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1987考研数学真题答案

1987考研数学真题答案

【篇一：

历年考研数学一真题及答案（1987-2014）】

ss=txt>数学

（一）试卷

一、填空题（本题共6小题,每小题

4分,满分24分.把答案填在题中横线

上）

（1）曲线y?

lnx上与直线x?

y?

1垂直的切线方程为__________.

（2）已知f?

（ex

）?

xe?

x

且f

（1）?

0,则

f（x）=__________.

（3）设l为正向圆周x2?

y2?

2在第

一象限中的部分,则曲线积分

?

l

xdy?

2ydx的值为__________.

（4）

欧拉方程

x2

d2ydx

2

?

4xdydx?

2y?

0（x?

0）的通解为__________.

?

210?

（5）设矩阵a?

?

?

120?

矩阵满?

1?

b?

00?

?

足aba*?

2ba*?

e,其中a*为a的伴随矩阵,e是单位矩阵,则

b=__________.

（6）设随机变量x服从参数为?

的

指数分布,则p{x?

dx}=__________.

二、选择题（本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选

项前的字母填在题后的括号内）

（7）把x?

0?

时的无穷小量

?

?

?

x

cost2

x2

dt,?

?

?

0

tantdt,?

?

?

0

sint3dt,

使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是

（a）?

?

?

（b）?

?

?

（c）?

?

?

（d）?

?

?

（8）设函数f（x）连续,且f?

（0）?

0,则存在?

?

0,使得

（a）f（x）在（0,?

）内单调增加（b）f（x）在（?

?

0）内单调减少

（c）对任意的x?

（0,?

）有f（x）?

f（0）（d）对任意的x?

（?

?

0）有f（x）?

f（0）（9）设?

?

an为正项级数,下列结论

n?

1中正确的是

（a）若?

lim

n?

?

nan=0,则级数?

an收敛n?

1

（b）若存在非零常数?

使得

?

limn?

?

nan?

?

则级数?

an

发散n?

1

（c）若级数

?

?

a

n

收敛,则

n?

1

limn?

?

n2an?

0

（d）若级数?

?

an发散,则存在非零

n?

1

常数?

使得lim

n?

?

nan?

?

（10）设

f（x）

为连续函

数,f（t）?

?

t

t

1dy?

yf（x）dx,则f?

（2）等于

（a）2f

（2）（b）f

（2）

（c）?

f

（2）

（d）0

（11）设a是3阶方阵,将a的第1列与第2列交换得b,再把b的第2列

加到第3列得c,则满足aq?

c的可逆矩阵q为

?

010?

（a）?

?

100?

?

01?

?

1?

?

?

010?

（b）?

?

101?

?

?

?

001?

?

?

010?

（c）?

?

100?

?

011?

?

?

?

?

011?

（d）?

?

100?

?

001?

?

?

?

（12）设a,b为满足ab?

o的任意两

个非零矩阵,则必有

（a）a的列向量组线性相关,b的行向量组线性相关

（b）a的列向量组线性相关,b的列向量组线性相关

（c）a的行向量组线性相关,b的行向量组线性相关

（d）a的行向量组线性相关,b的

列向量组线性相关

（13）设随机变量x服从正态分布

n（0,1）,对给定的?

（0?

?

?

1）,数u?

满足

p{x?

u?

}?

?

若px?

x}?

?

则x等

于

（a）u?

2

（b）u

1?

?

2

（c）u1?

?

2

（d）u1?

?

（14）设随机变量x1,x2,?

xn（n?

1）独立同分布,且其方差为?

2?

0.令

y?

1n

n?

xi,则

i?

1

（a）

cov（x1,y）?

?

2

现有一质量为9000kg的飞机,着

n

（b）cov（x1,y）?

?

2

（c）d（xn?

21?

y）?

n

?

2

（d）d（x?

n?

11?

y）n

?

2

三、解答题（本题共9小题,满分94

分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤）

（15）（本题满分12分）

设

e?

a?

b?

e2,证明

ln2

b?

ln2

a?

4

e

2（b?

a）.

（16）（本题满分11分）

某种飞机在机场降落时,为了减

少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部

张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速

减速并停下.

陆时的水平速度为700km/h经测试,

减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为

k?

6.0?

106）.问从着陆点算起,飞机滑

行的最长距离是多少?

（注:

kg表示千克,km/h表示千米/

小时）

（17）（本题满分12分）

计

算曲面积分

i?

?

?

2x3dydz?

2y3dzdx?

3（z2?

1）dxdy,其中?

?

是曲面z?

1?

x2?

y2（z?

0）的上侧.

（18）（本题满分11分）

?

nx?

1?

0,其中n为正

整数.证明此方程存在惟一正实根xn,

并证明当?

?

1时,级数?

?

x?

n收敛.

n?

1

（19）（本题满分12分）设

z?

z（x,y）

是由

x2?

6xy?

10y2?

2yz?

z2?

18?

0确定的函数,求z?

z（x,y）的极值点和极值.

（20）（本题满分9分）

设有齐次线性方程组

?

?

（1?

a）x1?

x2?

?

?

xn?

0,?

