多元函数的偏导数和全微分.docx
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多元函数的偏导数和全微分
6.2多元函数的偏导数和全微分
6.2.1偏导数的概念与计算
1.偏导数定义
对于二元函数z
f(x,y),如果只有自变量
x变化而自变量
y固定
这时它就是
x
的一元函数
这函数对
x的导数
就称为二元函数
zf(x,y)对于x的偏导数。
定义:
设函数z
f(x,y)在点(x0
0
0
0
处
y)的某一邻域内有定义
当y固定在y而x在x
有增量x时
相应地函数有增量
f(x0
x,y0)
f(x0,y0)
如果极限lim
f(x0
x,y0)
f(x0,y0)
则称此极限为函数
z
f(x,y)在点(x0
0
x
存在
x
z
y0)处对x的偏导数记作:
x
xx
,f
0
x
yy0
xx0
,zxxx0,或fx(x0,y0)。
yy0
yy0
即:
fx(x0,y0)
f(x0
x,y0)f(x0,y
0)
lim
x
x0
类似地,函数z
f(x,y)在点(x00
处对y的偏导数定义为:
y)
lim
f(x0,y0y)
f(x0,y0)
0
y
y
记作:
z
y
xx0
,f
yy0
y
xx0
,zy
xx0,或fy(x0,y0)。
yy0
yy0
偏导函数:
如果函数z
f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在
那
么这个偏导数就是
x、y的函数
它就称为函数z
f(x,y)对自变量x的偏导函数
记作
z,
f,zx,或fx(x,y)。
x
x
偏导函数的定义式:
fx(x,y)
lim
f(xx,y)
f(x,y)
x0
x
类似地可定义函数z
f(x,y)对y的偏导函数
记为
z
f
(x,y)。
y
zy,或fy
y
偏导函数的定义式:
fy(x,y)lim
f(x,y
y)
f(x,y)
y
0
y
2.偏导数的计算
求f时只要把y暂时看作常量而对x求导数;求f时只要把x暂时看作常量而对
xy
y求导数。
讨论:
下列求偏导数的方法是否正确?
fx(x0,y0)
fx(x,y)xx0,fy(x0
y0)
fy
(x,y)xx0,
yy0
yy0
fx(x0,y0)[df(x,y0)]xx0
,fy(x0
y0)[df(x0,y)]
yy0。
dx
dy
偏导数的概念还可推广到二元以上的函数
uf(xyz)在点(xy
z)处对x的偏导
数定义为
fx(x,y,z)
lim
0
f(xx,y,z)
f(x,y,z)
x
x
其中(xyz)是函数u
f(x
y
z)的定义域的内点
它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题
例1求zx23xyy2在点(12)处的偏导数
解
z
2x3y
z3x2y
z
x121328
z
x131227
x
y
x
y2
y
y2
例2求zx2sin2y的偏导数。
解
z
2xsin2y;z2x2cos2y。
x
y
例
3设z
xy(x
0,x1)求证
证
z
yxy1
z
xylnx
x
y
xz
1
zxyxy1
1xylnx
yx
lnx
y
y
lnx
x
z
1
z2z
y
x
lnx
y
xyxy2z
例4
求r
x2
y2
z2的偏导数。
解
r
x
x;r
y
y。
x
x2
y2
z2r
y
x2
y2
z2
r
例5
已知理想气体的状态方程为
pV=RT(R为常数)
求证
p
V
T
1
V
T
p
证因为p
RT
p
RT
V
V
V2
V
RT
V
R
p
T
p
T
pV
T
V
R
p
R
所以
p
V
T
RT
RV
RT
1
V
T
p
V2
pR
pV
例5
说明的问题
偏导数的记号是一个整体记号
不能看作分子分母之商。
3.偏导数的几何意义
一元函数在某点处的导数从几何上看表示曲线在该点处的切线斜率,那么二元函数的偏导在几何上表示什么呢?
我们知道,二元函数
zzf(x,y)在空间中表示一曲面,在(x0,y0)处对x求偏导
时把y看成常量,这时z是关于x的一元函数,所以
z
(x,y
)
表示曲面z
f(x,y)与平面y
y0的交线在
x
0
0
(x0,y0)处沿x轴正向的切线斜率(如图).同理,
z
y
(x0,y0)表
示曲面在该点处沿y轴正向的切线斜率.
