三年高考数学文真题分类解析专题13等差与等比数列.docx
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三年高考数学文真题分类解析专题13等差与等比数列
考纲解读明方向
考点
内容解读
要求
常考题型
预测热度
1.等差数列及其性质
①理解等差数列的概念;
②掌握等差数列的通项公式与前n项和公式;
③能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题;
④了解等差数列与一次函数的关系
理解
选择题
填空题
★★★
2.等差数列
前n项和公式
掌握
选择题
填空题
★★★
分析解读1.理解等差数列的概念、等差数列的通项公式与前n项和公式.2.体会等差数列与一次函数的关系,掌握等差数列的一些基本性质.3.命题以求an,Sn为主,考查等差数列相关性质.4.本节内容在高考中主要考查数列定义、通项公式、前n项和公式及性质,分值约为5分,属中低档题.
考点
内容解读
要求
常考题型
预测热度
1.等比数列及其性质
①理解等比数列的概念;
②掌握等比数列的通项公式与前n项和公式;
③能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题;
④了解等比数列与指数函数的关系
理解
选择题
填空题
解答题
★★★
2.等比数列前
n项和公式
掌握
选择题
填空题
解答题
★★★
分析解读1.理解等比数列的概念、掌握等比数列的通项公式和前n项和公式.2.体会等比数列与指数函数的关系.3.求通项公式、求前n项和及等比数列相关性质的应用是高考热点.
2018年高考全景展示
1.【2018年文北京卷】】“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于
.若第一个单音的频率f,则第八个单音频率为
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】分析:
根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列,利用等比数列的相关性质可解.
详解:
因为每一个单音与前一个单音频率比为
,所以
,又
,则
,故选D.
点睛:
此题考查等比数列的实际应用,解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种:
(1)定义法,若
(
)或
(
),数列
是等比数列;
(2)等比中项公式法,若数列
中,
且
(
),则数列
是等比数列.
2.【2018年文北京卷】设
是等差数列,且
.
(Ⅰ)求
的通项公式;
(Ⅱ)求
.
【答案】(I)
(II)
【解析】分析:
(1)设公差为
,根据题意可列关于
的方程组,求解
,代入通项公式可得;
(2)由
(1)可得
,进而可利用等比数列求和公式进行求解.
点睛:
等差数列的通项公式及前
项和共涉及五个基本量
,知道其中三个可求另外两个,体现了用方程组解决问题的思想.
3.【2018年全国卷Ⅲ文】等比数列
中,
.
(1)求
的通项公式;
(2)记
为
的前
项和.若
,求
.
【答案】
(1)
或
(2)
【解析】分析:
(1)列出方程,解出q可得;
(2)求出前n项和,解方程可得m。
详解:
(1)设
的公比为
,由题设得
.由已知得
,解得
(舍去),
或
.
故
或
.
(2)若
,则
.由
得
,此方程没有正整数解.
若
,则
.由
得
,解得
.综上,
.
点睛:
本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式,属于基础题。
4.【2018年新课标I卷文】已知数列
满足
,
,设
.
(1)求
;
(2)判断数列
是否为等比数列,并说明理由;
(3)求
的通项公式.
【答案】
(1)b1=1,b2=2,b3=4.
(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.理由见解析.(3)an=n·2n-1.
【解析】分析:
(1)根据题中条件所给的数列
的递推公式
,将其化为an+1=
,分别令n=1和n=2,代入上式求得a2=4和a3=12,再利用
,从而求得b1=1,b2=2,b3=4.
(2)利用条件可以得到
,从而可以得出bn+1=2bn,这样就可以得到数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.(3)借助等比数列的通项公式求得
,从而求得an=n·2n-1.
点睛:
该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项,根据不同数列的项之间的关系,确定新数列的项,利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列,根据等比数列通项公式求得数列
的通项公式,借助于
的通项公式求得数列
的通项公式,从而求得最后的结果.
