高等数学2下册试题答案以及复习要点汇总.docx
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高等数学2下册试题答案以及复习要点汇总
高等数学2(下册)试题答案以及复习要点汇总(完整版)
高等数学
(2)试题答案以及复习要点汇总
一.选择题(每题3分,共15分)
231.设f(x,y)具有一阶连续偏导数,若f(x,x)=x,fx(x,x)=x-2x,则
2fy(x,x)=[A]224
(A)x+x3;(B)2x2+2x4;(C)x2+x5;(D)2x+2x2。
解:
选A。
f(x,x2)=x3两边对x求导:
fx(x,x2)+fy(x,x2)×2x=3x2,将fx(x,x2)=x2-2x4代入得
x2-2x4+2xfy(x,x2)=3x2,故fy(x,x2)=x+x3。
2.已知(axy3-y2cosx)dx+(1+bysinx+3x2y2)dy为某二元函数的全微分,则a和b的值分别为[C]
(A)–2和2;(B)–3和3;
(C)2和–2;(D)3和–3;
解:
选C。
¶Q¶P=bycosx+6xy2==3axy2-2ycosxb=-2,a=2¶x¶y
3.设∑为曲面z=2-(x2+y2)在xoy平面上方的部分,则I=òòzdS=[D]
S
(A)òdqò2p
(B)ò0
(C)ò0
。
02p2p(D)ò02p(2-r+4rrdr;dqò(2-r+4rrdr;dqò(2-r)rdr;dqò(2-r1+4rrdr2-r222022202202220
解:
选D。
I=òdqò02p20(2-r2+4r2rdr。
4.设有直线L:
íìx-y-4z+1=0,曲面z=x2-y2+z2在点(1,1,1)处的切平面Õ,则îx+y-3=0
考试日期:
2007年7月9日星期一高等数学
(2)期末B卷答案及评分标准120分钟第1页共65页
直线L与平面P的位置关系是:
[C]
(A)LÌÕ;(B)L//Õ;(C)L^Õ;(D)L与Õ斜交。
解:
选C。
ijkv曲面F(x,y,z)=x2-y2+z2-z=0在L的方向向量s=1-1-4={4,-4,2},
110
v¶F¶F¶Fvv点(1,1,1)处的切平面Õ的法向量n=,,(1,1,1)={2,-2,1}。
由于n//s,¶x¶y¶z
因此L^Õ。
225.设f(x,y)=x+2y+y+x-y+1,则下面结论正确的是[B]
11(A)点(-,-)是f(x,y)的驻点且为极大值点;22
11(B)点(-,-)是极小值点;22
(C)点(0,0)是f(x,y)的驻点但不是极值点;
(D)点(0,0)是极大值点。
。
解:
选B。
二.填空题(每题3分,共15分)
1.设z=ln(xy),则x
解:
1¶z¶z+y=。
¶x¶y1或。
zln(xy)
y(x2+y2)u=e2.函数,则du=。
)[2xydx+(x2+3y2)dy]。
y=4ìï3.曲线íx2+y2在点(2,4,5)处的切线方程。
z=ï4î
x-2y-4z-5解:
切线方程。
==101
32234.设L是圆周x2+y2=a2(a>0)负向一周,则曲线积分(x-xy)dx+(xy-y)dy=_______。
L解:
du=ey(x2+y2
考试日期:
2007年7月9日星期一高等数学
(2)期末B卷答案及评分标准120分钟第2页共65页
解:
曲线积分(x-xy)dx+(xy-y)dy=-
3
2
2
3
L
pa4
2
。
5.交换二次积分的次序:
òdy0
1
2-y2y
f(x,y)dx=。
2
2-x2
解:
òdy0
1
2-y2f(x,y)dx=òdxò
1
x2
f(x,y)dy+òdxò
1
f(x,y)dy。
三.求解下列各题(每题8分,共16分)
¶2z¶z
1.设z=f(esiny,x+y),f具有二阶连续偏导数,求及。
¶y¶x¶y
¶zx
=ecosy×f1+2yf2(2分)
¶y¶z
=exsiny×f1+2xf2(2分)¶x¶2z
=excosy×f1+exsiny×(f11excosy+2yf12)+2x(f21excosy+2yf22)¶x¶y
(2分)=excosy×f1+f11e2xsinycosy+2yexsinyf12+2xf21excosy+4xyf22
x
2
2
=excosy×f1+e2xsinycosy×f11+2ex(xcosy+ysiny)f12+4xyf22(2分)
xy
2.设函数F(x,y)具有一阶连续偏导数,z=z(x,y)是由方程F(,)=0所确
zz
¶z¶z
定的隐函数,试求表达式x+y。
¶x¶y
xy
解法一:
方程F(,)=0两端对x求导:
zz
z-xzxyzxzF1zF2
F-F=0Þz=z=,同理可求,6分)12xy22
zzxF1+yF2xF1+yF2
¶z¶z
Þx+y=z。
(2分)
¶x¶y
xy111
解法二:
令u(x,y,z)=F(,),则ux=F1,uy=F2,uz=-2[xF1+yF2],
zzzzz
(3分)
uyuzF2zF1
(3分),zy=-=于是,zx=-x=
uzxF1+yF2uzxF1+yF2
考试日期:
2007年7月9日星期一高等数学
(2)期末B卷答案及评分标准120分钟第3页共65页
Þx¶z¶z+y=z(2分)¶x¶y
四.计算下列各题(每题8分,共32分)
1.计算积分I=
x2+y2£x+yòò(x+y)dxdy。
解:
极坐标:
令x=rcosq,y=rsinq,则
I=òpdqò-43p4sinq+cosq0r2(sinq+cosq)dr(3分)