4.偏导数与连续性
对于多元函数来说即使各偏导数在某点都存在也不能保证函数在该点连续例如
xy
x2y2
0
f(x,y)
x2y2
x2y2
0
0
在点(0
0)有fx(0
0)0fy(00)
0
但函数在点(00)并不连续
提示:
f(x,0)
0f(0,y)
0
fx(0,0)
d[f(x,0)]
0fy(0,0)
d[f(0,y)]0
dx
dy
当点P(xy)沿x轴趋于点(0
0)时有
lim
f(x,y)
lim
f(x,0)lim0
0
(x,y)(0,0)
x
0
x0
当点P(x
y)沿直线ykx趋于点(00)时有
lim
xy
lim
kx2
k
1k2
(x,y)
(0,0)x2y2
x
0x2k2x2
y
kx
因此limf(x,y)不存在故函数f(xy)在(00)处不连续
(x,y)(0,0)
6.2.2全微分
1.全微分的定义
根据一元函数微分学中增量与微分的关系有
偏增量与偏微分:
f(xx,y)f(x,y)fx(x,y)x,
f(xx,y)f(x,y)为函数对x的偏增量fx(x,y)xfx(xy)x为函数对x的偏微分
f(x,yy)f(x,y)fy(x,y)y,
f(x,yy)f(x,y)为函数)对y的偏增量,fy(x,y)y为函数对y的偏微分。
全增量:
zf(xx,yy)f(x,y)
计算全增量比较复杂我们希望用x、y的线性函数来近似代替之
定义如果函数zf(xy)在点(xy)的全增量
zf(xx,yy)f(x,y)
可表示为
zAxByo()((x)2(y)2)
其中A、B不依赖于x、y而仅与x、y有关则称函数zf(xy)在点(xy)可微分而称
AxBy为函数zf(xy)在点(xy)的全微分记作dz即
dzAxBy
如果函数在区域D内各点处都可微分那么称这函数在D内可微分
2.可微与连续
可微必连续但偏导数存在不一定连续
这是因为
z
于是lim
0
如果zf(xy)在点(xy)可微则
f(xxyy)f(xy)AxByo()
z0
从而limf(xx,yy)lim[f(x,y)z]f(x,y)
(x,y)(0,0)0
因此函数zf(xy)在点(xy)处连续
3.可微条件
定理1(必要条件)
如果函数zf(xy)在点(xy)可微分则函数在该点的偏导数z、z必定存在且函数
xy
zf(xy)在点(x
y)的全微分为:
dz
zx
z
y。
x
y
证设函数zf(x
y)在点P(x
y)可微分
于是对于点P
的某个邻域内的任意一点P
(xxyy)
有z
AxByo(
)特别当
y0时有
f(x
xy)
f(xy)Axo(|x|)
上式两边各除以
x,再令x
0而取极限,就得
lim
f(x
x,y)
f(x,y)
A
x
0
x
从而偏导数
z存在
且z
A
x
x
同理可证偏导数
z存在
且z
B
y
y
所以:
dz
z
x
z
y
x
y
偏导数
z、
z存在是可微分的必要条件
但不是充分条件
x
y
xy
x2
y2
0
f(x,y)
x2
y2
例如,函数
在点(0
0)处虽然有
fx(00)0及fy(0
1x2y20
2)0(00)不可微分即z[fx(00)xfy(00)y]不是较高阶的无穷小这是因为当(xy)沿直线yx趋于(00)时
z
[fx(0,0)
xfy(0,0)
y]
xy
xx
1
0
(x)2(y)2
(x)2(x)2
2
定理2(充分条件)
如果函数zf(x
y)的偏导数
z、
z在点(x
y)连续
则函数在该点可微分
x
y
定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数
按着习惯
x、y分别记作dx、dy并分别称为自变量的微分
zf(xy)的全微分可
写作
dz
zdx
zdy
x
y
二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理
叠加原理也适用于二元以上的函数
例如函数u
f(xy
z)的全微分为
du
udx
udy
udz
x
y
z
例1
计算函数zx2yy2的全微分
解因为
z
2xy
z
x22y
x
y
所以dz2xydx(x22y)dy
例2计算函数z
