河南中考数学一轮复习基础知识过关圆第2节与园有关的位置关系.docx
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河南中考数学一轮复习基础知识过关圆第2节与园有关的位置关系
第六章 圆
第二节 与圆有关的位置关系
【知识点总结与分析】
知识点一点与圆的位置关系
位置关系
图示
d与r的关系
(d表示点到圆心的距离,
r表示圆的半径)
圆内,如点A
d 圆上,如点B d=r 圆外,如点C d >r 知识点二直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 图示 d与r的关系 d d=r d >r 交点个数 有两个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 知识点三切线的性质与判定 1.定义 直线和圆只有一个公共点时,那么这条直线和圆相切,这个点叫做切点,这条直线叫做切线. 2.切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径. 推论: (1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; (2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 3.判定切线的方法 知识点四切线长定理 1.切线长 在经过圆外一点的圆的切线上,这个点和切点之间线段的长,叫做这个点到圆的切线长,如图,AP,BP即为切线长. 2.切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,如图,AP=BP;这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角,即∠APO=∠BPO= ∠APB. 知识点五圆与三角形 关系 三角形的外接圆 三角形的内接圆 图示 定义 经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,如图,⊙O即为△ABC的外接圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,如图,⊙O即为△ABC的内切圆 圆心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的 垂直平分线 的交点,即为这个三角形的外心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条角平分线的交点,它叫做三角形的内心 性质 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,即AO=BO=CO;特别地,直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点 三角形的内心到三角形三边距离相等,即DO=EO=FO 【经典例题与题型分类】 题型一切线的性质 例1 如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC=2,以斜边AB上的点O为圆心画圆,分别与AC,BC相切于点E,F,与AB分别相交于点G,H,且EH的延长线与CB的延长线交于点D,则CD的长为( C ) A.2 -1B.2 C. +1D.2 - 题型分析与方法总结: 与切线有关问题的计算方法 (1)常作辅助线: ①连接切点与圆心构造直角三角形;②连接切点与直径两端点,构造直角三角形. (2)线段问题: ①多应用圆周角、圆心角、弦和弧之间的关系,角与线段之间的相互转化;②常用勾股定理、三角形的相似或全等知识解答. (3)角度问题: 将所求角与圆心角或圆周角联系起来,进行等量转化,或注意特殊角的构造,如直径所对的圆周角为90°,和圆的半径相等的弦所对的圆心角为60°,切线与过切点的半径或直径所构成的角为90°. 【跟踪练习】 1.(2020南阳一模)如图,AB是⊙O的直径,弦CD与AB相交,连接CO,过点D作⊙O的切线,与AB的延长线交于点E,若DE∥AC,∠BAC=40°,则∠OCD的度数为( C ) A.65°B.30°C.25°D.20° 2.(2020南京一模)如图,AB是半圆O的弦,DE是直径,过点B的切线BC与⊙O相切于点B,与DE的延长线交于点C,连接BD,若四边形OABC为平行四边形,则∠BDC的度数为( B ) A.20.5°B.22.5°C.24°D.30° 3.