1997考研数三真题及解析.docx
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1997考研数三真题及解析
(1)
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上•)
(1)
设y=f(Inx)ef(X),其中f可微,则dy=
1J211
若f(X)=+"-xLf(x)dx,则Lf(x)dx=
差分方程yt屮-yt=t2t的通解为
若二次型f(xi,x2,x3)=2x2+x2+X3+2x^2+tX2x3是正定的,则t的取值范围是
设随机变量X和丫相互独立且都服从正态分布N(0,32),而X1^|,X9和Y,,川,Y)分
别是来自总体X和丫的简单随机样本,则统计量II=X1十川坯^服从
>/丫2+出+丫92
分布(2分),参数为
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
若f(―X)=f(X)(虫
内有
(A)
(D)
+«2+«3,2^-302+22^3,牡烛2-5^3
(A)AB=BA
(B)
存在可逆矩阵P,使p'ap=b
(C)存在可逆矩阵C,使CTAC=B
(D)
存在可逆矩阵P和Q,使PAQ=B
(5)设两个随机变量X与丫相互独立且同分布:
1
P{x=-1}=P{y=_1}=—,P{x=1}
2
1
=P{丫=1}=—,则下列各式中成立的是
2
1
(A)P{X=丫}=
2
1
(C)P{x+丫=0}=-
4
(B)
(D)
P{X=丫}=1
1
p{XY=1}=-
4
三、(本题满分6分)在经济学中,称函数
1
Q(x)=A[6K」+(1-GL」r
为固定替代弹性生产函数,而称函数
为Cobb-Douglas生产函数(简称C—D生产函数).
试证明:
但XT0时,固定替代弹性生产函数变为
C—D生产函数,即有
limQ(x)=Q
四、(本题满分5分)
设U=f(x,y,z)有连续偏导数,
y=y(x)和Z=z(x)分别由方程exy—y=0和
Xdu
e-xz=0所确定,求——dx
五、(本题满分6分)
商家销售某种商品的价格满足关系
p=7-0.2x(万元/吨),x为销售量(单位:
吨),
商品的成本函数C=3x+1(万元).
(1)若每销售一吨商品,政府要征税
(2)t为何值时,政府税收总额最大.
t(万元),求该商家获最大利润时的销售量;
六、(本题满分6分)
F(x)」抄
0,
七、(本题满分6分)
从点R(1,0)作X轴的垂线,交抛物线y=x2于点Qi(1,1);再从Qi作这条抛物线的切线
与X轴交于F2,然后又从F2作X轴的垂线,交抛物线于点Q2,依次重复上述过程得到一系列的点R,Qi;R,Q2;|i|;Pn,Qn;H|.
(1)求opn;
⑵求级数QiP+Q2F2+|||+QnPn+|||的和.
其中n(n>1)为自然数,而M4M2表示点M1与M2之间的距离.
八、(本题满分6分)
设函数f(t)在[0,上连续,且满足方程
JJf(gjx2+y2)dxdy,
x24y2纟t22
求f(t).
01「Aa]
aHAb],
(1)计算并化简PQ;
(2)证明:
矩阵Q可逆的充分必要条件是Ba"Hb.
十、(本题满分10分)
设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3;矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别是
S=(—1,—1,1)T,®=(1,—2,—1)T.
(1)求A的属于特征值3的特征向量;
⑵求矩阵A.