exy在点(2
1)处的全微分
解因为
z
yexy
z
xexy
x
y
zx
2
e2
z
x2
2e2
xy
1
yy1
所以
dze2dx2e2dy
例3计算函数u
x
siny
eyz的全微分
2
解因为
u
1
u
1cosy
zeyzu
yeyz
x
y
2
2
z
所以du
dx
(1cosy
zeyz)dy
yeyzdz
22
*二、全微分在近似计算中的应用
当二元函数zf(x
y)在点P(x
y)的两个偏导数fx(x
y)fy(x
y)连续
并且|x||y|都较
小时
有近似等式
z
dz
fx
(x
y)xfy(x
y)
y
即
f(x
xy
y)
f(x
y)fx(xy)
x
fy(x
y)
y
我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算
例4
有一圆柱体
受压后发生形变
它的半径由20cm增大到20
05cm高度由100cu
减少到99cm求此圆柱体体积变化的近似值
解
设圆柱体的半径、高和体积依次为
r、h和V
则有
V
r2h
已知r
20h100
r0
05
h
1
根据近似公式
有
VdVVrVh2rhrr
2
h
r
h
2201000
05
202
(
1)
200(cm3)
即此圆柱体在受压后体积约减少了
200
cm3
例5
计算(104)2
02的近似值
解
设函数f(xy)xy
显然
要计算的值就是函数在
x104
y202时的函数值f(104
202)
取x1y2x004y002由于
f(x
x
y
y)
f(x
y)fx(xy)
x
fy(x
y)
y
xyyxy1xxylnxy
所以
(104)202122
121
00412ln1
002
108
例6
利用单摆摆动测定重力加速度
g的公式是
g42lT2
现测得单摆摆长
l与振动周期T分别为l=100±0.1cm、T=2±0.004s.问由于测定l与T的误差
而引起g的绝对误差和相对误差各为多少?
解
如果把测量l
与T所产生的误差当作|
l|与|T|,则利用上述计算公式所产生的误差
就是二元函数
g
42l
的全增量的绝对值
|g|.
|l||
T|都很小因此我们可以用
dg来近似
T2
地代替
g这样就得到g的误差为
|g||dg||gl
gT|
l
T
|
g|l
|g|
T
l
T
4
2(1
l
2lT)
T2
T3
其中l
与
T
为l与T的绝对误差把l=100
T=2,
l
T
的绝对误差
=0.1,
δ=0.004代入上式得g
约为
g42(0.121000.004)
2223
0.5
2
4.93(cm/s2).
g
0.5
2
0.50
0
g
42
100
22
z=f(x,y),
如果自变量x、y的绝对误差分别为
x、y,即
|x|
x,
|
y
|y,
则z的误差
|z||dz||
z
x
x
z
y
y|
|
z||x
x|
|
z||y||y
z|
x
x
|
z|
y
y
从而得到z的绝对误差约为
z|
z|
x
x|
z|
y
y
zz的相对误差约为
z
z
z
x
x
y
y
|z|
z
z
6.2.3方向导数
1.方向导数的定义
现在我们来讨论函数zf(xy)在一点P沿某一方向的变化率问题
设l
是xOy平面上以
P0(x0
y0)为始点的一条射线
el
(cos
cos)是与
l同方向的单位向
量射线l的参数方程为
xx0
tcos
yy0
tcos
(t0)
设函数z
f(xy)在点P
(x
0
y)的某一邻域U(P)内有定义
P(x
0
tcos
y
0
tcos)为l上
0
0
0
另一点
且P
U(P0)
如果函数增量f(x0
tcosy0tcos)f(x0y0
)与P到P0
的距离|PP0|t
的比值
f(x0
tcos
y0
tcos
)f(x0,y0)
t
当P沿着l趋于P0(即tt0
)时的极限存在
则称此极限为函数
f(x
y)在点P0沿方向l的方
向导数
记作
f
即
l
(x0,y0)
f
lim
f(x0
tcos
y0
tcos
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