括起来,再用加减号连接,然后去括号,合并同类项。
【例5】求2x2+xy+3y2与x2-xy+2y2的差。
【例6】先化简,再求值。
3(x2-2x-1)-4(3x-2)+2(x-1),其中x=-3
综合应用:
1、已知(a+2)2+|a+b-5|=0,求3a2b-[2a2b-(2ab-a2b)-4a2]-ab的值。
2、第一个多项式是x2-2xy+y2,第二个多项式比第一
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