大学《高等数学》知识点梳理全册.docx

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大学《高等数学》知识点梳理全册

大学高等数学知识点整理

公式，用法合集

极限与连续

一.数列函数:

1.类型:

（1）数列:

*;*

（2）初等函数:

（3）分段函数:

*;*;*

（4）复合（含）函数:

（5）隐式（方程）:

（6）参式（数一,二）:

（7）变限积分函数:

（8）级数和函数（数一,三）:

2.特征（几何）:

（1）单调性与有界性（判别）;（单调定号）

（2）奇偶性与周期性（应用）.

3.反函数与直接函数:

二.极限性质:

1.类型:

*;*（含）;*（含）

2.无穷小与无穷大（注:

无穷量）:

3.未定型:

4.性质:

*有界性,*保号性,*归并性

三.常用结论:

,,

,,,

四.必备公式:

1.等价无穷小:

当时,

;;;

;;;

;

2.泰勒公式:

（1）;

（2）;

（3）;

（4）;

（5）.

五.常规方法:

前提:

（1）准确判断（其它如:

）;

（2）变量代换（如:

）

1.抓大弃小,

2.无穷小与有界量乘积（）（注:

）

3.处理（其它如:

）

4.左右极限（包括）:

（1）;

（2）;;（3）分段函数:

,

5.无穷小等价替换（因式中的无穷小）（注:

非零因子）

6.洛必达法则

（1）先”处理”,后法则（最后方法）;（注意对比:

与）

（2）幂指型处理:

（如:

）

（3）含变限积分;

（4）不能用与不便用

7.泰勒公式（皮亚诺余项）:

处理和式中的无穷小

8.极限函数:

（分段函数）

六.非常手段

1.收敛准则:

（1）

（2）双边夹:

*,*

（3）单边挤:

***

2.导数定义（洛必达?

）:

3.积分和:

4.中值定理:

5.级数和（数一三）:

（1）收敛,（如）

（2）,

（3）与同敛散

七.常见应用:

1.无穷小比较（等价,阶）:

*

（1）

（2）

2.渐近线（含斜）:

（1）

（2）,（）

3.连续性:

（1）间断点判别（个数）;

（2）分段函数连续性（附:

极限函数,连续性）

八.上连续函数性质

1.连通性:

（注:

“平均”值:

）

2.介值定理:

（附:

达布定理）

（1）零点存在定理:

（根的个数）;

（2）.

第二讲:

导数及应用（一元）（含中值定理）

一.基本概念:

1.差商与导数:

;

（1）（注:

连续））

（2）左右导:

;

（3）可导与连续;（在处,连续不可导;可导）

2.微分与导数:

（1）可微可导;

（2）比较与的大小比较（图示）;

二.求导准备:

1.基本初等函数求导公式;（注:

）

2.法则:

（1）四则运算;

（2）复合法则;（3）反函数

三.各类求导（方法步骤）:

1.定义导:

（1）与;

（2）分段函数左右导;（3）

（注:

求:

及的连续性）

2.初等导（公式加法则）:

（1）,求:

（图形题）;

（2）,求:

（注:

）

（3）,求及（待定系数）

3.隐式（）导:

（1）存在定理;

（2）微分法（一阶微分的形式不变性）.

（3）对数求导法.

4.参式导（数一,二）:

求:

5.高阶导公式:

;;

;

注:

与泰勒展式:

四.各类应用:

1.斜率与切线（法线）;（区别:

上点和过点的切线）

2.物理:

（相对）变化率速度;

3.曲率（数一二）:

（曲率半径,曲率中心,曲率圆）

4.边际与弹性（数三）:

（附:

需求,收益,成本,利润）

五.单调性与极值（必求导）

1.判别（驻点）:

（1）;;

（2）分段函数的单调性

（3）零点唯一;驻点唯一（必为极值,最值）.

2.极值点:

（1）表格（变号）;（由的特点）

（2）二阶导（）

注

（1）与的匹配（图形中包含的信息）;

（2）实例:

由确定点“”的特点.

（3）闭域上最值（应用例:

与定积分几何应用相结合,求最优）

3.不等式证明（）

（1）区别:

*单变量与双变量?

*与?

（2）类型:

*;*

*;*

（3）注意:

单调性端点值极值凹凸性.（如:

）

4.函数的零点个数:

单调介值

六.凹凸与拐点（必求导!

）:

1.表格;（）

2.应用:

（1）泰勒估计;

（2）单调;（3）凹凸.

七.罗尔定理与辅助函数:

（注:

最值点必为驻点）

1.结论:

2.辅助函数构造实例:

（1）

（2）

（3）

（4）;

3.有个零点有个零点

4.特例:

证明的常规方法:

令有个零点（待定）

5.注:

含时,分家!