卜一、(本题满分7分)
11
假设随机变量X的绝对值不大于1;P{X=_1}=—,P{X=1}=—;在事件
84
{-1cX€1}出现的条件下,X在(—1,1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长
度成正比.试求X的分布函数F(x)=P{X 5分钟、25分钟和55分钟 十二、(本题满分6分) 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光;电梯于每个整点的第 从底层起行.假设一游客在早晨八点的第X分钟到达底层候梯处,且X在[0,60]上均匀分 布,求该游客等候时间的数学期望十三、(本题满分6分) 两台同样自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布;首先开动其中 一台,当其发生故障时停用而另一台自行开动. 试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差. 1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.) 1 (1)【答案】ef(x)[—r(lnx)+f'(x)f(Inx)]dx x 【解析】题目考察复合函数的微分法,利用链式法则计算如下: 由y=f(Inx)ef(x)可知 1 dy=f'(lnx)ef(x)dx+f(lnx)ef(x)f'(x)dxx 1 =ef"X)[—f'(lnX)+f'(X)f(lnXJdx. x (2)【答案】 4一兀 1 【分析】本题中 ■Lf(x)dx是个常数,只要定出这个数问题就解决了 -^+aJ1-x2,两边从0到1作定积分得 1+x2 解得A= 4一兀 【评注】本题主要考查定积分的概念和计算.本题中出现的积分J0「dx表示单位圆在第一象限部分的面积,可直接根据几何意义求得.考生务必注意这种技巧的应用. (3)【答案】%=C+壮-2)2七 【解析】对应的齐次差分方程是yt十-yt=0,显然有不恒等于零的特解yt=1. 因方程的右端函数f(t)=t2t,可设非齐次差分方程的特解有形式 /=(AttB)/ 代入方程得(At+2A+B)2^t2t,t=0,1,2,川.由于2^0,于是 At+2A+B=t,t=0,1,2,HI. 可确定A=1,B=-2,即非齐次差分方程有一个特解是y=(t-2)2t. 从而,差分方程的通解是yt=C+(t-2)2t. (4)【答案】一42 【解析】二次型f(x-i,x2,x3)对应的矩阵为 t_ 2 因为f正定二A的顺序主子式全大于零 <72. 故f正定二1-1tS-0,即一J2ct 2 ⑸【答案】t分布,参数为9 【解析】由X1,|||,X9是来自总体 X的简单随机样本,故xjH,X9独立,且都服从正态 分布N(0,32).类似有Y,,lil,Y9相互独立,且都服从正态分布N(0,32). 又因服从正态分布的独立随机变量的线性组合也服从正态分布,即 X'=X1+Ili+X9~N(巴b2). 其中P=E(X)=E(X1+H|+X9),b2=D(X)=D(X1+||i+X9). 由期望的性质,卩=E(X)=E(X1+川+X9)=EX1+EX2+111+EX9=0; 由独立随机变量方差的性质,CT2=D(X)-DCXr+IH+X9)=DX1+H)+DX9=81, 故X'~N(0,92). 因Y,lli,Y9~N(0,32),故Y^~N(0,1),(i=12川,9),所以, 3 9 YW izi X'-0 X*_0由t分布的定义,现已有X'~N(0,92),将其标准化得一~N(0,1),故占~t(9). 9咫 【相关知识点】1.数学期望的性质: E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c,其中a,b,c为 常数. 2.方差的性质: X与丫相互独立时,D(aX+bY+c)=a2D(X)+b2D(Y),其中a,b,c为常 3.分布的定义: 若乙,H|,Zn相互独立,且都服从标准正态分布N(0,1),则 n Zi2"2 (1),2: Sn). 2Z—u 4.