(2020平顶山二模)如图,已知AB为半圆的直径,圆心为点O,C,E为半圆上的两个动点,且AE∥OC,过点C作⊙O的切线,交AE的延长线于点D,OF⊥AE于点F. (1)四边形OCDF的形状是矩形. (2)连接CE,填空: ①若 =k,则当k=1时,四边形AOCE为平行四边形; ②若四边形AOCE为菱形,四边形OCDF的面积为4 ,求直径AB的长. 解: 解法提示: ∵AE∥OC,OF⊥AE,∴∠OFE=∠COF=90°. ∵CD是⊙O的切线, ∴∠OCD=90°. ∴∠OFE=∠COF=∠OCD=90°, ∴四边形OCDF是矩形. 解: ①解法提示: 如图,连接CE,OE,∵OE=OA,OF⊥AE,∴AF=EF. ∵四边形AOCE为平行四边形,∴AE=OC, 又∵四边形OCDF是矩形,∴DF=OC. ∴AE=DF,即AF+EF=DE+EF, ∴AF=DE,∴AF=DE=EF,即 =1.∴k=1. ②∵四边形AOCE为菱形, ∴OC=EC=EO,∠ECO=∠CED=60°. ∵四边形OCDF是矩形, ∴∠D=90°,∠DCE=30°, ∴cos∠DCE= = ,∴CD= EC= OC. ∵S四边形OCDF=OC·CD= OC2=4 ,解得OC=2 , ∴AB=2OC=4 . 题型二切线的判定 例2 如图,⊙O的直径为AB,点C在圆周上,A向CD作垂线交CD于点D,连接AC,BC.若AC是∠DAB的平分线,求证: 直线CD是⊙O的切线. 【解析】利用角平分线的性质和等边对等角,可证得∠DAC=∠ACO,即可得到OC∥AD,由于AD⊥CD,那么OC⊥CD,由此得证. 证明: ∵AC是∠DAB的平分线, ∴∠DAC=∠BAC, ∵AO=CO,∴∠BAC=∠ACO, ∴∠DAC=∠ACO, ∴OC∥AD,∵AD⊥CD, ∴OC⊥CD, ∴直线CD是⊙O的切线. 题型分析与方法总结: 判定直线是切线的一般方法 (1)直线与圆有公共点: ①图中有90°角,利用等角代换、平行线的性质、三角形的全等或相似证明;②图中无90°角,先构造直角,直接证明或等量转化证明.(连半径,证垂直) (2)未知直线与圆的交点: 先通过圆心向直线作垂线,再证明.(作垂线,证半径) 【跟踪练习】 4.如图,在△ABC中,AB=AC,AB是⊙O的直径,边BC交⊙O于点D,作DE⊥AC于点E,延长DE和BA的延长线交于点F.求证: DE是⊙O的切线. 【解析】证明: 连接OD,AD, ∵AB是⊙O的直径,∴AD⊥BC, ∵AB=AC,∴∠ABC=∠C, ∵OB=OD,∴∠ABC=∠ODB, ∴∠C=∠ODB,∴OD∥AC, ∵DE⊥AC,∴OD⊥DE, ∴DE是⊙O的切线. 5.(2020平顶山一模)如图,AB是⊙O的直径,射线AM⊥AB于点A,点D在AM上,连接OD交⊙O于点E,过点D作DC=DA,交⊙O于点C(A,C不重合),连接BC,CE. (1)求证: CD是⊙O的切线; (2)若四边形OECB是菱形,⊙O的直径AB=2,求AD的长. 【解析】 (1)证明: 如图,连接OC, ∵AM⊥AB,∴∠OAD=90°. ∵OA=OC,OD=OD,DC=DA, ∴△OAD≌△OCD(SSS), ∴∠OCD=∠OAD=90°. ∴OC⊥CD,∴CD是⊙O的切线. (2)解: ∵四边形OECB是菱形, ∴OE=CE. 又∵OC=OE,∴OC=OE=CE. ∴△OCE是等边三角形, ∴∠CEO=60°. ∵CE∥AB,∴∠AOD=60°. 在Rt△OAD中,∠AOD=60°,AO= AB= ×2=1, ∴AD=AO·tan60°= . 【真题演练】 一切线的性质 1.(2013河南第7题,3分)如图,CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD于点G,直线EF与⊙O相切于点D,则下列结论中不一定正确的是( C ) A.AG=BGB.AB∥EFC.AD∥BCD.∠ABC=∠ADC 2.(2012河南第8题,3分)如图,已知AB是⊙O的直径,AD切⊙O于点A, = .则下列结论中不一定正确的是( D ) A.BA⊥DAB.OC∥AEC.∠COE=2∠CAED.OD⊥AC 3.(2011河南第10题,3分)如图,CB切⊙O于点B,CA交⊙O于点D,且AB为⊙O的直径,点E是 上异于点A,D的一点.若∠C=40°,则∠E的度数为40°. 4.(2020河南第20题,9分)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角,而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题,之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要,发明了一种简易操作工具——三分角器.