（柯西定理）

6.附（达布定理）:

在可导,,,使:

八.拉格朗日中值定理

1.结论:

;（）

2.估计:

九.泰勒公式（连接之间的桥梁）

1.结论:

;

2.应用:

在已知或值时进行积分估计

十.积分中值定理（附:

广义）:

[注:

有定积分（不含变限）条件时使用]

第三讲:

一元积分学

一.基本概念:

1.原函数:

（1）;

（2）;（3）

注

（1）（连续不一定可导）;

（2）（连续）

2.不定积分性质:

（1）;

（2）;

二.不定积分常规方法

1.熟悉基本积分公式

2.基本方法:

拆（线性性）

3.凑微法（基础）:

要求巧,简,活（）

如:

4.变量代换:

（1）常用（三角代换,根式代换,倒代换）:

（2）作用与引伸（化简）:

5.分部积分（巧用）:

（1）含需求导的被积函数（如）;

（2）“反对幂三指”:

（3）特别:

（*已知的原函数为;*已知）

6.特例:

（1）;

（2）快速法;（3）

三.定积分:

1.概念性质:

（1）积分和式（可积的必要条件:

有界,充分条件:

连续）

（2）几何意义（面积,对称性,周期性,积分中值）

*;*

（3）附:

）

（4）定积分与变限积分,反常积分的区别联系与侧重

2:

变限积分的处理（重点）

（1）可积连续,连续可导

（2）;;

（3）由函数参与的求导,极限,极值,积分（方程）问题

3.公式:

（在上必须连续!

）

注:

（1）分段积分,对称性（奇偶）,周期性

（2）有理式,三角式,根式

（3）含的方程.

4.变量代换:

（1）,

（2）（如:

）

（3）,

（4）;,

（5）,

5.分部积分

（1）准备时“凑常数”

（2）已知或时,求

6.附:

三角函数系的正交性:

四.反常积分:

1.类型:

（1）（连续）

（2）:

（在处为无穷间断）

2.敛散;

3.计算:

积分法公式极限（可换元与分部）

4.特例:

（1）;

（2）

五.应用:

（柱体侧面积除外）

1.面积,

（1）

（2）;

（3）;（4）侧面积:

2.体积:

（1）;

（2）

（3）与

3.弧长:

（1）

（2）

（3）:

4.物理（数一,二）功,引力,水压力,质心,

5.平均值（中值定理）:

（1）;

（2）,（以为周期:

）

第四讲:

微分方程

一.基本概念

1.常识:

通解,初值问题与特解（注:

应用题中的隐含条件）

2.变换方程:

（1）令（如欧拉方程）

（2）令（如伯努利方程）

3.建立方程（应用题）的能力

二.一阶方程:

1.形式:

（1）;

（2）;（3）

2.变量分离型:

（1）解法:

（2）“偏”微分方程:

;

3.一阶线性（重点）:

（1）解法（积分因子法）:

（2）变化:

;

（3）推广:

伯努利（数一）

4.齐次方程:

（1）解法:

（2）特例:

5.全微分方程（数一）:

且

6.一阶差分方程（数三）:

三.二阶降阶方程

1.:

2.:

令

3.:

令

四.高阶线性方程:

1.通解结构:

（1）齐次解:

（2）非齐次特解:

2.常系数方程:

（1）特征方程与特征根:

（2）非齐次特解形式确定:

待定系数;（附:

的算子法）

（3）由已知解反求方程.

3.欧拉方程（数一）:

令

五.应用（注意初始条件）:

1.几何应用（斜率,弧长,曲率,面积,体积）;

注:

切线和法线的截距

2.积分等式变方程（含变限积分）;

可设

3.导数定义立方程:

含双变量条件的方程

4.变化率（速度）

5.

6.路径无关得方程（数一）:

7.级数与方程:

（1）幂级数求和;

（2）方程的幂级数解法:

8.弹性问题（数三）

第五讲:

多元微分与二重积分

一.二元微分学概念

1.极限,连续,单变量连续,偏导,全微分,偏导连续（必要条件与充分条件）,

（1）

（2）

（3）（判别可微性）

注:

点处的偏导数与全微分的极限定义:

2.特例:

（1）:

点处可导不连续;

（2）:

点处连续可导不可微;

二.偏导数与全微分的计算:

1.显函数一,二阶偏导:

注:

（1）型;

（2）;（3）含变限积分

2.复合函数的一,二阶偏导（重点）:

熟练掌握记号的准确使用

3.隐函数（由方程或方程组确定）:

（1）形式:

*;*（存在定理）

（2）微分法（熟练掌握一阶微分的形式不变性）:

（要求:

二阶导）

（3）注:

与的及时代入

（4）会变换方程.

三.二元极值（定义?

）;

1.二元极值（显式或隐式）:

（1）必要条件（驻点）;

（2）充分条件（判别）

2.条件极值（拉格朗日乘数法）（注:

应用）

（1）目标函数与约束条件:

（或:

多条件）

（2）求解步骤:

求驻点即可.

3.有界闭域上最值（重点）.

（1）

（2）实例:

距离问题

四.二重积分计算:

1.概念与性质（“积”前工作）:

（1）,

（2）对称性（熟练掌握）:

*域轴对称;*奇偶对称;*字母轮换对称;*重心坐标;

（3）“分块”积分:

*;*分片定义;*奇偶

2.计算（化二次积分）:

（1）直角坐标与极坐标选择（转换）:

以“”为主;

（2）交换积分次序（熟练掌握）.

3.极坐标使用（转换）:

附:

;;

双纽线

4.特例:

（1）