若Z~N(u,b2),则N(0,1). c 2X 5.t分布的定义: 若X~N(0,1),Y~/2(n),X,Y独立,则T=——~t(n). 二、选择题合题目要求 (1)【答案】 (本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符,把所选项前的字母填在题后的括号内) (B) 故应选(B). 阶可导,则 F(t)=P(t)f〔P(t)]—a'(t)卄fa(t)】. 2.无穷小的比较: 设在同一个极限过程中,a(x),P(x)为无穷小且存在极限 (1)若丨K0,称a(X),p(x)在该极限过程中为同阶无穷小; 记为a(X川P(x); ⑵若I=1,称a(X),P(x)在该极限过程中为等价无穷小 ⑶若丨=0,称在该极限过程中a(x)是P(X)的高阶无穷小,记为a(x)=0(P(x)). 若lim: (x)不存在(不为乂),称a(X),P(x)不可比较.P(x) ⑵【答案】(C) 【解析】题目考察抽象函数的凹凸性和单调性的问题 方法1: 由f(—x)=f(X)(亠,垃)知,f(x)的图形关于y轴对称.由在(―吟0)内, f'(x): >0且f"(x)<0知,f(x)的图形在(-2,0)内单调上升且是凸的;由对称性知,在 (0^)内,f(x)的图形单调下降,且是凸的,所以应选(C). 方法2: 由f(_x)=f(x)可知一f'(_x)=f'(X),f"(-X)=f"(X). 当x€(0,+^)时,_x€(=,0),此时由题设知f'(-x)>0,f"(-x)<0,则 f'(x)c0,f”(x)<0,xJ0,邑), 故应选(C). 方法3: 排除法.取f(X)=-X2,易验证f(X)符合原题条件,计算可知(A)、(B)、(D)三个选 项均不正确,故应选(C). 方法4: 由题设可知f(x)是一个二阶可导的偶函数,则f'(X)为奇函数,f"(X)为偶函数,又 在(虫,0)内f(X)>0,f"(X)<0,则在(0,母)内f'(x)<0,f"(x)<0,故应选(C). (3)【答案】(C) 【分析】这一类题目最好把观察法与(际內』3)=(%,口2,口32技巧相结合. 【解析】对于(A),(%+ot2)—©2十叫)中©3—%)=0,即存在一组不全为零的数1, -1,1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知%+02,02+^3,^3-%线性相关,排除(A); 对于(B),(%+(/2)中©2+5)-(%+2^2+口3)=0,即存在一组不全为零的数 -1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知ctj+Ot2^2+a.Ct 1+2%+^3线性相关,排除 (B); 对于(C),简单的加加减减得不到零,就不应继续观察下去 而应立即转为计算行列式.设 有数ki,k2,k3,使得 ki(%+2^2)栋2(202+3^3)栋3(%+3^ )=0, k+kg=0 已知些,02,03线性无关,上式成立,当且仅当<2k1+2k2=0 3k2+3k3: =0 因①的系数行列式 =12H0,故①有唯一零解,即ki=k2 C=12h0,则C可逆,故两向量组是等价向量组,由%,02,03线性无关知%+2^2, 2^2+3^3,3^3+%线性无关. ⑷【答案】(D) 【解析】方法1: 用排除法.任意两个同阶可逆矩阵不具备乘法的交换律,不一定相似,也 不一定合同. 例如,若a=K^^卜彳;10],由于特征值不同,故不相似,又对应二次型的正、负 惯性指数不同,故也不合同,(B)、(C)不成立; 若A=【00門012]则 2」[0 叫,ABHBA. 6」, 故(A)不成立;应取(D). 方法2: 因A,B是同阶(设为n)可逆阵,故有r(A)=r(B)=n,而 r(A)=r(B戸A,B等价u存在可逆阵P,Q使得PAQ=B. 11 (这里只需取P=A,Q=B,既有PAQ=ABA=B成立),故应选(D). 