图1是它的示意图,其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上,且AB的长度与半圆的半径相等;DB与AC垂直于点B,DB足够长. 使用方法如图2所示,若要把∠MEN三等分,只需适当放置三分角器,使DB经过∠MEN的顶点E,点A落在边EM上,半圆O与另一边EN恰好相切,切点为F,则EB,EO就把∠MEN三等分了. 为了说明这一方法的正确性,需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”,请补充完整,并写出“证明”过程. 已知: 如图2,点A,B,O,C在同一直线上,EB⊥AC,垂足为点B,AB=OB,EN切半圆O于点F. 求证: ∠1=∠2=∠3. 证明: ∵EB⊥AC,∴∠ABE=∠OBE=90°, ∵AB=OB,BE=BE, ∴△ABE≌△OBE(SAS),∴∠1=∠2. ∵EN切半圆O于点F,连接OF ∴OF⊥EF,又∵OB⊥EB且OF=OB, ∴EO平分∠BEF, ∴∠2=∠3,∴∠1=∠2=∠3. 5.(2018河南第19题,9分)如图,AB是⊙O的直径,DO⊥AB于点O,连接DA交⊙O于点C,过点C作⊙O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F. (1)求证: CE=EF. (2)连接AF并延长,交⊙O于点G. 填空: ①当∠D的度数为30°时,四边形ECFG为菱形; ②当∠D的度数为 22.5° 时,四边形ECOG为正方形. 【解析】 (1)证明: 连接OC,如图, ∵CE是⊙O的切线,∴OC⊥CE, ∴∠OCE=90°,即∠1+∠4=90°. ∵DO⊥AB,∴∠3+∠B=90°. ∵∠2=∠3,∴∠2+∠B=90°. ∵OB=OC,∴∠4=∠B, ∴∠1=∠2,∴CE=EF. (2)解法提示: ①∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠DCB=90°. ∵四边形ECFG是菱形, ∴CE=CF. 又∵CE=EF. ∴△ECF是等边三角形, ∴∠CFE=60°, ∴∠D=90°-∠CFE=30°. ②∵四边形ECOG是正方形, ∴∠CEF=45°, 又∵CE=EF, ∴∠EFC= (180°-45°)=67.5°, ∴∠D=90°-∠EFC=22.5°. 6.(2014河南第17题,9分)如图,CD是⊙O的直径,且CD=2cm,点P为CD的延长线上一点,过点P作⊙O的切线PA,PB,切点分别为点A,B. (1)连接AC,若∠APO=30°, 求证: △ACP是等腰三角形. (2)填空: ①当DP= cm时,四边形AOBD是菱形; ②当DP= cm时,四边形AOBP是正方形. 【解析】 (1)证明: ∵PA是⊙O的切线, ∴OA⊥PA, 在Rt△AOP中,∠AOP=90°-∠APO=90°-30°=60°, ∴∠ACP= ∠AOP= ×60°=30°, ∴∠ACP=∠APO, ∴AC=AP, ∴△ACP是等腰三角形. (2)解法提示: ①当四边形AOBD是菱形时,AO=AD, 又∵AO=OD, ∴△AOD是等边三角形, ∴∠AOD=60°, ∴OP=2OA=CD=2, ∴DP=OP-OD=1. ②易证△AOP≌△BOP,OA⊥AP, ∴∠AOP=∠BOP, 当四边形AOBP是正方形时,∠AOB=90°, ∴∠AOP=45°, ∴OP= OA= , ∴DP=OP-1= -1. △ACP是等腰三角形. 7.(2017河南第18题,9分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交AC边于点D,过点C作CF∥AB,与过点B的切线交于点F,连接BD. (1)求证: BD=BF; (2)若AB=10,CD=4,求BC的长. 【解析】证明: ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. ∵CF∥AB,∴∠ABC=∠FCB, ∴∠ACB=∠FCB,即CB平分∠DCF. ∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,即BD⊥AC. ∵BF是⊙O的切线,∴BF⊥AB. ∵CF∥AB,∴BF⊥CF,∴∠BFC=∠BDC=90°, 又∵BC=BC, ∴△BDC≌△BFC(AAS), ∴BD=BF. 解: ∵AB=AC=10,CD=4, ∴AD=AC-CD=10-4=6. 在Rt△ADB中,由勾股定理得BD= = =8, 在Rt△BDC中,由勾股定理得BC= = =4 .
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