3p14(sinq+cosq)4dq(2分)=òp3-4
14p(1+sin2q+sin22q)dq=(3分)=òp3-42
3p
2.计算三重积分òòòzdv,其中W为曲面z=2-x2-y2及z=x2+y2所围成的闭
W
区域。
解:
联立W的两曲面方程,得交线:
x2+y2=1,(z=1);
投影柱面:
x2+y2=1;W在xoy面的投影域为:
Dxy:
x2+y2£1(z=0),用柱面坐标:
W:
0£r£1,0£q£2p,r2£z£2-r2,(2分)
2p12-r2
òòòzdv=òòòz×rdrdqdz==òWW0dqòdrò20rr×zdz(2分)
=2p×òrdr×12-r2-r4(2分)02
17p(2分)=p×ò(2r-r3-r5)dr=0121()
3.计算曲线积分
解:
设ò(eLxsiny-8ydx+excosy-8dy,其中L是由点A(a,0)到点22)()O(0,0)的上半圆周x+y=ax(y³0,a>0)P(x)=exsiy-n8y,Q(x)=excoy-s8,由格林公式得到¶Q¶P-=excosy-excosy+8=8¶x¶y
L+OA(exsiny-8ydx+excosy-8=)(¶Q¶Pöç)òòæç¶x-¶y÷÷dxdy=8òòèøDDdxdy=pa2(4分)
考试日期:
2007年7月9日星期一高等数学
(2)期末B卷答案及评分标准120分钟第4页共65页
I=
L+OA-OA
Sòæ¶Q¶Pö=òòçç¶x-¶y÷÷dxdy-ò=øDèOAòò8dxdy-0=paD2(4分)4.计算òò(x+y+z)dS,其中曲面S为球面x2+y2+z2=a2上z³h(0 分。 解: 曲面S的方程为z=a-x2-y2,其在xoy坐标面上的投影区域D为: x2+y2£a2-h2, +(zx)2+(zy)2=a a-x2-y2 D,(3分)a-x2-y2dsòòS(x+y+z)dS=òò(x+y+a-x2-y2) =òòa(x+y) a2-x2-y2Dds+òòDads(3分)由积分区域和被积函数的对称性得òòa(x+y) a2-x2-y2Dds=0,且 òòads=ap(a-h), 所以òò(x+y+z)dS=ap(aDS222-h2)。 (2分) 1n五.(8分)求幂级数å(n+)x的和函数,并求数项级数nn=1 ¥¥n2+11n()的和。 ån2n=1¥n2+1n¥n¥1nx=ånx+åx(2分)解: ånn=1n=1n=1n ¥¥1n-1=xånx+åxn n=1n=1n =xå(x)¢+åòxn-1dx(2分)n n=1n=10¥¥x x11=x(-1)¢+ò01-x1-x x-ln(1-x)(-1 1取x=,得2 n2+11n()=2+ln2。 (2分)ån2n=1¥ 六.(8分)求解微分方程y¢¢-3y¢+2y=e(1-2x)。 考试日期: 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第5页共65页x 解: 对应齐次微分方程的特征方程为: r2-3r+2=0(2分) 故特征根r1=1,r2=2,从而齐次微分方程的通解为: =C1ex+C2e2x(2分)令非齐次方程特解为: y*=xex(Ax+B) 代入方程解得A=B=1,于是特解为 y*=xex(x+1)(2分) 则原方程通解为: y=+y*=C1ex+C2e2x+xex(x+1。 (2分) 七.(6分)某企业生产甲、乙两种产品,其销售单价分别为10万元/件、9万元/件,若生产x件甲产品和y件乙产品的总成本为C=400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)(万元),又已知两种产品的总产量为100件,试建立这一问题的数学模型,并分析两种产品的产量各为多少时企业获得最大利润。 解: 因为企业获得的总利润G应为总收入R=10x+9y与总成本C之差,因此这一问题的数学模型应描述如下: maxG=10x+9y-400-2x-3y-0.01(3x2+xy+3y2)(3分)s..tx+y=100 这是有条件极值问题,利用Lagrange乘数法,令 L(x,y,l)=10x+9y-400-2x-3y-0.01(3x2+xy+3y2)+l(x+y-100) 求L对各个变量的偏导数,并令它们都等于0,得 ìLx=10-2-0.06x-0.01y+l=0ïíLy=9-3-0.06y-0.01x+l=0(3分)ïîLl=x+y-10=0 解上述方程组得到唯一驻点(70,30),依题意知所求最大利润一定存在。 故当产品甲产量为70件,产品乙产量为30件时企业获得最大利润。 二.选择题(每题3分,共15分) ìxy22,x+y¹0ï221.函数f(x,y)=íx+y在原点(0,0)处间断,是因为: [] ï0,x2+y2=0î (A)函数f(x,y)在原点无定义;(B)函数f(x,y)在原点无极限; (C)在原点极限存在,但该点无定义;(D)在原点极限存在,但不等于它的函数值。 考试日期: 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第6页共65页 选B。 2.曲面e-z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面方程是: [] (A)2x+y-4=0;(B)2x+y-z-4=0; (C)x+2y-4=0;(D)2x+y-5=0。 选C。 x2+y2 3.