或者,因A,B是同阶可逆阵,故A,B均可以通过初等行变换化成单位阵 行变换行变换 AtE,BTE, 即存在初等阵P=p,P2,|||Ps,W=W,%HWr,使得 PA=E,WB=E, 故有: 111P{x=—1,Y=-1}=P{x=-1}P{Y=-1}=—X_=-; 1P{x=—1,Y=1}=P{x=-1}p{y=1}=—咒一= 2 1p{x=1,Y=-1}=p{x=1}p{y=-1}=-x-= 2 11p{x=1,Y=1}=p{x=1}p{y=1}=X 22 224 1— 24; 11 • 24; 1 =• 4; 111p{x=Y}=P{x=—1,Y=-1}+p{x=1,Y=1}=—+—=— 442 故(A)正确,(B)错; P{x+Y=0}=p{x=—1Y=1}中P{x=—1,Y=1}=1+1 4 故(C)错; p{XY=1}=P{X=—1,Y=-1}+p{x=1,Y=1}=—+— 44 故(D)错. 三、(本题满分6分•) 【分析】要证明limQ(x)=Q,只须证明limInQ(x)=InQ即可,因为Q(x)为指数函数,因此化为对数形式便于极限计算. 1 【解析】因为lnQ(x)=lnA—-ln[6K+(1—6)L*|,而且 x HnJn[k+(y x -6KVnK-(1-6)「InL=hm xT x-O *+(1- nK-(1-§)lnL=—In(K%%, 四、(本题满分5分.) 【解析】由题设有 在exy-y=0中,将y视为x的函数,两边对x求导,得 在e-xz=O中,将z视为x的函数,两边对x求导,得 将⑴、⑵两式代入(*)式,得 【相关知识点】1.多元复合函数求导法则: 若u=u(x,y)和v=v(x,y)在点(x,y)处偏导数 在点(X,y)处的偏导数存在,且 五、(本题满分6分) 销售总收入减去成本和政府税收.正确写出兀(X)后,满足兀’(x0)=0的x)即为利润最大时 的销售量,此时,xAt)是t的函数,当商家获得最大利润时,政府税收总额T=tx(t),再由导 数知识即可求出既保证商家获利最多,又保证政府税收总额达到最大的税值t. 【解析】 (1)设T为总税额,则T=tx•商品销售总收入为 2 R=pX=(7-0.2x)x=7x-0.2x. 利润函数为兀=R-C-T=7x-0.2x2-3x-1-tx=—0.2x2+(4-t)x-1. 4-t5令兀(X)=0,即一0.4x+4-t=0,得X=- 0.42 5 由于兀"(x)=—0.4<0,因此,x=3(4-t)即为利润最大时的销售量. 5552 ⑵将X=—(4-t)代入T=tx,得T=t,—(4-t)=10tt. 222 由T(t)=10-5t=0,得惟一驻点t=2;由于T“(t)=—5c0,可见当t=2时T有极大 值,这时也是最大值,此时政府税收总额最大. 所以F(x)在[0,上连续. 当x€(0,时, rn,从而xnf(x)>©nf(®. 由于f(X)单调不减,故f(X)>f(©),又xn>L 于是有F(x)>0).故F(x)在[0,畑)上单调不减. 方法2: 连续性证明同上.由于 XXX 可见,F(x)在[0,P)上单调不减. F'(x)的不同处理方法. 阶可导,则 F〔t)=P(t).f[P(t)]-aIt).f! a(t)]. 七、(本题满分6分) 【分析】先作出草图,再求出曲线y=x2在任一点(a,a2)上的切线方程及其与x轴的交点, 然后依此类推,得出一系列与x轴交点的坐标.最后进行相应计算即可. 2 ⑵由于QnPn=(OPn)= 2n m=0(4丿 送丽=送I1 n¥ 【评注】本题是级数与微分学的综合题,本题中所得的级数仍为收敛的几何级数,利用几何级 数求和公式即可求出它的和. 八、(本题满分6分) 【解析】将直角坐标化为极坐标,由于 1E亍2兀2t x2』J(2JX+y)dXdr叫f 4*22trr 可得f(t)=e^+2和rf(—)dr.在积分中作换元s=—,又有 •022 2trt J0rf (2)dr=4J0sf(s)ds. t/.2 于是,f(t)满足积分关系式f(t)=8兀[sf(s)ds+e4皿 在上式中令t=0得f(0)=1.利用变上限积分的求导公式,将上式两端对t求导,得 f'(t)—8曲(t)=8;ite4江2. 上述方程为关于f(t)的一阶线性微分方程,利用一阶线性微分方程通解公式,得 .2 f(t)=(4玳2+C)e4处2,其中常数C待定. 