?

2x1?

（2?

a）x2?

?

?

2xn?

0,（n?

2）,

?

?

?

?

?

?

?

?

?

nx1?

nx2?

?

?

（n?

a）xn?

0,

试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

（21）（本题满分9分）

?

12?

3?

设矩阵a?

?

?

?

14?

3?

的特征方程?

a5?

?

1?

?

有一个二重根,求a的值,并讨论a是否可相似对角化.

（22）（本题满分9分）

设a,b为随机事件,且

p（a）?

14,p（b|a）?

11

3,p（a|b）?

2

令

x?

?

?

1,a发生,

?

0,a不发生;y?

?

?

1,b发生,

?

0,b不发生.求:

（1）二维随机变量（x,y）的概率分布.

（2）x和y的相关系数

?

xy.

（23）（本题满分9分）设总体x的分布函数为

?

f（x,?

）?

?

?

1?

1?

x?

1,

?

0x?

x?

1,

其中未知参数?

?

1,x1,x2,?

xn为来自总体x的简单随机样本,

求:

（1）?

的矩估计量.

（2）?

的最大似然估计量.

【篇二：

1987-2014历年考研数学一真题及答案】

士研究生入学统一考试

数学

（一）试卷

一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把

答案填在题中横线上）

（1）当x=_____________时,函数y?

x?

2x取得极小值.

（2）由曲线y?

lnx与两直线y?

e?

1?

x及y?

0所围成的平面图形的面积是_____________.

1?

x

（3）与两直线y?

?

1?

t

z?

2?

t

及

x?

1y?

2z?

1

1?

1?

1

都平行且过原点的平面方程为

_____________.（4）设

l

为取正向的圆周x2?

y2?

9,则曲线积分

?

?

l

（2xy?

2y）dx?

（x

2

?

4x）dy=_____________.

（5）已知三维向量空间的基底为

坐标是_____________.

二、（本题满分8分）

求正的常数a与b,使等式lim1x2

x?

0bx?

sinx?

0

?

1成立.

三、（本题满分7分）

（1）设f、g为连续可微函数,u?

f（x,xy）,v?

g（x?

xy）,

求

?

u?

?

x,v?

x

.

（2）设矩阵

a

和

b

满足关系式

ab=a?

2b,

其中

?

301?

a?

?

?

110?

求矩阵b.

?

14?

?

0?

?

1

2

四、（本题满分8分）

求微分方程y?

?

?

?

6y?

?

?

（9?

a2）y?

?

1的通解,其中常数a?

0.

五、选择题（本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设lim

f（x）?

f（a）

x?

a

（x?

a）

2

?

?

1,则在x?

a处（a）f（x）的导数存在,且f?

（a）?

0（b）f（x）取

得极大值

（c）f（x）取得极小值（d）f（x）的导数不存在

（2）设sf（x）

为已知连续函数,i?

t?

t0

f（tx）dx,其中t?

0,s?

0,则i的值

（a）依赖于s和t（b）依赖于s、

t和x

（c）依赖于t、x,不依赖于s（d）依赖于s,不依赖于t

（3）设常数?

k?

0,则级数?

（?

1）nk?

nn

2

n?

1（a）发散（b）绝对收敛

（c）条件收敛（d）散敛

性与k的取值有关

（4）设a为n阶方阵，且a的行列式|a|?

a?

0,而a*

是a的伴

随矩阵，则|a*|等于

（a）a（b）1a

（c）an?

1

（d）an

六、（本题满分10分）

2

3

求曲面积分

i?

?

?

x（8y?

1）dydz?

2（1?

y2）dzdx?

4yzdxdy,

?

求幂级数?

1n?

1的收敛域，并求其和函数.xn2n?

1n?

?

七、（本题满分10分）

?

?

z?

1?

y?

3

其中?

是由曲线f（x）?

?

绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于?

.

2x?

0?

?

八、（本题满分10分）

设函数f（x）在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f（x）的值都在开区间（0,1）内,且f?

（x）?

1,证明在（0,1）内有且仅有一个x,使得f（x）?

x.

九、（本题满分8分）问a,b为何值时,现线性方程组

x1?

x2?

x3?

x4?

0x2?

2x3?

2x4?

1?

x2?

（a?

3）x3?

2x4?

b3x1?

2x2?

x3?

ax4?

?

1

3

4

有唯一解,无解,有无穷多解?

并求出有无穷多解时的通解.

十、填空题（本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上）

（1）设在一次实验中,事件a发生的概率为p,现进行n次独立试验,则a至少发生一次的概率为____________;而事件a至多发生一次的概率为____________.

（2）有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球,第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.（3）已知连续随机变量x

的概率密度函数为f（x）?

十一、（本题满分6分）

设随机变量x,y相互独立,其概率密度函数分别为

fx（x）?

1

?

x

2

?

2x?

1

则x的数学期望为____________,x的方差为____________.

0?

x?

1其它

fy（y）?

y?

0,求z?

2x?

y的概率密度函数.

?

y

y?

0

4

5

5

【篇三：

（1987-2014）考研数学一真题及答案】

ass=txt>数学

（一）试卷

一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上）

（1）当x=_____________时,函数y?

x?