旋转抛物面z=1+在1£z£2部分的曲面面积S为: []2z (A) (C) x2+y2£2òò-x2-y2dxdy;(B)(D)x2+y2£2òò+x2+y2dxdy;+x2+y2dxdy。 x2+y2£4òò-x2-y2dxdy;x2+y2£4òò 选B。 4.若幂级数åa n=1¥n的收敛半径是2,则的收敛半径为: [](2x)axånnnn=1¥ (A)2;(B)1; (C)2;(D)4。 选D。 2xt5.若连续函数f(x)满足f(x)=òf()dt+ln2,则f(x)等于[]02 (A)e2xln2;(B)exln2; 2x(C)e+ln2;(D)e 选A。 二.填空题(每题3分,共15分) 2x+ln2。 ¶z¶z+x=。 ¶x¶y ¶f1¶f¶fx¶fx+)dx+(x-2)dy。 2.设z=f(u,v)可微,其中u=xy,v=,dz=(y¶uy¶v¶uy¶vy1.设z=y+f(u),其中u=x-y,f(u)为可微函数,则y2 考试日期: 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第7页共65页 ìx2+y2 pïz=3.曲线í4在点(2,4,5)处的切线与x轴所夹锐角a=。 ïy=4î 4.交换二次积分的次序: 222òdyò0222yy2f(x,y)dx=òdxòxf(x,y)dy。 024x5.若S为x+y+z=R的外侧,且cosa,cosb,cosg是其外法线向量的方向余弦,则注: xcosa+ycosb+zcosg=。 222x+y+zSxcosa+ycosb+zcosg=222x+y+zS 1 R21xdydz+ydzdx+zdxdy=2RS1433dV=´3´R=2òòòR3V 三.求解下列各题(每题8分,共16分) ¶2z¶2z¶2z,1.设z=f(xy,y),其中f具有二阶连续偏导数,求2,。 ¶x¶x¶y¶y2 ¶z¶z=yf1¢,=xf1¢+f2¢,,(2分)解: ¶x¶y ¶2z2¢¢(2分)=yf112¶x ¶2z¢¢+f12¢¢)(2分)=f1¢+y(xf11¶x¶y ¶2z¢¢+f12¢¢)+xf21¢¢+f22¢¢=x2f11¢¢+2xf12¢¢+f22¢¢(2分)=x(xf112¶y 2.设xu-yv=0,yu+xv=1,求¶u¶v22和(已知x+y¹0)。 ¶x¶x 解: 将所给方程两边对x求导并移项,得 ¶vì¶ux-y=-u,ïï¶x¶x(4分)íïy¶u+x¶v=-v,ï¶xî¶x 22由已知x+y¹0,可得 考试日期: 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第8页共65页 -u-y ¶u-vxxu+yv==-2,(2分)2x-y¶xx+y yx x-u ¶vy-vyu-xv==2。 (2分)2¶xx-yx+y yx 四.计算下列各题(每题8分,共32分) 1.计算二重积分2222x+y£a(a>0)。 ,其中: (x+y)dxdyDòòD 解: 利用极坐标变换 òò(x+y) D2dxdy=òò(rcosq+rsinq)rdrdq(3分)D2 =òr3drò(1+2sinqcosq)dq(3分)00a2p 1=pa4(2分)2 2.计算三重积分òòòWx2+y2+z2dv其中W为球面x2+y2+z2=z所围成的闭区域。 解: 应用球面坐标计算。 x2+y2+z2=z即为r2=rcosjÞr=cosj,则 òòò =Wx+y+zdv=ò2p2222p0pdqò2djò0cosj0r2×rsinjdr(3分)1dqò2sinjcos4jdj(3分)004 p=-1×1×2p×cos5j2=p(2分)0pò4510 3.计算Lex2+y2222ds,其中L为圆周x+y=a(a>0),直线y=x及x轴在第一象限 (2分)0a 考试日期: 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第9页共65页 弧AB: x=acost,y=asint,0£t£所以òÇe AB x2+y2 p4 ,xt¢2+yt¢2=a, p ds=ò4eaadt=aea p 4 ;(2分) 2 线段OB: 所以ò综上, y=x,0£x£ e x2+y2 a a2 2x ,+y¢x=2, 2dx=ea-1。 (2分) OB ds= ò0 2 e x L e x2+y2 ds=ea(2+ ap )-2。 (2分)4 2 4.计算曲面积分 òò S zdxdy+xdydz+ydzdx,其中S是柱面x +y2=1被平面z=0及z=3所 截得的在第一卦限(2分)同理,曲面S在xoy坐标面上的投影区域Dxz为0£x£1,0£z£3, òò S ydxdz= òò Dxz -x2dxdz=dz 0òò 31 -x2dx=3× p 4 ;(2分) 故,òòzdxdy+xdydz+ydzdx=2·3× S p 4 = 3p 。 (2分)2 x2n-1 五.(8分)求幂级数å(-1 2n-1n=1 ¥ 1 å2n- 12 n=1 ¥ n 的 和。 解: 在(-1,1)上,令 352n-1¢2n-1¢¥¥¥2n-1¥æöæöxxxx1(3分)x2n-2s(x)=x+++L=å¢ç÷ç÷,s(x)===x=çå2n-1÷åç2n-1÷å1-x2n=12n-1n=1èèn=1øøn=1 上式两边积分得: x2n-1 =s(x)=å2n-1n=1 ¥ 11ln1+x(-1 å 1n=12n-12 ¥ =å n =1 ¥ 1 (2n-1) (2) 2n-1+1 = 1 1=lnæ1ö÷sç=ç÷2è2ø 1 ) (2分) 考试日期: 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第10页共65页 六.