2017年高考全景展示
1.【2017浙江,6】已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【考点】等差数列、充分必要性
【名师点睛】本题考查等差数列的前
项和公式,通过公式的套入与简单运算,可知
,结合充分必要性的判断,若
,则
是
的充分条件,若
,则
是
的必要条件,该题“
”
“
”,故为充要条件.
2.【2017江苏,9】等比数列
的各项均为实数,其前
项的和为
已知
则
=▲.
【答案】32
【解析】当
时,显然不符合题意;
当
时,
,解得
,则
.
【考点】等比数列通项
【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时,有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具,应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时,经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
3.【2017课标1,文17】记Sn为等比数列
的前n项和,已知S2=2,S3=-6.
(1)求
的通项公式;
(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.
【答案】
(1)
;
(2)
,证明见解析.
【解析】
试题分析:
(1)由等比数列通项公式解得
,
;
(2)利用等差中项证明Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.
【考点】等比数列
【名师点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具,应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时,经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
4.【2017课标II,文17】已知等差数列
的前
项和为
,等比数列
的前
项和为
,
(1)若
,求
的通项公式;
(2)若
,求
.
【答案】(Ⅰ)
;(Ⅱ)当
时,
.当
时,
.
【解析】试题分析:
(1)根据等差数列及等比数列通项公式,表示条件,得关于公差与公比的方程组,解方程组得公比,代入等比数列通项公式即可,
(2)由等比数列前三项的和求公比,分类讨论,求公差,再根据等差前三项求和.
【考点】等差、等比数列通项与求和
【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时,有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具,应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时,经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
2016年高考全景展示
1.【2016高考新课标2文数】等差数列{
}中,
.
(Ⅰ)求{
}的通项公式;
(Ⅱ)设
,求数列
的前10项和,其中
表示不超过
的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
【答案】(Ⅰ)
;(Ⅱ)24.
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)题目已知数列{
}是等差数列,根据通项公式列出关于
,
的方程,解方程求得
,
,从而求得
;(Ⅱ)根据条件
表示不超过
的最大整数,求
,需要对
分类讨论,再求数列
的前10项和.
考点:
等差数列的性质,数列的求和.
【名师点睛】求解本题会出现以下错误:
①对“
表示不超过
的最大整数”理解出错;
2.【2016高考北京文数】(本小题13分)
已知
是等差数列,
是等差数列,且
,
,
,
.
(1)求
的通项公式;
(2)设
,求数列
的前n项和.
【答案】
(1)
(
,
,
,);
(2)
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)求出等比数列
的公比,求出
,
的值,根据等差数列的通项公式求解;
(Ⅱ)根据等差数列和等比数列的前
项和公式求数列
的前
项和.
试题解析:
(I)等比数列
的公比
,
所以
,
.
设等差数列
的公差为
.
因为
,
,
所以
,即
.
所以
(
,
,
,).
考点:
等差、等比数列的通项公式和前n项和公式,考查运算能力.
【名师点睛】1.数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数,是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲,数列的问题,最终归结为对数列通项的研究,而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}的通项.通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一;2.数列的综合问题涉及到的数学思想:
函数与方程思想(如:
求最值或基本量)、转化与化归思想(如:
求和或应用)、特殊到一般思想(如:
求通项公式)、分类讨论思想(如:
等比数列求和,
或
)等.
3.【2016高考四川文科】(本小题满分12分)
已知数列{
}的首项为1,
为数列
的前n项和,
,其中q>0,
.
(Ⅰ)若
成等差数列,求
的通项公式;
(Ⅱ)设双曲线
的离心率为
,且
,求
.
【答案】(Ⅰ)
;(Ⅱ)
.
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)已知
的递推式
,一般是写出当
时,
,两式相减,利用
,得出数列
的递推式,从而证明
为等比数列,利用等比数列的通项公式得到结论;(Ⅱ)先利用双曲线的离心率定义得到
的表达式,再由
解出
的值,最后利用等比数列的求和公式求解计算.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,
.
所以双曲线
的离心率
.
由
解得
.所以,
,
考点:
数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式
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- 三年 高考 数学 文真题 分类 解析 专题 13 等差 等比数列
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