由f(0)=1可确定常数C=1,因此,f(t)=(4兀t2+1)e4皿' p(t)_ 【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式: 若F(t)=L(t)f(x)dx,«(t),P(t)均一 阶可导,则 F'(t)=P'(t)f〔P(t)]-a(t)”f! a(t)]. 2.一阶线性非齐次微分方程的标准形式为y'+p(x)y=q(x),其通解公式为 y»"dx(jq(x)eJpgdXdx+c),其中C为常数. 九、(本题满分6分) 【解析】 (1)由AA*=AA=AE及A* (2)用行列式拉普拉斯展开式及行列式乘法公式,有 =A, A =PQ= A(b-aTA七 =ia2( b—aTA’a 又因A是非奇异矩阵,所以A =A(b-aTA七). 由此可知Q可逆的充要条件是 评注: 本题考查分块矩阵的运算 QhO,即b-aTA」aH0,亦即aTA」aHb. 要看清aTA^ 是1阶矩阵,是一个数. 【相关知识点】1.两种特殊的拉普拉斯展开式: 设 A是m阶矩阵,B是n阶矩阵,则 AO A* OA *A mn — =A[B J — =(—1) *B OB B* BO AIB. 2.行列式乘积公式: 设A,B是两个n阶矩阵,则乘积AB的行列式等于A和B的行列式的乘 十、(本题满分10分) 【解析】 (1)设A的属于A=3的特征向量为03=〔X,,x2,X3]T,因为实对称矩阵属于不同特 征值的特征向量相互正交,故 P-T J%Ctg: =—X1—X2+X3=0,齐T [02^3=X1—2X2—X3: =0. 解上述方程组,设方程组的系数矩阵为 T1 -1 -2 11,对B进行初等行变换: -1」 B仁匚」 H0-3 「10 TI [o1 -1 系数矩阵的秩为2,根据基础解系的个数与系数矩阵秩之间的关系 我们得到基础解系的个 数为1,解得1,0,1J,即A的对应于 A=3的特征向量为《3=k1,0,1]T,其中k为非零常 ⑵方法1: 令P=t^1a2a3J= r-1 -1 -2 L1 -1 11 则有P’AP= L0 即A=PApt其中P4计算如下: 「1 0 01 =A, 3」 「-1 1 1: 1 + 0 0- ■-1 1 1: 10 0- -1 -2 0: 0 1 0 T 0 -3 —1—11 0 L1 -1 仁0 0 1_ [ 0 0 2\10 [」 1 1 r-2 L3 A=PAP -1 —2 -2 —3 -1 0: 2 1讨 0: 0; 1: -1 -2 0 0 2 0 1 -2 -1 1 -6 -2 10 2 L1 -1 1 ■ L0 0 3」 L3 0 3 ■ [ 5 2 13 ■ r-1 n「1 oi「—2 21 「13 51 1 0 -2 -2 1 6 方法2: 因A是对称矩阵,不同特征值对应的特征向量互相正交 化),使Q^AQ=QtAQ=A,A=QAQt,其中Q= A=QAQt 血「1 76 L0 76 故存仕正父卩 1 11 亦 2 76 0 1 1 亦 屁」 1 1 占 亦 2 1 需 晁 0 1 Q(对P单位 1 1 「1 1 1- 「1 1 11 恵 恵 药 爲 1 2 0 2 4 -2 罷 76 需 恵 1 1 1 3 0 3 飞 L72 应」 L73 1 6 L5 A的特征值是1,2,3, -2 -2 10 方法3: 由于矩阵 13 特征向量依次为a®,%利用分块矩阵有 于是矩阵©102,a3)可逆.故 因为a1/X2/X3是不同特征值的特征向量,它们线性无关 A=(口1,202,3口3)(口1,(/2,(/3) 「-1 -1 I1 31卜11 0 3」「 -2 -1 -2 -1 1『 0 1J -1 4 0 1 -2 -1 _1 -2 10 2 ~6 L1 -2 3. L3 0 3• [ 5 2 13J -2 21 51 是能否由“实对称矩阵” 2 _1 "6 【评注】本题有两个难点, 挖掘出隐含的信息,通过正交性求出a 另一个难点就是反求矩阵 A. 卜一、(本题满分7分) 【分析】求分布函数F(X
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