(8分)求微分方程y¢¢+y¢+sin2x=0满足初始条件yx=p=1,y¢x=p=1的特解。 解: 对应齐次微分方程的特征方程为: 故特征根 因r2+r=0r1=0,r2=-1从而齐次微分方程的通解为: (2分)=c1+c2e-x(2分)2i不是特征根,故可令非齐次方程特解为: y*=Acos2x+Bsin2x 11代入方程解得A=,B=于是原方程通解为: 105 11y=c1+c2e-x+cos2x+sin2x(2分)105 3p3代入初始条件得c2=-e,c1=52 33p-x11所以满足初始条件的特解为: y=-ee+cos2x+sin2x。 (2分)25105 七.(6分)证明: Ledx+xdy=2py2,其中L是4x2+y2=8x正向一周。 解: 因曲线为封闭曲线,P,Q满足Green公式条件,从而直接应用Green公式有: ¶Q¶Py2-)dxdy=òò(1-2ye)dxdy(2分)原式=òò(¶x¶yDD y=òòdxdy-òò2yedxdy(1分) DD2 =p×1×2-0(2分)=2p(1分) 高等数学试卷1 考试日期: 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第11页共65页 考试日期: 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第12页共65页 考试日期: 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第13页共65页 考试日期 : 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第14页共65页 考试日期: 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第15页共65页 考试日期: 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第16页共65页 考试日期 : 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第17页共65页 高等数学2 考试日期: 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第18页共65页 考试日期: 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第19页共65页 考试日期: 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第20页共65页 考试日期: 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第21页共65页 考试日期: 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第22页共65页 考试日期: 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第23页共65页 高等数学试卷3 考试日期: 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第24页共65页 考试日期: 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第25页共65页 考试日期: 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第26页共65页 考试日期: 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第27页共65页 考试日期: 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第28页共65页 高等数学试卷4 考试日期 : 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第29页共65页 考试日期: 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第30页共65页 考试日期: 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第31页共65页 考试日期: 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第32页共65页 考试日期: 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第33页共65页 考试日期: 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第34页共65页 高等数学试卷 5 考试日期: 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第35页共65页 考试日期: 2007年7月9日星期一高等数学 (2)期末B卷答案及评分标准120分钟第36页共65页
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