2x取得极小值.

（2）由曲线y?

lnx与两直线y?

e?

1?

x及y?

0所围成的平面图形的面积是_____________.

1?

x

（3）与两直线y?

?

1?

t

z?

2?

t

及

x?

1y?

2z?

1

1?

1?

1

都平行且过原点的平面方程为

_____________.（4）设

l

为取正向的圆周x2?

y2?

9,则曲线积分

?

?

l

（2xy?

2y）dx?

（x

2

?

4x）dy=_____________.

1

（5）已知三维向量空间的基底为

坐标是_____________.

二、（本题满分8分）

求正的常数与b,使等式lim1x2

ax?

0bx?

sinx?

0

?

1成立.

三、（本题满分7分）

（1）设f、g为连续可微函数,u?

f（x,xy）,v?

g（x?

xy）,

求

?

u?

x,?

v?

x

.

（2）设矩阵

a

和

b

满足关系式

ab=a?

2b,

其中

?

301?

a?

?

?

110?

求矩阵b.

?

14?

?

0?

?

四、（本题满分8分）

求微分方程y?

?

?

?

6y?

?

?

（9?

a2

）y?

?

1的通解,其中常数a?

0.

五、选择题（本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设lim

f（x）?

f（a）

x?

a

（x?

a）2

?

?

1,则在x?

a处

（a）f（x）的导数存在,且f?

（a）?

0（b）f（x）取

得极大值

（c）f（x）取得极小值（d）f（x）的导数不存在

（2）设sf（x）

为已知连续函数,i?

t?

t0

f（tx）dx,其中t?

0,s?

0,则i的值

（a）依赖于s和t（b）依赖于s、

t和x

（c）依赖于t、x,不依赖于s（d）依赖于s,不依赖于t

2

（3）设常数?

k?

0,则级数?

（?

1）nk?

n2

n?

1

n

（a）发散（b）绝对收敛

（c）条件收敛（d）散敛性与k的取值有关

（4）设a为n阶方阵，且a的行列式|a|?

a?

0,而a*

是a的伴

随矩阵，则|a*|等于

（a）a（b）1a

（c）an?

1

（d）an

六、（本题满分10分）求幂级数?

?

1n?

1的收敛域，并求其和函数?

1n?

2nx

.n

七、（本题满分10分）求曲面积分

i?

?

?

x（8y?

1）dydz?

2（1?

y2）dzdx?

4yzdxdy,

?

?

?

z?

1?

y?

3

其中?

是由曲线f（x）?

?

绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于?

.

2x?

0?

?

八、（本题满分10分）

设函数f（x）在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f（x）的值都在开区间（0,1）内,且f?

（x）?

1,证明在（0,1）内有且仅有一个x,使得f（x）?

x.

九、（本题满分8分）问a,b为何值时,现线性方程组

x1?

x2?

x3?

x4?

0x2?

2x3?

2x4?

1?

x2?

（a?

3）x3?

2x4?

b3x1?

2x2?

x3?

ax4?

?

1

有唯一解,无解,有无穷多解?

并求出有无穷多解时的通解.

十、填空题（本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上）

（1）设在一次实验中,事件a发生的概率为p,现进行n次独立试验,则a至少发生一次的概率为____________;而事件a

至多发生

3

一次的概率为____________.

（2）有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球,第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.（3）已知连续随机变量x

的概率密度函数为f（x）?

十一、（本题满分6分）

设随机变量x,y相互独立,其概率密度函数分别为

fx（x）?

1

?

x

2

?

2x?

1

则x的数学期望为____________,x的方差为____________.

0?

x?

1其它

fy（y）?

y?

0,求z?

2x?

y的概率密度函数.

?

y

y?

0

4

1988年全国硕士研究生入学统一考试

数学

（一）试卷

一、（本题共3小题,每小题5分,满分15分）

（1）求幂级数?

?

（x?

3）n

n?

1

n3n

的收敛域.

（2）设f（x）?

ex2

f[?

（x）]?

1?

x且?

（x）?

0,求?

（x）及其定义域.

（3）设?

为曲面x2?

y2?

z2?

1的外侧,计算曲面积分

i?

?

?

?

x3dydz?

y3dzdx?

z3

dxdy.

?

二、填空题（本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上）

（1）若f（t）?

limx?

?

t（1?

1x

）2tx,则f?

（t）=_____________.

（2）设

3f（x）

连续且

?

x?

1

f（t）dt?

x,

则f（7）=_____________.

5

（3）设周期为2的周期函数,它在区间（?

1,1]f（x）?

2?

1?

x?

02

0?

x?

1

则的傅里叶x

（fourier）级数在x?

1处收敛于_____________.

4维列向量,且已知行列式a?

4,b?

1,则

行列式a?

b=_____________.

三、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设

f（x）可导且f?

（x0）?

1

2

则?

x?

0时,f（x）在x0处的微分dy是

（a）与?

x等价的无穷小（b）与?

x

同阶的无穷小

（c）比?

x低阶的无穷小（d）比?

x

高阶的无穷小